1. （2024·苏州）如图，在△ABC中，AB=4$\sqrt{2}$，D为AB的中点，∠BAC=∠BCD，cos∠ADC=$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$，⊙O是△ACD的外接圆.
（1）求BC的长；
（2）求⊙O的半径.

（1）∵D为AB中点，AB=4√2，∴AD=DB=2√2。
∵∠BAC=∠BCD，∠B=∠B，∴△ABC∽△CBD。
∴AB/CB=BC/BD，即BC²=AB·BD=4√2×2√2=16，∴BC=4。
（2）由△ABC∽△CBD，得AC/CD=AB/CB=4√2/4=√2，设CD=m，则AC=√2m。
在△ACD中，AD=2√2，∠ADC=θ，cosθ=√2/4，由余弦定理：AC²=AD²+CD²-2·AD·CD·cosθ。
即(√2m)²=(2√2)²+m²-2×2√2×m×√2/4，化简得m²+2m-8=0，解得m=2（m=-4舍）。
∴CD=2，AC=2√2。
在△ACD中，由正弦定理：2R=AC/sinθ，sinθ=√(1-cos²θ)=√14/4，
∴2R=2√2/(√14/4)=8√7/7，∴R=4√7/7。
（1）4；（2）4√7/7。