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2. （2023·安徽）在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，将线段MA绕点M旋转至MD的位置，点D在直线AB外，连接AD，BD.
（1）如图①，求∠ADB的大小；
（2）已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD，DE//AB.
①如图②，连接CD，求证：BD=CD；
②如图③，连接BE，若AC=8，BC=6，求tan∠ABE的值.
（1）如图①，求∠ADB的大小；
（2）已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD，DE//AB.
①如图②，连接CD，求证：BD=CD；
②如图③，连接BE，若AC=8，BC=6，求tan∠ABE的值.
答案
（1）90°；（2）①见解析；②1/2.
解析
（1）∵M是Rt△ABC斜边AB的中点，∴MA=MB.
∵MA绕点M旋转至MD，∴MA=MD，∴MD=MA=MB.
∴∠MAD=∠MDA，∠MBD=∠MDB.
在△ADB中，∠MAD+∠MBD+∠ADB=180°，
又∠ADB=∠MDA+∠MDB，
∴2(∠MDA+∠MDB)=180°，∴∠ADB=90°.
（2）①设C(0,0)，A(b,0)，B(0,a)，则M(b/2,a/2).
∵DE//AB，AB斜率为-a/b，∴DE斜率为-a/b.设E(e,0)，D(x,y)，则y/(e-x)=a/b，即y=a(e-x)/b.
∵ME⊥AD，AD斜率为y/(x-b)，ME斜率为(-a/2)/(e-b/2)，
∴[y/(x-b)]·[(-a/2)/(e-b/2)]=-1，化简得ay=2(x-b)(e-b/2).
∵MD=MA，∴(x-b/2)²+(y-a/2)²=(a²+b²)/4.
联立解得y=a/2，∴D(x,a/2).
则BD²=x²+(a/2 -a)²=x²+a²/4，CD²=x²+(a/2)²=x²+a²/4，∴BD=CD.
②∵AC=8，BC=6，∠C=90°，∴AB=10，M(4,3).
由①知D纵坐标为3，设E(e,0)，D(e-4,3).
∵MD=MA=5，∴|e-8|=5，e=3（e=13舍去），∴E(3,0).
BE斜率k=-2，BA斜率k'=-3/4.
tan∠ABE=|(k - k')/(1 + kk')|=|(-2 + 3/4)/(1 + 3/2)|=1/2.
∵MA绕点M旋转至MD，∴MA=MD，∴MD=MA=MB.
∴∠MAD=∠MDA，∠MBD=∠MDB.
在△ADB中，∠MAD+∠MBD+∠ADB=180°，
又∠ADB=∠MDA+∠MDB，
∴2(∠MDA+∠MDB)=180°，∴∠ADB=90°.
（2）①设C(0,0)，A(b,0)，B(0,a)，则M(b/2,a/2).
∵DE//AB，AB斜率为-a/b，∴DE斜率为-a/b.设E(e,0)，D(x,y)，则y/(e-x)=a/b，即y=a(e-x)/b.
∵ME⊥AD，AD斜率为y/(x-b)，ME斜率为(-a/2)/(e-b/2)，
∴[y/(x-b)]·[(-a/2)/(e-b/2)]=-1，化简得ay=2(x-b)(e-b/2).
∵MD=MA，∴(x-b/2)²+(y-a/2)²=(a²+b²)/4.
联立解得y=a/2，∴D(x,a/2).
则BD²=x²+(a/2 -a)²=x²+a²/4，CD²=x²+(a/2)²=x²+a²/4，∴BD=CD.
②∵AC=8，BC=6，∠C=90°，∴AB=10，M(4,3).
由①知D纵坐标为3，设E(e,0)，D(e-4,3).
∵MD=MA=5，∴|e-8|=5，e=3（e=13舍去），∴E(3,0).
BE斜率k=-2，BA斜率k'=-3/4.
tan∠ABE=|(k - k')/(1 + kk')|=|(-2 + 3/4)/(1 + 3/2)|=1/2.
