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一、选择题
1. 一组数据4，2，x，3，9的平均数为4，则这组数据的众数和中位数分别是()
A. 3，2
B. 2，2
C. 2，3
D. 2，4
1. 一组数据4，2，x，3，9的平均数为4，则这组数据的众数和中位数分别是()
A. 3，2
B. 2，2
C. 2，3
D. 2，4
答案
C
解析
根据平均数的定义，有：
$\frac{4 + 2 + x + 3 + 9}{5} = 4$，
解这个方程，得到：
$4 + 2 + x + 3 + 9 = 20$，
$x = 20 - 18$，
$x = 2$，
将这组数据从小到大排序，得到：$2, 2, 3, 4, 9$。
由于数字$2$出现了两次，而其他数字只出现了一次，所以众数为$2$。
这组数据有5个数，所以中位数就是排序后位于中间的数，即第3个数，也就是$3$。
所以，这组数据的众数是$2$，中位数是$3$。
$\frac{4 + 2 + x + 3 + 9}{5} = 4$，
解这个方程，得到：
$4 + 2 + x + 3 + 9 = 20$，
$x = 20 - 18$，
$x = 2$，
将这组数据从小到大排序，得到：$2, 2, 3, 4, 9$。
由于数字$2$出现了两次，而其他数字只出现了一次，所以众数为$2$。
这组数据有5个数，所以中位数就是排序后位于中间的数，即第3个数，也就是$3$。
所以，这组数据的众数是$2$，中位数是$3$。
2. 数据组1，1，1，2，2，2，2，3，3，3，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，10的第一四分位数、第三四分位数分别为()
A.2，4
B.3，4
C.2，3
D.2，5
A.2，4
B.3，4
C.2，3
D.2，5
答案
A
解析
首先将数据按从小到大的顺序排列，已经给出为：1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 10。
数据总数为21。
第一四分位数（Q1）位置：$(21+1) × \frac{1}{4} = 5.5$，
所以，Q1为第5个和第6个数据的平均数，即：$(2+2) ÷ 2 = 2$。
第三四分位数（Q3）位置：$(21+1) × \frac{3}{4} = 16.5$，
所以，Q3为第16个和第17个数据的平均数，即：$(4+4) ÷ 2 = 4$。
综上，第一四分位数为2，第三四分位数为4。
数据总数为21。
第一四分位数（Q1）位置：$(21+1) × \frac{1}{4} = 5.5$，
所以，Q1为第5个和第6个数据的平均数，即：$(2+2) ÷ 2 = 2$。
第三四分位数（Q3）位置：$(21+1) × \frac{3}{4} = 16.5$，
所以，Q3为第16个和第17个数据的平均数，即：$(4+4) ÷ 2 = 4$。
综上，第一四分位数为2，第三四分位数为4。
3. 如果将一组数据中的每个数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的()
A.平均数和方差都不变
B.平均数不变，方差改变
C.平均数改变，方差不改变
D.平均数和方差都改变
A.平均数和方差都不变
B.平均数不变，方差改变
C.平均数改变，方差不改变
D.平均数和方差都改变
答案
C
解析
设原数据为$x_1, x_2, ···, x_n$，加上同一个非零常数$k$后，新数据为$x_1 + k, x_2 + k, ···, x_n + k$。
原数据的平均数为$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ··· + x_n}{n}$，新数据的平均数为$\frac{(x_1 + k) + (x_2 + k) + ··· + (x_n + k)}{n} = \bar{x} + k$，所以平均数改变。
原数据的方差为$σ^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$，新数据的方差为$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} [(x_i + k) - (\bar{x} + k)]^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$，所以方差不变。
原数据的平均数为$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ··· + x_n}{n}$，新数据的平均数为$\frac{(x_1 + k) + (x_2 + k) + ··· + (x_n + k)}{n} = \bar{x} + k$，所以平均数改变。
原数据的方差为$σ^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$，新数据的方差为$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} [(x_i + k) - (\bar{x} + k)]^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$，所以方差不变。
4. 为了解某班学生双休户外活动情况，对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，结果如下表：
则关于“户外活动的时间”这组数据的众数、中位数、平均数分别是()
A.3，3，3
B.6，6，3
C.3，3，2
D.3，2，3
则关于“户外活动的时间”这组数据的众数、中位数、平均数分别是()
A.3，3，3
B.6，6，3
C.3，3，2
D.3，2，3
答案
A
解析
数据为：1小时的有2人，2小时的有2人，3小时的有4人，6小时的有2人，共10人。
众数是出现次数最多的数，因此众数为3小时。
中位数是将数据按大小排列后，位于中间的值。数据总数为10，是偶数，因此中位数为第5和第6个数的平均值。按时间排列后的顺序为：1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 6, 6，第5和第6个数均为3小时，因此中位数为3小时。
平均数是所有数据的总和除以数据个数，计算如下：
$(1×2+2×2+3×4+6×2)÷10=3$。
所以平均数为3小时。
综上，众数、中位数、平均数分别为3、3、3，
众数是出现次数最多的数，因此众数为3小时。
中位数是将数据按大小排列后，位于中间的值。数据总数为10，是偶数，因此中位数为第5和第6个数的平均值。按时间排列后的顺序为：1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 6, 6，第5和第6个数均为3小时，因此中位数为3小时。
平均数是所有数据的总和除以数据个数，计算如下：
$(1×2+2×2+3×4+6×2)÷10=3$。
所以平均数为3小时。
综上，众数、中位数、平均数分别为3、3、3，
5. 期中考试中，学习小组长算出5位同学数学成绩的平均分为M，如果把M当成另一个同学的分数，与原来的5个分数一起，算出这6个分数的平均值为N，那么M：N为()
A.$\frac{5}{6}$
B.1
C.$\frac{6}{5}$
D.2
A.$\frac{5}{6}$
B.1
C.$\frac{6}{5}$
D.2
答案
B
解析
设5位同学数学成绩的总分为$5M$，把$M$当成另一个同学的分数，则6个分数的总和为$5M + M = 6M$，那么这$6$个分数的平均值$N=\frac{6M}{6}=M$，所以$M:N = M:M = 1$。
二、填空题
6. 把5个数据-1，3，1，5，4分成{-1，1}和{3，4，5}两组，则这种分组情况的组内离差平方和为。
6. 把5个数据-1，3，1，5，4分成{-1，1}和{3，4，5}两组，则这种分组情况的组内离差平方和为。
答案
1. 第一组{-1,1}：平均数=( -1 + 1 )/2=0，离差平方和=( -1 - 0 )² + (1 - 0 )²=1 + 1=2；
2. 第二组{3,4,5}：平均数=(3 + 4 + 5)/3=4，离差平方和=(3 - 4 )² + (4 - 4 )² + (5 - 4 )²=1 + 0 + 1=2；
3. 组内离差平方和=2 + 2=4。
4
2. 第二组{3,4,5}：平均数=(3 + 4 + 5)/3=4，离差平方和=(3 - 4 )² + (4 - 4 )² + (5 - 4 )²=1 + 0 + 1=2；
3. 组内离差平方和=2 + 2=4。
4
7. 某班某次考试成绩(百分制)如下表所示，已知全班共有38人，且众数为50分，中位数为60分，则$x^{2}-2y=$。
答案
50
解析
全班人数总和为38，已知各分数段人数：2+3+5+6+3+4=23，故x+y=38-23=15。众数为50分，所以x＞6（其他分数段人数最大为6）。中位数为60分，38人中位数是第19、20位的平均数，需前四分数段累计人数＜19，即10+x＜19，得x＜9。x为整数，故x=7或8。若x=7，则y=8，此时70分人数8＞50分人数7，众数不是50，舍去；若x=8，则y=7，满足众数50分，中位数60分。则$x^2 - 2y=8^2 - 2×7=64-14=50$。
8. 在某公益活动中，小明对本班同学的捐款情况进行了统计，绘制成如下不完整的统计图。其中捐100元的人数占全班总人数的25%，则本次捐款的中位数是元。
答案
20
解析
设全班总人数为$x$，由捐100元的人数占25%，且捐100元的人数为15人，可得$25\%x = 15$，解得$x = 60$。则捐20元的人数为$60 - 20 - 10 - 15 = 15$人。将捐款金额按从小到大排序，第30、31个数据均为20元，所以中位数是20元。
9. 在某市中小学生“人人会乐器”演奏比赛中，某班10名学生成绩统计如图所示，则这10名学生成绩的中位数是分，众数是分。
答案
【解析】：
观察图表，根据数据：
名学生成绩为：80分的有2人，85分的有1人，90分的有5人，95分的有2人（根据图表推测）。
将这些成绩按从小到大的顺序排列：80, 80, 85, 90, 90, 90, 90, 90, 95, 95。
中位数为第5和第6位成绩的平均值，即 (90 + 90) / 2 = 90。
众数是出现次数最多的分数，即90分。
【答案】：
中位数：90
众数：90
答案填写：
【答案】：90，90
观察图表，根据数据：
名学生成绩为：80分的有2人，85分的有1人，90分的有5人，95分的有2人（根据图表推测）。
将这些成绩按从小到大的顺序排列：80, 80, 85, 90, 90, 90, 90, 90, 95, 95。
中位数为第5和第6位成绩的平均值，即 (90 + 90) / 2 = 90。
众数是出现次数最多的分数，即90分。
【答案】：
中位数：90
众数：90
答案填写：
【答案】：90，90
10. 一个样本数据按从小到大的顺序排列为13，14，19，x，23，27，28，31，若其中位数为22，则x的值为。
答案
21
解析
样本数据共有8个，按从小到大排列后，中位数是第4、5个数的平均数。已知中位数为22，第4个数是x，第5个数是23，所以$\frac{x + 23}{2} = 22$，解得$x = 21$。
11. 学校篮球队五名队员的年龄分别为17，15，17，16，15，其方差为0.8，则三年后这五名队员年龄的方差为。
答案
0.8
解析
方差是衡量数据波动大小的量，当每个数据都加上相同的数时，数据的波动情况不变，方差不变。原方差为0.8，三年后每个队员年龄都增加3岁，方差仍为0.8。
