9. 如图,在菱形$ABCD$中,$∠ B=α$,$P$是$AB$上一点(不与端点重合),点$A$关于直线$DP$的对称点为$E$,连接$AE$,$CE$,则$∠ AEC$的度数为 ()


A.$60^{\circ}+\dfrac{1}{3}α$

B.$165^{\circ}-\dfrac{1}{3}α$
C.$45^{\circ}+\dfrac{1}{2}α$
D.$180^{\circ}-\dfrac{1}{2}α$

D

连接DE，AC。
∵点A关于直线DP的对称点为E，
∴DP垂直平分AE，
∴DA=DE。
∵四边形ABCD是菱形，
∴DA=DC，∠ADC=∠B=α，
∴DE=DC。
∴点A，E，C在以D为圆心，DA为半径的圆上（即A，E，C三点共圆，D为圆心）。
∠AEC是圆周角，其所对的弧为优弧AC。
∵劣弧AC所对的圆心角为∠ADC=α，
∴优弧AC所对的圆心角为360°-α。
根据圆周角定理，∠AEC=1/2×优弧AC的度数=1/2(360°-α)=180°-1/2α。

10. 如果两个实数$m$,$n$满足$\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}=1$,那么称$m$,$n$是一对互助数.已知$a$,$b$为实数,且$a+b$,$a-b$是一对互助数.若$a^{2}-b^{2}=p-3$,则$p$的值可以是 ()

A.$\dfrac{15}{2}$
B.$6$
C.$\dfrac{9}{2}$
D.$3$

A

因为$a+b$，$a-b$是互助数，所以$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}=1$。通分得$\frac{(a-b)+(a+b)}{(a+b)(a-b)}=1$，化简分子得$2a$，分母为$a^2 - b^2$，即$\frac{2a}{a^2 - b^2}=1$。已知$a^2 - b^2 = p - 3$，代入得$\frac{2a}{p - 3}=1$，故$2a = p - 3$，即$p = 2a + 3$。又$a^2 - b^2 = p - 3 = 2a$，则$b^2 = a^2 - 2a$，$b^2≥0$，即$a^2 - 2a≥0$，解得$a≤0$或$a≥2$。
选项A：$p=\frac{15}{2}$，则$2a=\frac{15}{2}-3=\frac{9}{2}$，$a=\frac{9}{4}≥2$，$b^2=(\frac{9}{4})^2 - 2×\frac{9}{4}=\frac{81}{16}-\frac{18}{4}=\frac{9}{16}≥0$，成立。
选项B：$p=6$，$2a=6 - 3=3$，$a=\frac{3}{2}$，$b^2=(\frac{3}{2})^2 - 3=-\frac{3}{4}＜0$，不成立。
选项C：$p=\frac{9}{2}$，$2a=\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}$，$a=\frac{3}{4}$，$b^2=(\frac{3}{4})^2 - \frac{3}{2}=-\frac{15}{16}＜0$，不成立。
选项D：$p=3$，$a^2 - b^2=0$，$b=\pm a$，此时$a+b=0$或$a - b=0$，分母为0，不成立。

二、填空题(本大题共6小题,$11∼ 12$题每小题3分,$13∼ 16$题每小题4分,共22分)
11. 分解因式:$3mx^{2}+6mxy+3my^{2}=$.

$3m(x+y)^{2}$

先提取公因式3m，得到$3m(x^{2}+2xy+y^{2})$，再利用完全平方公式分解$x^{2}+2xy+y^{2}=(x+y)^{2}$，所以原式$=3m(x+y)^{2}$。

12. 若圆锥的母线长为$6$,底面圆的半径为$3$,则此圆锥的侧面积为.

18π

圆锥侧面积公式为$S = π rl$，其中$r = 3$，$l = 6$，则$S = π×3×6 = 18π$。

13. 若$a$,$b$为连续整数,且$a＜\sqrt{30}＜b$,则$a+b$的值为.

11

因为$25＜30＜36$，所以$\sqrt{25}＜\sqrt{30}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{30}＜6$。又因为$a$，$b$为连续整数，且$a＜\sqrt{30}＜ b$，所以$a=5$，$b=6$，则$a+b=5+6=11$。

14. 《田亩比类乘除捷法》中有这样一道题:直田积八百六十四步,只云阔不及长一十二步,问阔及长各几步?大致意思如下:一块矩形田地的面积为$864$平方步,它的宽比长少$12$步,问它的长与宽各多少步?利用方程思想,设长为$x$步,则根据题意可列方程为.

$x(x - 12) = 864$

设长为$x$步，因为宽比长少$12$步，所以宽为$(x - 12)$步。矩形面积等于长乘宽，已知面积为$864$平方步，可列方程为$x(x - 12) = 864$。