23. (本小题满分12分)某商场销售一种成本为$20$元/$\mathrm{kg}$的商品,在某月的第$x$天($1≤ x≤ 30$,$x$为整数)的销售价格为$(40+x)$元/$\mathrm{kg}$,日销售量$y$(单位:$\mathrm{kg}$)与$x$(单位:天)之间的函数关系如图所示.
(1) 求$y$与$x$之间的函数解析式.
(2) 销售该商品第几天时,日销售利润最大?
(3) 结合函数图象回答,在当月有多少天的日销售利润大于$2\ 250$元?

(1)$ y=-2x+100 $；(2)第15天；(3)19天。

(1) 设$ y $与$ x $的函数解析式为$ y=kx+b $，由图可知函数过点$(5,90)$和$(10,80)$，代入得：
$\begin{cases} 90=5k+b \\ 80=10k+b \end{cases}$
解得$ k=-2 $，$ b=100 $，故$ y=-2x+100 $。
(2) 日销售利润$ W=(40+x-20)y=(20+x)(-2x+100)=-2x^2+60x+2000 $，
对称轴$ x=-\frac{60}{2×(-2)}=15 $，$ a=-2＜0 $，
∴当$ x=15 $时，$ W $最大，即第15天日销售利润最大。
(3) 令$ W=2250 $，则$-2x^2+60x+2000=2250$，
化简得$ x^2-30x+125=0 $，解得$ x_1=5 $，$ x_2=25 $，
∵抛物线开口向下，∴当$ 5＜x＜25 $时，$ W＞2250 $，
$ x $为整数，$ x=6,7,···,24 $，共$ 24-6+1=19 $天。