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2. 已知直线 $ y = 2x $ 与 $ y = -x + b $ 的交点坐标为 $ (1, a) $，试确定方程组 $ \begin{cases} 2x - y = 0, \\ x + y - b = 0 \end{cases} $ 的解和 $ a, b $ 的值.
答案
因为直线 $ y = 2x $ 与 $ y = -x + b $ 的交点坐标为 $ (1, a) $，将 $ x = 1 $ 代入 $ y = 2x $，得 $ a = 2×1 = 2 $，所以交点坐标为 $ (1, 2) $。
将 $ (1, 2) $ 代入 $ y = -x + b $，得 $ 2 = -1 + b $，解得 $ b = 3 $。
因为二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数图象的交点坐标，所以方程组 $ \begin{cases} 2x - y = 0 \\ x + y - b = 0 \end{cases} $ 的解为 $ \begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases} $。
综上，方程组的解为 $ \begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases} $，$ a = 2 $，$ b = 3 $。
将 $ (1, 2) $ 代入 $ y = -x + b $，得 $ 2 = -1 + b $，解得 $ b = 3 $。
因为二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数图象的交点坐标，所以方程组 $ \begin{cases} 2x - y = 0 \\ x + y - b = 0 \end{cases} $ 的解为 $ \begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases} $。
综上，方程组的解为 $ \begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases} $，$ a = 2 $，$ b = 3 $。
1. 若方程 $ 2x + 1 = -x + m $ 的解是 $ x = 1 $，则直线 $ y = 2x + 1 $ 与 $ y = -x + m $ 的交点的坐标是()
A.$ (1, 0) $
B.$ (1, 3) $
C.$ (-1, -1) $
D.$ (-1, 5) $
A.$ (1, 0) $
B.$ (1, 3) $
C.$ (-1, -1) $
D.$ (-1, 5) $
答案
B
解析
因为方程$2x + 1 = -x + m$的解是$x = 1$，所以直线$y = 2x + 1$与$y = -x + m$的交点的横坐标为$1$。将$x = 1$代入$y = 2x + 1$，得$y = 2×1 + 1 = 3$，所以交点坐标为$(1, 3)$。
2. 如图，直线 $ y = kx + b $ 经过点 $ A(-1, -2) $ 和点 $ B(-2, 0) $，直线 $ y = cx $ 过点 $ A $，则不等式 $ cx ＜ kx + b ＜ 0 $ 的解集为()
A.$ x ＜ -2 $
B.$ -2 ＜ x ＜ -1 $
C.$ -2 ＜ x ＜ 0 $
D.$ -1 ＜ x ＜ 0 $
A.$ x ＜ -2 $
B.$ -2 ＜ x ＜ -1 $
C.$ -2 ＜ x ＜ 0 $
D.$ -1 ＜ x ＜ 0 $
答案
B
解析
先求直线 $y = kx + b$ 的解析式，将 $A(-1,-2)$、$B(-2,0)$ 代入得：$\begin{cases}-2 = -k + b \\ 0 = -2k + b\end{cases}$，解得 $k = -2$，$b = -4$，故 $y = -2x - 4$。直线 $y = cx$ 过 $A(-1,-2)$，得 $c = 2$，即 $y = 2x$。
不等式 $cx ＜ kx + b ＜ 0$ 即 $2x ＜ -2x - 4 ＜ 0$。
解 $ -2x - 4 ＜ 0$：$-2x ＜ 4$，$x ＞ -2$；
解 $2x ＜ -2x - 4$：$4x ＜ -4$，$x ＜ -1$。
综上，解集为 $-2 ＜ x ＜ -1$。
不等式 $cx ＜ kx + b ＜ 0$ 即 $2x ＜ -2x - 4 ＜ 0$。
解 $ -2x - 4 ＜ 0$：$-2x ＜ 4$，$x ＞ -2$；
解 $2x ＜ -2x - 4$：$4x ＜ -4$，$x ＜ -1$。
综上，解集为 $-2 ＜ x ＜ -1$。
3. 在同一平面直角坐标系中，直线 $ y = 4x + 1 $ 与直线 $ y = -x + b $ 的交点不可能在()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
D
解析
联立两直线方程$\begin{cases} y = 4x + 1 \\ y = -x + b \end{cases}$，解得交点坐标为$( \frac{b - 1}{5}, \frac{4b + 1}{5} )$。
第一象限：需$\frac{b - 1}{5} ＞ 0$且$\frac{4b + 1}{5} ＞ 0$，即$b ＞ 1$，可能；
第二象限：需$\frac{b - 1}{5} ＜ 0$且$\frac{4b + 1}{5} ＞ 0$，即$-\frac{1}{4} ＜ b ＜ 1$，可能；
第三象限：需$\frac{b - 1}{5} ＜ 0$且$\frac{4b + 1}{5} ＜ 0$，即$b ＜ -\frac{1}{4}$，可能；
第四象限：需$\frac{b - 1}{5} ＞ 0$且$\frac{4b + 1}{5} ＜ 0$，即$b ＞ 1$且$b ＜ -\frac{1}{4}$，无解，不可能。
第一象限：需$\frac{b - 1}{5} ＞ 0$且$\frac{4b + 1}{5} ＞ 0$，即$b ＞ 1$，可能；
第二象限：需$\frac{b - 1}{5} ＜ 0$且$\frac{4b + 1}{5} ＞ 0$，即$-\frac{1}{4} ＜ b ＜ 1$，可能；
第三象限：需$\frac{b - 1}{5} ＜ 0$且$\frac{4b + 1}{5} ＜ 0$，即$b ＜ -\frac{1}{4}$，可能；
第四象限：需$\frac{b - 1}{5} ＞ 0$且$\frac{4b + 1}{5} ＜ 0$，即$b ＞ 1$且$b ＜ -\frac{1}{4}$，无解，不可能。
4. 若直线 $ y = -x + a $ 和直线 $ y = x + b $ 的交点的坐标为 $ (m, 8) $，则 $ a + b = $.
答案
16
解析
因为两条直线的交点坐标为 $(m, 8)$，所以将点 $(m, 8)$ 代入两条直线的方程，得到：
$8 = -m + a \quad \mathrm{和} \quad 8 = m + b$，
将这两个方程相加，得到：
$16 = a + b$，
所以，$a + b = 16$。
$8 = -m + a \quad \mathrm{和} \quad 8 = m + b$，
将这两个方程相加，得到：
$16 = a + b$，
所以，$a + b = 16$。
5. 若直线 $ y = ax + 7 $ 经过一次函数 $ y = 4 - 3x $ 和 $ y = 2x - 1 $ 的图象的交点，则 $ a = $.
答案
-6
解析
联立方程组$\begin{cases}y = 4 - 3x \\ y = 2x - 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 1 \\ y = 1\end{cases}$。将交点$(1,1)$代入$y = ax + 7$，得$1 = a×1 + 7$，解得$a = -6$。
6. 甲、乙两人分别从 $ A $，$ B $ 两地相向而行，他们距 $ B $ 地的距离 $ s $(单位：$ km $)与时间 $ t $(单位：$ h $)的关系如图所示，那么乙的速度是 $ km/h $.
答案
2
解析
设甲距B地的距离s与时间t的函数关系为s=kt+b。由图知，甲过点(0,36)和(2,24)，则b=36，将(2,24)代入得24=2k+36，解得k=-6，故甲的函数为s=-6t+36。两函数交点横坐标为4.5h，此时甲距B地s=-6×4.5+36=9km，即相遇时乙距B地9km。乙从B地出发，相遇时用时4.5h，速度为9÷4.5=2km/h。
7. 已知两个一次函数 $ y = x + 3k $ 和 $ y = 2x - 6 $ 的图象的交点在 $ y $ 轴上，则 $ k $ 的值为.
答案
-2
解析
因为交点在y轴上，所以交点的横坐标为0。将x=0代入y=2x-6，得y=-6，即交点坐标为(0,-6)。把(0,-6)代入y=x+3k，得-6=0+3k，解得k=-2。
8. 若二元一次方程组 $ \begin{cases}3x - y = 5, \\ 3x - y = -1\end{cases}$ 无解，则一次函数 $ y = 3x - 5 $ 与 $ y = 3x + 1 $ 的图象的位置关系为 ______ .
答案
平行（题目为填空题直接输出答案内容即可，这里按要求格式处理）。
解析
对于二元一次方程组$\begin{cases}3x - y = 5,\\3x - y = -1.\end{cases}$
其对应的两个一次函数分别为$y = 3x - 5$和$y = 3x + 1$。
一次函数$y=kx+b$中$k$决定函数图象的斜率，这两个一次函数中$x$的系数都为$3$，即斜率都是$3$，斜率相等。
在平面直角坐标系中，两个一次函数图象，当斜率$k$相等且截距$b$不相等时，两直线平行。
一次函数$y = 3x - 5$中$b_1=-5$，一次函数$y = 3x + 1$中$b_2 = 1$，$b_1≠ b_2$。
所以一次函数$y = 3x - 5$与$y = 3x + 1$的图象的位置关系为平行。
其对应的两个一次函数分别为$y = 3x - 5$和$y = 3x + 1$。
一次函数$y=kx+b$中$k$决定函数图象的斜率，这两个一次函数中$x$的系数都为$3$，即斜率都是$3$，斜率相等。
在平面直角坐标系中，两个一次函数图象，当斜率$k$相等且截距$b$不相等时，两直线平行。
一次函数$y = 3x - 5$中$b_1=-5$，一次函数$y = 3x + 1$中$b_2 = 1$，$b_1≠ b_2$。
所以一次函数$y = 3x - 5$与$y = 3x + 1$的图象的位置关系为平行。
