登录
7. 如图，已知每个小正方形的边长都为$1\ \mathrm{cm}$，$O$，$A$，$B$都在小正方形的格点上，扇形$OAB$是某个圆锥的侧面展开图。
（1）求这个圆锥侧面展开图的面积；
（2）求圆锥的底面半径。
（1）求这个圆锥侧面展开图的面积；
（2）求圆锥的底面半径。
答案
7. (1) $ 2π \mathrm{ cm}^2 $ (2) $ \dfrac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{ cm} $
解析
【解析】
（1）由勾股定理可得扇形半径$OA=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，观察图形可知$∠ AOB=90°$。
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ R^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径），
则侧面展开图的面积$S=\frac{90π×(2\sqrt{2})^2}{360}=\frac{90π×8}{360}=2π\ \mathrm{cm}^2$。
（2）根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，可得扇形弧长$l=\frac{90π×2\sqrt{2}}{180}=\sqrt{2}π\ \mathrm{cm}$。
因为圆锥底面周长等于扇形弧长，即$2π r=l$（$r$为圆锥底面半径），
所以$2π r=\sqrt{2}π$，解得$r=\frac{\sqrt{2}}{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
（1）$2π\ \mathrm{cm}^2$；（2）$\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
扇形面积公式、弧长公式、圆锥侧面展开图性质
【点评】
本题考查圆锥与扇形的综合应用，需熟练掌握扇形的面积、弧长公式，以及圆锥底面周长与扇形弧长的等量关系，关键是准确确定扇形的半径和圆心角。
【难度系数】
0.6
（1）由勾股定理可得扇形半径$OA=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，观察图形可知$∠ AOB=90°$。
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ R^2}{360}$（$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径），
则侧面展开图的面积$S=\frac{90π×(2\sqrt{2})^2}{360}=\frac{90π×8}{360}=2π\ \mathrm{cm}^2$。
（2）根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，可得扇形弧长$l=\frac{90π×2\sqrt{2}}{180}=\sqrt{2}π\ \mathrm{cm}$。
因为圆锥底面周长等于扇形弧长，即$2π r=l$（$r$为圆锥底面半径），
所以$2π r=\sqrt{2}π$，解得$r=\frac{\sqrt{2}}{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
（1）$2π\ \mathrm{cm}^2$；（2）$\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
扇形面积公式、弧长公式、圆锥侧面展开图性质
【点评】
本题考查圆锥与扇形的综合应用，需熟练掌握扇形的面积、弧长公式，以及圆锥底面周长与扇形弧长的等量关系，关键是准确确定扇形的半径和圆心角。
【难度系数】
0.6
8. 如图，一个圆锥的高为$3\sqrt{3}$，侧面展开图是半圆。
（1）求圆锥的母线长与底面半径之比；
（2）求$∠ BAC$的度数；
（3）求圆锥的全面积。（结果保留$π$）
（1）求圆锥的母线长与底面半径之比；
（2）求$∠ BAC$的度数；
（3）求圆锥的全面积。（结果保留$π$）
答案
8. (1) $ 2:1 $ (2) $ 60° $ (3) $ 27π $
解析
【解析】
（1）设圆锥的母线长为$ l $，底面半径为$ r $。
因为圆锥侧面展开图是半圆，半圆的弧长等于底面圆的周长，所以$ π l = 2π r $，化简得$ \frac{l}{r} = \frac{2}{1} $，即母线长与底面半径之比为$ 2:1 $。
（2）已知圆锥的高$ h = 3\sqrt{3} $，由勾股定理得$ l^2 = r^2 + h^2 $。
由（1）知$ l = 2r $，代入得$ (2r)^2 = r^2 + (3\sqrt{3})^2 $，
即$ 4r^2 = r^2 + 27 $，解得$ r = 3 $，则$ l = 6 $。
因为$ AB = AC = 6 $，$ BC = 2r = 6 $，所以$ △ ABC $是等边三角形，故$ ∠ BAC = 60° $。
（3）圆锥的侧面积为$ \frac{1}{2}π l^2 = \frac{1}{2}π × 6^2 = 18π $，
底面积为$ π r^2 = π × 3^2 = 9π $，
所以全面积为$ 18π + 9π = 27π $。
【答案】
（1）$ 2:1 $；（2）$ 60° $；（3）$ 27π $
【知识点】
圆锥的侧面展开图、勾股定理、等边三角形的判定
【点评】
本题考查圆锥的相关计算，需结合侧面展开图弧长与底面周长的关系，运用勾股定理、等边三角形的性质求解，综合性较强，注重对圆锥基本量之间关系的考查。
【难度系数】
0.6
（1）设圆锥的母线长为$ l $，底面半径为$ r $。
因为圆锥侧面展开图是半圆，半圆的弧长等于底面圆的周长，所以$ π l = 2π r $，化简得$ \frac{l}{r} = \frac{2}{1} $，即母线长与底面半径之比为$ 2:1 $。
（2）已知圆锥的高$ h = 3\sqrt{3} $，由勾股定理得$ l^2 = r^2 + h^2 $。
由（1）知$ l = 2r $，代入得$ (2r)^2 = r^2 + (3\sqrt{3})^2 $，
即$ 4r^2 = r^2 + 27 $，解得$ r = 3 $，则$ l = 6 $。
因为$ AB = AC = 6 $，$ BC = 2r = 6 $，所以$ △ ABC $是等边三角形，故$ ∠ BAC = 60° $。
（3）圆锥的侧面积为$ \frac{1}{2}π l^2 = \frac{1}{2}π × 6^2 = 18π $，
底面积为$ π r^2 = π × 3^2 = 9π $，
所以全面积为$ 18π + 9π = 27π $。
【答案】
（1）$ 2:1 $；（2）$ 60° $；（3）$ 27π $
【知识点】
圆锥的侧面展开图、勾股定理、等边三角形的判定
【点评】
本题考查圆锥的相关计算，需结合侧面展开图弧长与底面周长的关系，运用勾股定理、等边三角形的性质求解，综合性较强，注重对圆锥基本量之间关系的考查。
【难度系数】
0.6
9. 如图是一圆锥的左视图，根据图中所标数据，圆锥侧面展开图的扇形圆心角的大小为(
A.$90°$
B.$120°$
C.$135°$
D.$150°$
B
)A.$90°$
B.$120°$
C.$135°$
D.$150°$
答案
9. B
解析
【解析】
1. 由圆锥左视图可知，圆锥的高为$6\sqrt{2}$，底面直径为6，因此底面半径$r=3$。
2. 根据勾股定理计算圆锥母线长$l$：
$l=\sqrt{(6\sqrt{2})^2+3^2}=\sqrt{72+9}=\sqrt{81}=9$。
3. 设圆锥侧面展开图的扇形圆心角为$n°$，圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，根据弧长公式：
$2π r=\frac{nπ l}{180}$，
代入$r=3$，$l=9$，得：
$2π×3=\frac{nπ×9}{180}$，
化简求解：
$6=\frac{9n}{180}$，
$n=\frac{6×180}{9}=120$，
即扇形圆心角为$120°$。
【答案】
B
【知识点】
圆锥的三视图，弧长公式，勾股定理
【点评】
本题考查圆锥的相关计算，关键是掌握圆锥底面周长与侧面展开图扇形弧长的关系，以及利用勾股定理求母线长。
【难度系数】
0.6
1. 由圆锥左视图可知，圆锥的高为$6\sqrt{2}$，底面直径为6，因此底面半径$r=3$。
2. 根据勾股定理计算圆锥母线长$l$：
$l=\sqrt{(6\sqrt{2})^2+3^2}=\sqrt{72+9}=\sqrt{81}=9$。
3. 设圆锥侧面展开图的扇形圆心角为$n°$，圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，根据弧长公式：
$2π r=\frac{nπ l}{180}$，
代入$r=3$，$l=9$，得：
$2π×3=\frac{nπ×9}{180}$，
化简求解：
$6=\frac{9n}{180}$，
$n=\frac{6×180}{9}=120$，
即扇形圆心角为$120°$。
【答案】
B
【知识点】
圆锥的三视图，弧长公式，勾股定理
【点评】
本题考查圆锥的相关计算，关键是掌握圆锥底面周长与侧面展开图扇形弧长的关系，以及利用勾股定理求母线长。
【难度系数】
0.6
