登录
2. 如图，直线$l$上有三个正方形$a$，$b$，$c$，若$a$，$c$的面积分别为$5$和$11$，则$b$的面积为(
A.$4$
B.$6$
C.$16$
D.$55$
C
)A.$4$
B.$6$
C.$16$
D.$55$
答案
2. C
解析
设正方形$a$的边长为$m$，正方形$c$的边长为$n$，正方形$b$的边长为$k$。
因为正方形$a$的面积为$5$，所以$m^2 = 5$；正方形$c$的面积为$11$，所以$n^2 = 11$。
由图可知，正方形$a$、$b$、$c$的位置关系可构成两个全等的直角三角形，其直角边分别为$m$和$n$，斜边为$k$。
根据勾股定理，$m^2 + n^2 = k^2$，则$k^2 = 5 + 11 = 16$，即正方形$b$的面积为$16$。
C
因为正方形$a$的面积为$5$，所以$m^2 = 5$；正方形$c$的面积为$11$，所以$n^2 = 11$。
由图可知，正方形$a$、$b$、$c$的位置关系可构成两个全等的直角三角形，其直角边分别为$m$和$n$，斜边为$k$。
根据勾股定理，$m^2 + n^2 = k^2$，则$k^2 = 5 + 11 = 16$，即正方形$b$的面积为$16$。
C
3. 由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图)，如果大正方形的面积是$13$，小正方形的面积是$1$，直角三角形较短的直角边为$a$，较长的直角边为$b$，那么$(a + b)^{2}$的值为(
A.$13$
B.$19$
C.$25$
D.$169$
C
)A.$13$
B.$19$
C.$25$
D.$169$
答案
3. C
解析
大正方形面积为 $13$，则其边长为 $\sqrt{13}$，由勾股定理得 $a^2 + b^2 = (\sqrt{13})^2 = 13$。
小正方形面积为 $1$，其边长为 $1$，且小正方形边长等于直角三角形较长直角边与较短直角边之差，即 $b - a = 1$。
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，其中 $a^2 + b^2 = 13$。
四个直角三角形面积总和为大正方形面积减去小正方形面积，即 $13 - 1 = 12$，每个直角三角形面积为 $\frac{1}{2}ab$，则 $4 × \frac{1}{2}ab = 12$，解得 $ab = 6$。
因此 $(a + b)^2 = 13 + 2 × 6 = 25$。
25
小正方形面积为 $1$，其边长为 $1$，且小正方形边长等于直角三角形较长直角边与较短直角边之差，即 $b - a = 1$。
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，其中 $a^2 + b^2 = 13$。
四个直角三角形面积总和为大正方形面积减去小正方形面积，即 $13 - 1 = 12$，每个直角三角形面积为 $\frac{1}{2}ab$，则 $4 × \frac{1}{2}ab = 12$，解得 $ab = 6$。
因此 $(a + b)^2 = 13 + 2 × 6 = 25$。
25
4. 如图是课堂上同学们在探究勾股定理用到的图形，已知网格中小正方形的边长为$1$，则线段$AB$的长为(
A.$\sqrt{13}$
B.$5$
C.$9$
D.$13$
A
)A.$\sqrt{13}$
B.$5$
C.$9$
D.$13$
答案
4. A
解析
连接AC、BC，由网格可知AC=3，BC=4，∠ACB=90°。
根据勾股定理，AB²=AC²+BC²=3²+4²=9+16=25，所以AB=√25=5。
5
解：设重合的顶点为点O，直尺上沿为直线l，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，由题意知OC=OD=2cm，∠OAC=45°，∠OBD=60°。
在Rt△OAC中，tan∠OAC=OC/AC，即tan45°=2/AC，解得AC=2cm。
在Rt△OBD中，tan∠OBD=OD/BD，即tan60°=2/BD，解得BD=2/√3=2√$\frac{3}{3}$cm。
AB=AC-BD=2-2√$\frac{3}{3}$=(6-2√3)/3=2√3-2(cm)。
答案：B
根据勾股定理，AB²=AC²+BC²=3²+4²=9+16=25，所以AB=√25=5。
5
解：设重合的顶点为点O，直尺上沿为直线l，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，由题意知OC=OD=2cm，∠OAC=45°，∠OBD=60°。
在Rt△OAC中，tan∠OAC=OC/AC，即tan45°=2/AC，解得AC=2cm。
在Rt△OBD中，tan∠OBD=OD/BD，即tan60°=2/BD，解得BD=2/√3=2√$\frac{3}{3}$cm。
AB=AC-BD=2-2√$\frac{3}{3}$=(6-2√3)/3=2√3-2(cm)。
答案：B
5.将一副直角三角板和一把宽度为2 cm的直尺按如图方式摆放:先把$60°$和$45°$角的顶点及它们的直角边重合,再将此直角边垂直于直尺的上沿,重合的顶点落在直尺下沿上,这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A,B两点,则AB的长是 （ ）
A.$(2-\sqrt{3})\mathrm{cm}$
B.$(2\sqrt{3}-2)\mathrm{cm}$
C.$2\mathrm{cm}$
D.$2\sqrt{3}\mathrm{cm}$
A.$(2-\sqrt{3})\mathrm{cm}$
B.$(2\sqrt{3}-2)\mathrm{cm}$
C.$2\mathrm{cm}$
D.$2\sqrt{3}\mathrm{cm}$
答案
5
解：设重合的顶点为点O，直尺上沿为直线l，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，由题意知OC=OD=2cm，∠OAC=45°，∠OBD=60°。
在Rt△OAC中，tan∠OAC=OC/AC，即tan45°=2/AC，解得AC=2cm。
在Rt△OBD中，tan∠OBD=OD/BD，即tan60°=2/BD，解得BD=2/√3=2√cm。
AB=AC-BD=2-2√=(6-2√3)/3=2√3-2(cm)。
答案：B
解：设重合的顶点为点O，直尺上沿为直线l，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，由题意知OC=OD=2cm，∠OAC=45°，∠OBD=60°。
在Rt△OAC中，tan∠OAC=OC/AC，即tan45°=2/AC，解得AC=2cm。
在Rt△OBD中，tan∠OBD=OD/BD，即tan60°=2/BD，解得BD=2/√3=2√cm。
AB=AC-BD=2-2√=(6-2√3)/3=2√3-2(cm)。
答案：B
6. 已知直角三角形的周长为$12 \mathrm{ cm}$，其斜边为$5 \mathrm{ cm}$，则三角形的面积为(
A.$12 \mathrm{ cm}^{2}$
B.$6 \mathrm{ cm}^{2}$
C.$8 \mathrm{ cm}^{2}$
D.$10 \mathrm{ cm}^{2}$
B
)A.$12 \mathrm{ cm}^{2}$
B.$6 \mathrm{ cm}^{2}$
C.$8 \mathrm{ cm}^{2}$
D.$10 \mathrm{ cm}^{2}$
答案
6. B
解析
设直角三角形的两条直角边分别为$a\ \mathrm{cm}$、$b\ \mathrm{cm}$。
因为直角三角形的周长为$12\ \mathrm{cm}$，斜边为$5\ \mathrm{cm}$，所以$a + b + 5=12$，即$a + b=7$。
根据勾股定理，$a^{2}+b^{2}=5^{2}=25$。
$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，将$a + b=7$，$a^{2}+b^{2}=25$代入得：$7^{2}=25 + 2ab$，即$49=25 + 2ab$，解得$ab=12$。
三角形面积为$\dfrac{1}{2}ab=\dfrac{1}{2}×12 = 6\ \mathrm{cm}^{2}$。
B
因为直角三角形的周长为$12\ \mathrm{cm}$，斜边为$5\ \mathrm{cm}$，所以$a + b + 5=12$，即$a + b=7$。
根据勾股定理，$a^{2}+b^{2}=5^{2}=25$。
$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，将$a + b=7$，$a^{2}+b^{2}=25$代入得：$7^{2}=25 + 2ab$，即$49=25 + 2ab$，解得$ab=12$。
三角形面积为$\dfrac{1}{2}ab=\dfrac{1}{2}×12 = 6\ \mathrm{cm}^{2}$。
B
7. 如图，在$△ ABC$中，$∠ B = 90^{\circ}$，两直角边$AB = 7$，$BC = 24$，在三角形内有一点$P$到各边的距离相等，则这个距离等于(
A.$1$
B.$3$
C.$6$
D.$\sqrt{3}$
B
)A.$1$
B.$3$
C.$6$
D.$\sqrt{3}$
答案
7. B
解析
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90^{\circ}$，$AB=7$，$BC=24$，
由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{7^{2}+24^{2}}=25$。
设点$P$到各边的距离为$r$，
因为点$P$到各边的距离相等，所以$P$为$△ ABC$的内心，
则$r=\frac{AB+BC-AC}{2}=\frac{7+24-25}{2}=3$。
答案：B
由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{7^{2}+24^{2}}=25$。
设点$P$到各边的距离为$r$，
因为点$P$到各边的距离相等，所以$P$为$△ ABC$的内心，
则$r=\frac{AB+BC-AC}{2}=\frac{7+24-25}{2}=3$。
答案：B
8. 如图，以$\mathrm{Rt}△ ABC$的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形.若$AB = \sqrt{5}$，则图中阴影部分的面积为
5
.答案
8. 5
解析
设以 $AC$ 为直角边的等腰直角三角形面积为 $S_1$，以 $BC$ 为直角边的等腰直角三角形面积为 $S_2$，以 $AB$ 为直角边的等腰直角三角形面积为 $S_3$。
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$AC^2 + BC^2 = AB^2$，且 $AB = \sqrt{5}$，则 $AB^2 = 5$。
$S_1 = \frac{1}{2}AC^2$，$S_2 = \frac{1}{2}BC^2$，$S_3 = \frac{1}{2}AB^2$。
阴影部分面积 $S = S_1 + S_2 + S_3 = \frac{1}{2}(AC^2 + BC^2 + AB^2) = \frac{1}{2}(AB^2 + AB^2) = \frac{1}{2}(5 + 5) = 5$。
5
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$AC^2 + BC^2 = AB^2$，且 $AB = \sqrt{5}$，则 $AB^2 = 5$。
$S_1 = \frac{1}{2}AC^2$，$S_2 = \frac{1}{2}BC^2$，$S_3 = \frac{1}{2}AB^2$。
阴影部分面积 $S = S_1 + S_2 + S_3 = \frac{1}{2}(AC^2 + BC^2 + AB^2) = \frac{1}{2}(AB^2 + AB^2) = \frac{1}{2}(5 + 5) = 5$。
5
9. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$AC = 3$，$BC = 4$，以点$A$为圆心，$AC$长为半径画弧，交$AB$于点$D$，则$BD =$
2
.答案
9. 2
解析
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90^{\circ}$，$AC=3$，$BC=4$，
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$。
以点$A$为圆心，$AC$长为半径画弧，交$AB$于点$D$，则$AD=AC=3$，
所以$BD=AB - AD=5 - 3=2$。
故答案为：$2$。
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$。
以点$A$为圆心，$AC$长为半径画弧，交$AB$于点$D$，则$AD=AC=3$，
所以$BD=AB - AD=5 - 3=2$。
故答案为：$2$。
