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三、解答题
12. 已知数据$x_{1}$，$x_{2}$，$x_{3}$，$x_{4}$，$x_{5}$的平均数为2，方差为$\frac{1}{3}$，试求数据$3x_{1}-2$，$3x_{2}-2$，$3x_{3}-2$，$3x_{4}-2$，$3x_{5}-2$的平均数和方差。
12. 已知数据$x_{1}$，$x_{2}$，$x_{3}$，$x_{4}$，$x_{5}$的平均数为2，方差为$\frac{1}{3}$，试求数据$3x_{1}-2$，$3x_{2}-2$，$3x_{3}-2$，$3x_{4}-2$，$3x_{5}-2$的平均数和方差。
答案
解：已知数据$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$的平均数$\overline{x}=2$，方差$s^{2}=\frac{1}{3}$。
新数据为$3x_{1}-2,3x_{2}-2,3x_{3}-2,3x_{4}-2,3x_{5}-2$。
平均数：
$\begin{aligned}\overline{y}&=\frac{1}{5}[(3x_{1}-2)+(3x_{2}-2)+(3x_{3}-2)+(3x_{4}-2)+(3x_{5}-2)]\\&=\frac{1}{5}[3(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5})-10]\\&=3×\frac{1}{5}(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5})-2\\&=3\overline{x}-2\\&=3×2 - 2\\&=4\end{aligned}$
方差：
$\begin{aligned}s_{y}^{2}&=\frac{1}{5}[(3x_{1}-2 - \overline{y})^{2}+(3x_{2}-2 - \overline{y})^{2}+···+(3x_{5}-2 - \overline{y})^{2}]\\&=\frac{1}{5}[(3x_{1}-2 - 4)^{2}+(3x_{2}-2 - 4)^{2}+···+(3x_{5}-2 - 4)^{2}]\\&=\frac{1}{5}[(3x_{1}-6)^{2}+(3x_{2}-6)^{2}+···+(3x_{5}-6)^{2}]\\&=\frac{1}{5}[9(x_{1}-2)^{2}+9(x_{2}-2)^{2}+···+9(x_{5}-2)^{2}]\\&=9×\frac{1}{5}[(x_{1}-2)^{2}+(x_{2}-2)^{2}+···+(x_{5}-2)^{2}]\\&=9s^{2}\\&=9×\frac{1}{3}\\&=3\end{aligned}$
答：新数据的平均数为$4$，方差为$3$。
新数据为$3x_{1}-2,3x_{2}-2,3x_{3}-2,3x_{4}-2,3x_{5}-2$。
平均数：
$\begin{aligned}\overline{y}&=\frac{1}{5}[(3x_{1}-2)+(3x_{2}-2)+(3x_{3}-2)+(3x_{4}-2)+(3x_{5}-2)]\\&=\frac{1}{5}[3(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5})-10]\\&=3×\frac{1}{5}(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5})-2\\&=3\overline{x}-2\\&=3×2 - 2\\&=4\end{aligned}$
方差：
$\begin{aligned}s_{y}^{2}&=\frac{1}{5}[(3x_{1}-2 - \overline{y})^{2}+(3x_{2}-2 - \overline{y})^{2}+···+(3x_{5}-2 - \overline{y})^{2}]\\&=\frac{1}{5}[(3x_{1}-2 - 4)^{2}+(3x_{2}-2 - 4)^{2}+···+(3x_{5}-2 - 4)^{2}]\\&=\frac{1}{5}[(3x_{1}-6)^{2}+(3x_{2}-6)^{2}+···+(3x_{5}-6)^{2}]\\&=\frac{1}{5}[9(x_{1}-2)^{2}+9(x_{2}-2)^{2}+···+9(x_{5}-2)^{2}]\\&=9×\frac{1}{5}[(x_{1}-2)^{2}+(x_{2}-2)^{2}+···+(x_{5}-2)^{2}]\\&=9s^{2}\\&=9×\frac{1}{3}\\&=3\end{aligned}$
答：新数据的平均数为$4$，方差为$3$。
13. 某公司需招聘一名员工，对应聘者甲、乙、丙从笔试、面试、体能三个方面进行量化考核，甲、乙、丙各项得分如下表：
（1）根据三项得分的平均分，从高到低确定三名应聘者的排名顺序；
（2）该公司规定：笔试、面试、体能得分分别不得低于80分、80分、70分，并按60%，30%，10%的比例计入总分，根据规定，请你说明谁将被录用。
（1）根据三项得分的平均分，从高到低确定三名应聘者的排名顺序；
（2）该公司规定：笔试、面试、体能得分分别不得低于80分、80分、70分，并按60%，30%，10%的比例计入总分，根据规定，请你说明谁将被录用。
答案
（1）甲的平均分：$(83 + 79 + 90)÷3 = 84$
乙的平均分：$(85 + 80 + 75)÷3 = 80$
丙的平均分：$(80 + 90 + 73)÷3 = 81$
排名顺序：甲、丙、乙
（2）甲笔试83≥80，面试79＜80，不符合规定；
乙笔试85≥80，面试80≥80，体能75≥70，符合规定，总分：$85×60\% + 80×30\% + 75×10\% = 82.5$
丙笔试80≥80，面试90≥80，体能73≥70，符合规定，总分：$80×60\% + 90×30\% + 73×10\% = 82.3$
$82.5 ＞ 82.3$，录用乙。
乙的平均分：$(85 + 80 + 75)÷3 = 80$
丙的平均分：$(80 + 90 + 73)÷3 = 81$
排名顺序：甲、丙、乙
（2）甲笔试83≥80，面试79＜80，不符合规定；
乙笔试85≥80，面试80≥80，体能75≥70，符合规定，总分：$85×60\% + 80×30\% + 75×10\% = 82.5$
丙笔试80≥80，面试90≥80，体能73≥70，符合规定，总分：$80×60\% + 90×30\% + 73×10\% = 82.3$
$82.5 ＞ 82.3$，录用乙。
14. 某市团委举办以“我的中国梦”为主题的知识竞赛，甲、乙两所学校参赛人数相等，比赛结束后，发现学生成绩分别为70分、80分、90分、100分，并根据统计数据绘制了如下不完整的统计图表：
(1)在图①中，“80分”所在扇形的圆心角度数为；
(2)请你将图②补充完整；
(3)求乙校成绩的平均分；
(4)经计算知$s_{甲}^{2}=135$，$s_{乙}^{2}=175$，请你根据这两个数据，对甲、乙两校成绩作出合理评价。
(1)在图①中，“80分”所在扇形的圆心角度数为；
(2)请你将图②补充完整；
(3)求乙校成绩的平均分；
(4)经计算知$s_{甲}^{2}=135$，$s_{乙}^{2}=175$，请你根据这两个数据，对甲、乙两校成绩作出合理评价。
答案
(1) 36°
(2) 甲校80分人数为2，在条形图中对应高度为2（画图略）。
(3) 乙校总人数为20人，80分人数为20-7-1-8=4人，平均分：
$\frac{70×7 + 80×4 + 90×1 + 100×8}{20} = \frac{490 + 320 + 90 + 800}{20} = \frac{1700}{20} = 85$
(4) 因为$s_{甲}^{2} ＜ s_{乙}^{2}$，所以甲校成绩比乙校成绩稳定。
(2) 甲校80分人数为2，在条形图中对应高度为2（画图略）。
(3) 乙校总人数为20人，80分人数为20-7-1-8=4人，平均分：
$\frac{70×7 + 80×4 + 90×1 + 100×8}{20} = \frac{490 + 320 + 90 + 800}{20} = \frac{1700}{20} = 85$
(4) 因为$s_{甲}^{2} ＜ s_{乙}^{2}$，所以甲校成绩比乙校成绩稳定。
