10. 如图，在平面直角坐标系$xOy$中，已知点$A(2,3)$，以点$O$为圆心，$OA$长为半径画弧，交$x$轴的正半轴于点$B$，则点$B$的横坐标为.

10. $\sqrt{13}$

解：
∵点$A(2,3)$，
∴$OA=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13}$。
∵以点$O$为圆心，$OA$长为半径画弧，交$x$轴正半轴于点$B$，
∴$OB=OA=\sqrt{13}$。
∵点$B$在$x$轴正半轴上，
∴点$B$的横坐标为$\sqrt{13}$。
$\sqrt{13}$

11. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边分别为$a$，$b$，$c$.
(1) 若$a:b = 3:4$，$c = 10$，求$a$，$b$的值.
(2) 若$c - a = 4$，$b = 16$，求$a$的值.

11. 解:(1) 在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ C = 90^{\circ}$,$∠ A$,$∠ B$,$∠ C$ 的对边分别为 $a$,$b$,$c$,且 $a:b = 3:4$,$\therefore$ 设 $a = 3x$,则 $b = 4x$. $\because a^{2}+b^{2}=c^{2}$,即 $(3x)^{2}+(4x)^{2}=10^{2}$,解得 $x = 2$ ( $-2$ 舍去),$\therefore a = 3x = 6$,$b = 4x = 8$. (2) $\because$ 在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ C = 90^{\circ}$,$∠ A$,$∠ B$,$∠ C$ 的对边分别为 $a$,$b$,$c$,$\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}$. $\because c - a = 4$,$b = 16$,$\therefore a^{2}+256=(a + 4)^{2}$,解得 $a = 30$.

11. 解:(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C = 90^{\circ}$,$a:b = 3:4$,设$a = 3x$,$b = 4x$.由勾股定理得$(3x)^{2}+(4x)^{2}=10^{2}$,即$9x^{2}+16x^{2}=100$,$25x^{2}=100$,$x^{2}=4$,解得$x = 2$($x=-2$舍去).$\therefore a = 3x = 6$,$b = 4x = 8$.
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C = 90^{\circ}$,由勾股定理得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$. $\because c - a = 4$,$\therefore c = a + 4$.又$b = 16$,$\therefore a^{2}+16^{2}=(a + 4)^{2}$,即$a^{2}+256=a^{2}+8a + 16$,$8a = 240$,解得$a = 30$.

1. 如图，点$D$在$△ ABC$的边$AC$上，将$△ ABD$沿$BD$翻折后，点$A$恰好与点$C$重合.若$BC = 5$，$CD = 3$，则$BD$的长为()

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

1. D

解：由翻折性质得，$AD=CD=3$，$AB=BC=5$，$∠ ADB=∠ CDB=90°$，
$\therefore AC=AD+CD=6$。
设$BD=x$，在$Rt△ ABD$中，$AD^2+BD^2=AB^2$，
即$3^2+x^2=5^2$，解得$x=4$（负值舍去），
$\therefore BD=4$。
D

2. 如图，在$3×3$的网格中，每个小正方形的边长均为$1$，点$A$，$B$，$C$都在格点上，若$BD$是$△ ABC$的高，则$BD$的长为()

A.$\dfrac{10}{13}\sqrt{13}$
B.$\dfrac{9}{13}\sqrt{13}$
C.$\dfrac{8}{13}\sqrt{13}$
D.$\dfrac{7}{13}\sqrt{13}$

2. D

3. 如图，在矩形$ABCD$中，$E$是$AD$的中点，且$AE = 1$，$BE$的垂直平分线$MN$恰好过点$C$，则矩形的一边$AB$的长度为()

A.$1$
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$2$

3. C

解：设$AB = x$。
因为$E$是$AD$的中点，$AE = 1$，所以$AD = 2AE = 2$，则$BC = AD = 2$，$CD = AB = x$。
在$Rt△ ABE$中，$BE = \sqrt{AB^2 + AE^2} = \sqrt{x^2 + 1^2} = \sqrt{x^2 + 1}$。
因为$MN$是$BE$的垂直平分线，且过点$C$，所以$CE = CB = 2$。
在$Rt△ CDE$中，$DE = AE = 1$，$CD = x$，$CE = 2$，由勾股定理得：$CD^2 + DE^2 = CE^2$，即$x^2 + 1^2 = 2^2$。
解得$x^2 = 3$，$x = \sqrt{3}$（负值舍去）。
故$AB = \sqrt{3}$。
答案：C

4. 如图，将两个完全相同的$\mathrm{Rt}△ ACB$和$\mathrm{Rt}△ A'C'B'$拼在一起，其中点$A'$与点$B$重合，点$C'$在边$AB$上，连接$B'C$，若$∠ ABC = ∠ A'B'C' = 30^{\circ}$，$AC = A'C' = 2$，则$B'C$的长为()


A.$2\sqrt{7}$
B.$4\sqrt{7}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{3}$

4. A

解：在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ ABC=30°$，$AC=2$，
$\therefore AB=2AC=4$，$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
由题意知$△ A'C'B'≌△ ACB$，点$A'$与点$B$重合，
$\therefore A'C'=AC=2$，$B'C'=BC=2\sqrt{3}$，$∠ A'B'C'=∠ ABC=30°$，
即$BC'=2$，$∠ BB'C'=30°$。
$\because$点$C'$在$AB$上，$AB=4$，
$\therefore C'B=AB-AC'=4-2=2$（此处应为$C'B=AB - AC'$，但$AC'$即$BC'=2$，故$C'B=4 - 2=2$）。
在$△ BB'C'$中，过$B'$作$B'C'⊥ AB$于$C'$（已知$C'$在$AB$上且隐含垂直关系），
$\therefore ∠ BC'B'=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ BC'B'$中，$BC'=2$，$∠ BB'C'=30°$，
$\therefore BB'=2BC'=4$，$B'C'=\sqrt{BB'^2 - BC'^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=2\sqrt{3}$。
在$△ B'CC'$中，$CC'=BC - BC'=2\sqrt{3}-2$（错误，应为$CC'=BC - BC'$，但$BC=2\sqrt{3}$，$BC'=2$，故$CC'=2\sqrt{3}-2$，此步错误，正确应为：$AC=2$，$AC'=2$，$AB=4$，则$C'$为$AB$中点，$AC'=C'B=2$，$BC=2\sqrt{3}$，$CC'$可在$△ ACC'$中计算，$AC=AC'=2$，$∠ A=60°$，故$△ ACC'$为等边三角形，$CC'=2$）。
（正确步骤：在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ A=60°$，$AC=AC'=2$，$\therefore △ ACC'$为等边三角形，$CC'=2$，$∠ ACC'=60°$。
$∠ BCC'=∠ ACB - ∠ ACC'=90° - 60°=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ BC'B'$中，$B'C'=2\sqrt{3}$，$BC'=2$，
在$△ B'CC'$中，$CC'=2$，$B'C'=2\sqrt{3}$，$∠ B'C'C=90° + 60°=150°$（$∠ B'C'A'=90°$，$∠ C'CA=60°$，故$∠ B'C'C=180° - 30°=150°$），
由余弦定理：$B'C^2=B'C'^2 + CC'^2 - 2· B'C'· CC'· \cos150°$
$=(2\sqrt{3})^2 + 2^2 - 2×2\sqrt{3}×2×(-\frac{\sqrt{3}}{2})$
$=12 + 4 + 12=28$，
$\therefore B'C=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$。
A