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【例3】(教材例题变式)求多项式 $\frac{1}{3}x^{3} - 2x^{2}y + \frac{2}{3}x^{3} + 3x^{2}y + 5xy^{2} + 7 - 5xy^{2}$ 的值,其中 $x = -2$,$y = \frac{1}{2}$.
答案
解:$\frac {1}{3}x^{3}-2x^{2}y+\frac {2}{3}x^{3}+3x^{2}y+5xy^{2}+7-5xy^{2}=$$(\frac {1}{3}+\frac {2}{3})x^{3}+(-2+3)x^{2}y+(5-5)xy^{2}+7=x^{3}+$$x^{2}y+7.$当$x=-2,y=\frac {1}{2}$时,原式$=-8+4×\frac {1}{2}+7=1.$
解析
【分析】
解决这类多项式求值问题时，若直接代入数值计算，运算量大且易出错，因此优先考虑先合并同类项对多项式化简，再代入数值计算。解题步骤分为三步：第一步识别多项式中的同类项，第二步依据合并同类项法则（同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变）合并所有同类项，第三步将x、y的取值代入化简后的式子计算结果。
【解析】
先对多项式合并同类项：
$\begin{aligned}&\frac{1}{3}x^{3} - 2x^{2}y + \frac{2}{3}x^{3} + 3x^{2}y + 5xy^{2} + 7 - 5xy^{2}\\=&(\frac{1}{3}+\frac{2}{3})x^3 + (-2+3)x^2y + (5-5)xy^2 +7\\=&x^3 + x^2y + 7\end{aligned}$
再将$x=-2$，$y=\frac{1}{2}$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(-2)^3 + (-2)^2×\frac{1}{2} +7\\&=-8 + 4×\frac{1}{2} +7\\&=-8+2+7\\&=1\end{aligned}$
【答案】
$1$
【知识点】
合并同类项；代数式求值
【点评】
本题是整式化简求值的基础题型，核心方法是先化简再求值，能有效简化计算过程。解题时需注意准确识别同类项，合并同类项时仅对系数进行加减运算，不要改变字母及对应指数。
【难度系数】
0.85
解决这类多项式求值问题时，若直接代入数值计算，运算量大且易出错，因此优先考虑先合并同类项对多项式化简，再代入数值计算。解题步骤分为三步：第一步识别多项式中的同类项，第二步依据合并同类项法则（同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变）合并所有同类项，第三步将x、y的取值代入化简后的式子计算结果。
【解析】
先对多项式合并同类项：
$\begin{aligned}&\frac{1}{3}x^{3} - 2x^{2}y + \frac{2}{3}x^{3} + 3x^{2}y + 5xy^{2} + 7 - 5xy^{2}\\=&(\frac{1}{3}+\frac{2}{3})x^3 + (-2+3)x^2y + (5-5)xy^2 +7\\=&x^3 + x^2y + 7\end{aligned}$
再将$x=-2$，$y=\frac{1}{2}$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(-2)^3 + (-2)^2×\frac{1}{2} +7\\&=-8 + 4×\frac{1}{2} +7\\&=-8+2+7\\&=1\end{aligned}$
【答案】
$1$
【知识点】
合并同类项；代数式求值
【点评】
本题是整式化简求值的基础题型，核心方法是先化简再求值，能有效简化计算过程。解题时需注意准确识别同类项，合并同类项时仅对系数进行加减运算，不要改变字母及对应指数。
【难度系数】
0.85
求多项式的值时,可以先将多项式中同类项合并,然后代入求值,这样做往往可以简化计算.
答案
答题（如下 $^1$（假设题目为：求多项式 $3x^{2}+2x-2x^{2}-1 + 4x+5$ 中 $x = 2$ 时的值））：
原多项式 $3x^{2}+2x - 2x^{2}-1 + 4x + 5$
合并同类项：
$(3x^{2}-2x^{2})+(2x + 4x)+(5 - 1)=x^{2}+6x + 4$
当 $x = 2$ 时：
$x^{2}+6x + 4=2^{2}+6×2 + 4$
$=4 + 12+4$
$=20$
故答案为：20（根据实际题目，答案会相应改变，以上为示例）。
原多项式 $3x^{2}+2x - 2x^{2}-1 + 4x + 5$
合并同类项：
$(3x^{2}-2x^{2})+(2x + 4x)+(5 - 1)=x^{2}+6x + 4$
当 $x = 2$ 时：
$x^{2}+6x + 4=2^{2}+6×2 + 4$
$=4 + 12+4$
$=20$
故答案为：20（根据实际题目，答案会相应改变，以上为示例）。
解析
【分析】
遇到多项式代入求值的问题时，不要直接代入未知数计算，否则计算量大容易出错。正确的解题思路是：第一步先识别多项式中的同类项（所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项），第二步将同类项合并（合并时仅把系数相加减，字母和字母的指数保持不变），得到最简多项式后，再代入未知数的值计算，能大幅简化计算过程。本题中可先将二次项、一次项、常数项分别归类合并，再代入x=2计算结果。
【解析】
原多项式为：$3x^{2}+2x-2x^{2}-1 + 4x+5$
第一步：合并同类项
将同类项分组计算：
$(3x^{2}-2x^{2})+(2x + 4x)+(-1 + 5)$
$=(3-2)x^2 + (2+4)x + 4$
$=x^2 + 6x + 4$
第二步：代入$x=2$求值
将$x=2$代入化简后的多项式得：
$x^2 + 6x + 4$
$=2^2 + 6×2 + 4$
$=4 + 12 + 4$
$=20$
【答案】
20
【知识点】
合并同类项，整式化简求值，同类项识别
【点评】
先合并同类项再代入求值是多项式求值类题目的常用技巧，可有效减少计算量，降低运算错误率。解题的核心是准确识别同类项，掌握合并同类项的运算规则，避免出现字母指数变化、系数计算错误等问题。
【难度系数】
0.8
遇到多项式代入求值的问题时，不要直接代入未知数计算，否则计算量大容易出错。正确的解题思路是：第一步先识别多项式中的同类项（所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项），第二步将同类项合并（合并时仅把系数相加减，字母和字母的指数保持不变），得到最简多项式后，再代入未知数的值计算，能大幅简化计算过程。本题中可先将二次项、一次项、常数项分别归类合并，再代入x=2计算结果。
【解析】
原多项式为：$3x^{2}+2x-2x^{2}-1 + 4x+5$
第一步：合并同类项
将同类项分组计算：
$(3x^{2}-2x^{2})+(2x + 4x)+(-1 + 5)$
$=(3-2)x^2 + (2+4)x + 4$
$=x^2 + 6x + 4$
第二步：代入$x=2$求值
将$x=2$代入化简后的多项式得：
$x^2 + 6x + 4$
$=2^2 + 6×2 + 4$
$=4 + 12 + 4$
$=20$
【答案】
20
【知识点】
合并同类项，整式化简求值，同类项识别
【点评】
先合并同类项再代入求值是多项式求值类题目的常用技巧，可有效减少计算量，降低运算错误率。解题的核心是准确识别同类项，掌握合并同类项的运算规则，避免出现字母指数变化、系数计算错误等问题。
【难度系数】
0.8
4. 求多项式的值：
(1) $x^{2} + 2xy - 3y^{2} - 2x^{2} - 2xy + 4y^{2}$,其中 $x = 1$,$y = 2$；
(2) $3x^{2} + \frac{3}{2}y^{2} - 3xy - 2xy - 3x^{2} + \frac{1}{2}y^{2}$,其中 $x = 1$,$y = 2$.
(1) $x^{2} + 2xy - 3y^{2} - 2x^{2} - 2xy + 4y^{2}$,其中 $x = 1$,$y = 2$；
(2) $3x^{2} + \frac{3}{2}y^{2} - 3xy - 2xy - 3x^{2} + \frac{1}{2}y^{2}$,其中 $x = 1$,$y = 2$.
答案
解:
(1)$x^{2}+2xy-3y^{2}-2x^{2}-2xy+4y^{2}=-x^{2}+y^{2}.$当$x=1,y=2$时,原式$=-1+2^{2}=3.$
(2)$3x^{2}+\frac {3}{2}y^{2}-3xy-2xy-3x^{2}+\frac {1}{2}y^{2}=2y^{2}-5xy,$当$x=1,y=2$时,原式$=2×2^{2}-5×1×2=-2.$
(1)$x^{2}+2xy-3y^{2}-2x^{2}-2xy+4y^{2}=-x^{2}+y^{2}.$当$x=1,y=2$时,原式$=-1+2^{2}=3.$
(2)$3x^{2}+\frac {3}{2}y^{2}-3xy-2xy-3x^{2}+\frac {1}{2}y^{2}=2y^{2}-5xy,$当$x=1,y=2$时,原式$=2×2^{2}-5×1×2=-2.$
解析
【分析】
求解多项式值的题目优先采用先化简再代值的思路，可避免直接代入数值导致运算繁琐易出错。解题分两步：第一步合并同类项，先找到多项式中所含字母相同、相同字母指数也相同的同类项，再按照合并同类项法则，将同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变，把多项式化简为最简形式；第二步将给定的x、y的值代入化简后的式子，计算出最终结果即可。
【解析】
(1) 合并同类项化简多项式：
$\begin{aligned}&x^{2} + 2xy - 3y^{2} - 2x^{2} - 2xy + 4y^{2}\\=&(x^2-2x^2)+(2xy-2xy)+(-3y^2+4y^2)\\=&-x^2+y^2\end{aligned}$
将$x=1$，$y=2$代入化简后的式子：
原式$=-1^2+2^2=-1+4=3$
(2) 合并同类项化简多项式：
$\begin{aligned}&3x^{2} + \frac{3}{2}y^{2} - 3xy - 2xy - 3x^{2} + \frac{1}{2}y^{2}\\=&(3x^2-3x^2)+(\frac{3}{2}y^2+\frac{1}{2}y^2)+(-3xy-2xy)\\=&2y^2-5xy\end{aligned}$
将$x=1$，$y=2$代入化简后的式子：
原式$=2×2^2 -5×1×2=8-10=-2$
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{-2}$
【知识点】
合并同类项，整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心是掌握先化简再求值的解题思路，正确识别、合并同类项是解题的关键，化简后代入数值可大幅降低计算量、减少错误率，该类题型的解法需要熟练掌握。
【难度系数】
0.85
求解多项式值的题目优先采用先化简再代值的思路，可避免直接代入数值导致运算繁琐易出错。解题分两步：第一步合并同类项，先找到多项式中所含字母相同、相同字母指数也相同的同类项，再按照合并同类项法则，将同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变，把多项式化简为最简形式；第二步将给定的x、y的值代入化简后的式子，计算出最终结果即可。
【解析】
(1) 合并同类项化简多项式：
$\begin{aligned}&x^{2} + 2xy - 3y^{2} - 2x^{2} - 2xy + 4y^{2}\\=&(x^2-2x^2)+(2xy-2xy)+(-3y^2+4y^2)\\=&-x^2+y^2\end{aligned}$
将$x=1$，$y=2$代入化简后的式子：
原式$=-1^2+2^2=-1+4=3$
(2) 合并同类项化简多项式：
$\begin{aligned}&3x^{2} + \frac{3}{2}y^{2} - 3xy - 2xy - 3x^{2} + \frac{1}{2}y^{2}\\=&(3x^2-3x^2)+(\frac{3}{2}y^2+\frac{1}{2}y^2)+(-3xy-2xy)\\=&2y^2-5xy\end{aligned}$
将$x=1$，$y=2$代入化简后的式子：
原式$=2×2^2 -5×1×2=8-10=-2$
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{-2}$
【知识点】
合并同类项，整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心是掌握先化简再求值的解题思路，正确识别、合并同类项是解题的关键，化简后代入数值可大幅降低计算量、减少错误率，该类题型的解法需要熟练掌握。
【难度系数】
0.85
【例4】2023年,10辆无人物流配送车在阳泉邮政正式“上岗”. 邮政员工将快递包裹装进无人物流配送车车厢内,轻点显示屏操作后,无人车按照系统预设线路自动上路行驶,并将邮件投送到指定快递自提点. 已知某天甲配送车投送快递 $m$ 件,乙配送车比甲配送车多投送6件,丙配送车投送的件数比甲配送车的2倍多1件,求甲、乙、丙配送车这天投送快递的总件数.
答案
解:由题意,得$m+m+6+2m+1=4m+7$(件).因此甲、乙、丙配送车这天投送快递共$(4m+7)$件.
解析
【分析】
解题时首先需要根据题目给出的数量关系，分别用含m的代数式表示出乙、丙配送车的投送件数，再将三辆车的投送件数相加，最后通过合并同类项化简得到总件数即可。具体思考步骤：第一步，根据“乙比甲多投送6件”，可得乙的投送件数为甲的件数加6；第二步，根据“丙投送的件数比甲的2倍多1件”，可得丙的投送件数为甲的件数乘2再加1；第三步，总件数为三辆车投送件数之和，合并同类项得到最简结果。
【解析】
解：根据题意可得：
乙配送车投送的快递件数为：$(m+6)$件
丙配送车投送的快递件数为：$(2m+1)$件
则三辆车投送的总件数为：
$\begin{aligned}&m+(m+6)+(2m+1)\\=&m+m+6+2m+1\\=&(m+m+2m)+(6+1)\\=&4m+7\end{aligned}$
【答案】
$(4m+7)$件
【知识点】
列代数式；合并同类项
【点评】
本题结合生活实际场景考查代数式的应用，解题关键是准确读懂题意，正确表示出各辆配送车的投送件数，再通过合并同类项化简得到结果，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.85
解题时首先需要根据题目给出的数量关系，分别用含m的代数式表示出乙、丙配送车的投送件数，再将三辆车的投送件数相加，最后通过合并同类项化简得到总件数即可。具体思考步骤：第一步，根据“乙比甲多投送6件”，可得乙的投送件数为甲的件数加6；第二步，根据“丙投送的件数比甲的2倍多1件”，可得丙的投送件数为甲的件数乘2再加1；第三步，总件数为三辆车投送件数之和，合并同类项得到最简结果。
【解析】
解：根据题意可得：
乙配送车投送的快递件数为：$(m+6)$件
丙配送车投送的快递件数为：$(2m+1)$件
则三辆车投送的总件数为：
$\begin{aligned}&m+(m+6)+(2m+1)\\=&m+m+6+2m+1\\=&(m+m+2m)+(6+1)\\=&4m+7\end{aligned}$
【答案】
$(4m+7)$件
【知识点】
列代数式；合并同类项
【点评】
本题结合生活实际场景考查代数式的应用，解题关键是准确读懂题意，正确表示出各辆配送车的投送件数，再通过合并同类项化简得到结果，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.85
5. 苍溪雪梨是四川省苍溪县特产,中国国家地理标志产品. 某水果超市第一次以每千克4元的价格购进 $m$ 筐雪梨,因水果超市与批发商长期合作,所以第二次以每千克3元的价格购进同样多的筐数. 平均每筐雪梨的质量是 $30$ kg,求两次购买雪梨的总费用.
答案
解:第一次购买花费120m元,第二次购买花费90m元.$120m+90m=210m$(元),因此,两次购买雪梨的总费用为210m元.
解析
【分析】
要求两次购买雪梨的总费用，需要先分别求出第一次、第二次购买雪梨的费用，再将两次费用相加。首先计算每次购进雪梨的总质量：已知每次购进m筐，每筐质量30kg，可得单次购进质量为30m kg；再根据“总费用=单价×总质量”分别计算两次的采购费用，最后将两次费用相加，合并同类项即可得到最终总费用。
【解析】
1. 计算单次购进雪梨的总质量：
每筐雪梨质量为30kg，每次购进m筐，因此单次购进的雪梨总质量为 $ 30 × m = 30m \ \mathrm{kg} $。
2. 计算第一次购买雪梨的费用：
第一次购进单价为每千克4元，因此第一次购买费用为 $ 4 × 30m = 120m \ \mathrm{元} $。
3. 计算第二次购买雪梨的费用：
第二次购进单价为每千克3元，因此第二次购买费用为 $ 3 × 30m = 90m \ \mathrm{元} $。
4. 计算两次购买的总费用：
总费用为两次费用之和，合并同类项得：$ 120m + 90m = 210m \ \mathrm{元} $。
【答案】
210m元
【知识点】
列代数式；合并同类项
【点评】
本题是基础应用型题目，核心是结合实际问题的数量关系正确列出代数式，再通过合并同类项化简得到结果，能够巩固代数式的实际应用能力和合并同类项的运算技能。
【难度系数】
0.8
要求两次购买雪梨的总费用，需要先分别求出第一次、第二次购买雪梨的费用，再将两次费用相加。首先计算每次购进雪梨的总质量：已知每次购进m筐，每筐质量30kg，可得单次购进质量为30m kg；再根据“总费用=单价×总质量”分别计算两次的采购费用，最后将两次费用相加，合并同类项即可得到最终总费用。
【解析】
1. 计算单次购进雪梨的总质量：
每筐雪梨质量为30kg，每次购进m筐，因此单次购进的雪梨总质量为 $ 30 × m = 30m \ \mathrm{kg} $。
2. 计算第一次购买雪梨的费用：
第一次购进单价为每千克4元，因此第一次购买费用为 $ 4 × 30m = 120m \ \mathrm{元} $。
3. 计算第二次购买雪梨的费用：
第二次购进单价为每千克3元，因此第二次购买费用为 $ 3 × 30m = 90m \ \mathrm{元} $。
4. 计算两次购买的总费用：
总费用为两次费用之和，合并同类项得：$ 120m + 90m = 210m \ \mathrm{元} $。
【答案】
210m元
【知识点】
列代数式；合并同类项
【点评】
本题是基础应用型题目，核心是结合实际问题的数量关系正确列出代数式，再通过合并同类项化简得到结果，能够巩固代数式的实际应用能力和合并同类项的运算技能。
【难度系数】
0.8
