5. 如图，在$△ ABD$中，$AC⊥ BD$于$C$，$E$为$AC$上一点，连接$BE$，$DE$，$DE$的延长线交$AB$于点$F$，已知$DE = AB$，$∠ CAD = 45^{\circ}$.
(1) 求证：$DF⊥ AB$；
(2) 利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$BC = a$，$AC = b$，$AB = c$，求证：$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.

5. 解:(1) $\because AC⊥ BD$,$∠ CAD = 45^{\circ}$,$\therefore AC = DC$,$∠ ACB=∠ DCE = 90^{\circ}$. 在 $Rt△ ABC$ 与 $Rt△ DEC$ 中,$\begin{cases}AC = DC,\\AB = DE,\end{cases}$ $\therefore Rt△ ABC≌ Rt△ DEC$ (HL),$\therefore∠ BAC=∠ EDC$. $\because∠ EDC+∠ CED = 90^{\circ}$,$∠ CED=∠ AEF$,$\therefore∠ AEF+∠ BAC = 90^{\circ}$,$\therefore∠ AFE = 90^{\circ}$,$\therefore DF⊥ AB$. (2) $\because S_{△ BCE}+S_{△ ACD}=S_{△ ABD}-S_{△ ABE}$,$\therefore\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}b^{2}=\frac{1}{2}· c· DF-\frac{1}{2}· c· EF=\frac{1}{2}· c· (DF - EF)=\frac{1}{2}· c· DE=\frac{1}{2}c^{2}$,$\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}$.

(1) 证明：$\because AC ⊥ BD$，$∠ CAD = 45°$，$\therefore AC = DC$，$∠ ACB = ∠ DCE = 90°$。在$Rt△ ABC$与$Rt△ DEC$中，$\begin{cases} AC = DC \\ AB = DE \end{cases}$，$\therefore Rt△ ABC ≌ Rt△ DEC$（HL），$\therefore ∠ BAC = ∠ EDC$。$\because ∠ EDC + ∠ CED = 90°$，$∠ CED = ∠ AEF$，$\therefore ∠ AEF + ∠ BAC = 90°$，$\therefore ∠ AFE = 90°$，$\therefore DF ⊥ AB$。
(2) 证明：$\because S_{△ BCE} + S_{△ ACD} = S_{△ ABD} - S_{△ ABE}$，$\therefore \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 = \frac{1}{2} · c · DF - \frac{1}{2} · c · EF = \frac{1}{2} · c · (DF - EF) = \frac{1}{2} · c · DE = \frac{1}{2}c^2$，$\therefore a^2 + b^2 = c^2$。

6. 如图，$AD$是$△ ABC$的高，$AB = 10$，$AD = 8$，$BC = 12$.求证：$△ ABC$是等腰三角形.

6. 证明:设 $BD = x$,$CD = 12 - x$,$\because$ 在 $Rt△ ABD$ 中,$AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}$,即 $x^{2}+8^{2}=10^{2}$,解得 $x = 6$. 在 $Rt△ ACD$ 中,$AC^{2}=AD^{2}+CD^{2}=6^{2}+8^{2}=100$,$\therefore AC = 10$,$\therefore AB = AC$,$\therefore△ ABC$ 是等腰三角形.

证明:设$BD = x$，则$CD=12 - x$。
在$Rt△ABD$中，$AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}$，即$x^{2}+8^{2}=10^{2}$，解得$x = 6$。
在$Rt△ACD$中，$AC^{2}=AD^{2}+CD^{2}=8^{2}+(12 - 6)^{2}=64 + 36=100$，$\therefore AC = 10$。
$\because AB = 10$，$\therefore AB = AC$，$\therefore△ABC$是等腰三角形。