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10. 如图，$BC$为圆锥底面圆的直径，$A$为圆锥的顶点，且圆锥的侧面积是底面积的$\sqrt{2}$倍，则母线夹角$∠ BAC$为(
A.$150°$
B.$120°$
C.$90°$
D.$60°$
C
)A.$150°$
B.$120°$
C.$90°$
D.$60°$
答案
10. C
解析
【解析】
设圆锥的母线长为$ l $，底面圆的半径为$ r $。
1. 计算底面积与侧面积：
圆锥底面积$ S_{\mathrm{底}} = π r^2 $，侧面积$ S_{\mathrm{侧}} = π r l $。
2. 根据题意列等式：
由侧面积是底面积的$ \sqrt{2} $倍，得$ π r l = \sqrt{2} π r^2 $，化简得$ l = \sqrt{2} r $。
3. 分析$ △ BAC $的边长：
因为$ BC $是底面直径，所以$ BC = 2r $，且$ AB = AC = l = \sqrt{2} r $。
4. 用勾股定理逆定理判断角度：
$ AB^2 + AC^2 = (\sqrt{2} r)^2 + (\sqrt{2} r)^2 = 4r^2 $，$ BC^2 = (2r)^2 = 4r^2 $，即$ AB^2 + AC^2 = BC^2 $，所以$ ∠ BAC = 90° $。
【答案】
C
【知识点】
圆锥侧面积公式，勾股定理逆定理
【点评】
本题考查圆锥的侧面积与底面积的计算，结合勾股定理逆定理判断三角形形状，关键是利用侧面积与底面积的关系求出母线长与底面半径的数量关系。
【难度系数】
0.6
设圆锥的母线长为$ l $，底面圆的半径为$ r $。
1. 计算底面积与侧面积：
圆锥底面积$ S_{\mathrm{底}} = π r^2 $，侧面积$ S_{\mathrm{侧}} = π r l $。
2. 根据题意列等式：
由侧面积是底面积的$ \sqrt{2} $倍，得$ π r l = \sqrt{2} π r^2 $，化简得$ l = \sqrt{2} r $。
3. 分析$ △ BAC $的边长：
因为$ BC $是底面直径，所以$ BC = 2r $，且$ AB = AC = l = \sqrt{2} r $。
4. 用勾股定理逆定理判断角度：
$ AB^2 + AC^2 = (\sqrt{2} r)^2 + (\sqrt{2} r)^2 = 4r^2 $，$ BC^2 = (2r)^2 = 4r^2 $，即$ AB^2 + AC^2 = BC^2 $，所以$ ∠ BAC = 90° $。
【答案】
C
【知识点】
圆锥侧面积公式，勾股定理逆定理
【点评】
本题考查圆锥的侧面积与底面积的计算，结合勾股定理逆定理判断三角形形状，关键是利用侧面积与底面积的关系求出母线长与底面半径的数量关系。
【难度系数】
0.6
11. 如图，扇形$DOE$的半径为$3$，边长为$\sqrt{3}$的菱形$OABC$的顶点$A$，$C$，$B$分别在$OD$，$OE$，$\overset{\frown}{DE}$上。若把扇形$DOE$围成一个圆锥，则此圆锥的高为(
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{37}}{2}$
D.$\dfrac{\sqrt{35}}{2}$
D
)A.$\dfrac{1}{2}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{37}}{2}$
D.$\dfrac{\sqrt{35}}{2}$
答案
11. D
解析
【解析】
连接$OB$，
∵四边形$OABC$是菱形，边长为$\sqrt{3}$，扇形$DOE$的半径为3，
∴$OA=AB=\sqrt{3}$，$OB=3$。
在$△ OAB$中，由余弦定理：
$OB^2=OA^2+AB^2-2· OA· AB·\cos∠ OAB$，
代入得：$9=3+3-2×\sqrt{3}×\sqrt{3}×\cos∠ OAB$，
解得$\cos∠ OAB=-\frac{1}{2}$，故$∠ OAB=120°$。
∵菱形邻角互补，
∴$∠ DOE=∠ AOC=180°-120°=60°$。
扇形$DOE$的弧长为：$\frac{60π×3}{180}=π$。
设圆锥底面半径为$r$，则$2π r=π$，解得$r=\frac{1}{2}$。
圆锥的母线长为3，由勾股定理得圆锥的高：
$h=\sqrt{3^2-(\frac{1}{2})^2}=\sqrt{9-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{35}}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质，扇形弧长公式，圆锥的计算
【点评】
本题综合考查菱形性质、扇形弧长与圆锥的关系，关键是通过菱形性质和余弦定理求出扇形圆心角，再利用弧长公式计算圆锥底面半径，最后由勾股定理求圆锥的高，需熟练掌握各知识点的综合应用。
【难度系数】
0.4
连接$OB$，
∵四边形$OABC$是菱形，边长为$\sqrt{3}$，扇形$DOE$的半径为3，
∴$OA=AB=\sqrt{3}$，$OB=3$。
在$△ OAB$中，由余弦定理：
$OB^2=OA^2+AB^2-2· OA· AB·\cos∠ OAB$，
代入得：$9=3+3-2×\sqrt{3}×\sqrt{3}×\cos∠ OAB$，
解得$\cos∠ OAB=-\frac{1}{2}$，故$∠ OAB=120°$。
∵菱形邻角互补，
∴$∠ DOE=∠ AOC=180°-120°=60°$。
扇形$DOE$的弧长为：$\frac{60π×3}{180}=π$。
设圆锥底面半径为$r$，则$2π r=π$，解得$r=\frac{1}{2}$。
圆锥的母线长为3，由勾股定理得圆锥的高：
$h=\sqrt{3^2-(\frac{1}{2})^2}=\sqrt{9-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{35}}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质，扇形弧长公式，圆锥的计算
【点评】
本题综合考查菱形性质、扇形弧长与圆锥的关系，关键是通过菱形性质和余弦定理求出扇形圆心角，再利用弧长公式计算圆锥底面半径，最后由勾股定理求圆锥的高，需熟练掌握各知识点的综合应用。
【难度系数】
0.4
12. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$AC = 3$，$BC = 4$，以直线$AC$为轴，把$△ ABC$旋转一周，则所得到圆锥的侧面积为
$ 20π $
。(结果保留$π$)答案
12. $ 20π $
解析
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$BC=4$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
以直线$AC$为轴旋转一周得到圆锥，
则圆锥的底面半径$r=BC=4$，母线长$l=AB=5$，
根据圆锥侧面积公式$S=π rl$，
可得侧面积为$π×4×5=20π$。
【答案】
$20π$
【知识点】
勾股定理，圆锥侧面积公式
【点评】
本题考查圆锥侧面积的计算，需先利用勾股定理求出母线长，再结合圆锥侧面积公式求解，关键是明确旋转后圆锥的底面半径和母线长。
【难度系数】
0.7
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$BC=4$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
以直线$AC$为轴旋转一周得到圆锥，
则圆锥的底面半径$r=BC=4$，母线长$l=AB=5$，
根据圆锥侧面积公式$S=π rl$，
可得侧面积为$π×4×5=20π$。
【答案】
$20π$
【知识点】
勾股定理，圆锥侧面积公式
【点评】
本题考查圆锥侧面积的计算，需先利用勾股定理求出母线长，再结合圆锥侧面积公式求解，关键是明确旋转后圆锥的底面半径和母线长。
【难度系数】
0.7
13. 如图，在菱形$ABCD$中，$AB = 2\sqrt{3}$，$∠ C = 120°$，以点$C$为圆心的$\overset{\frown}{EF}$与$AB$，$AD$分别相切于$G$，$H$，与$BC$，$CD$分别相交于$E$，$F$。若用扇形$CEF$做一个圆锥的侧面，求这个圆锥的高。
答案
13. $ 2\sqrt{2} $
解析
【解析】
1. 连接$CG$，因为$\overset{\frown}{EF}$与$AB$相切于$G$，所以$CG ⊥ AB$。
2. 在菱形$ABCD$中，$AB=BC=2\sqrt{3}$，$∠ C=120°$，故$∠ B=180° - 120°=60°$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ BCG$中，$CG=BC·\sin60°=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=3$，即扇形$CEF$的半径$R=3$，圆心角$n=120°$。
4. 设圆锥底面圆的半径为$r$，由扇形弧长等于圆锥底面周长，得：
$\frac{120π×3}{180}=2π r$，解得$r=1$。
5. 圆锥的母线长为$3$，根据勾股定理，圆锥的高$h=\sqrt{3^2 - 1^2}=\sqrt{9-1}=2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
菱形的性质，切线的性质，圆锥的计算
【点评】
本题综合考查菱形、圆的切线及圆锥的相关计算，关键是利用切线性质求出扇形半径，再结合圆锥侧面展开图的弧长与底面周长的关系求解底面半径，最后用勾股定理求圆锥的高。
【难度系数】
0.6
1. 连接$CG$，因为$\overset{\frown}{EF}$与$AB$相切于$G$，所以$CG ⊥ AB$。
2. 在菱形$ABCD$中，$AB=BC=2\sqrt{3}$，$∠ C=120°$，故$∠ B=180° - 120°=60°$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ BCG$中，$CG=BC·\sin60°=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=3$，即扇形$CEF$的半径$R=3$，圆心角$n=120°$。
4. 设圆锥底面圆的半径为$r$，由扇形弧长等于圆锥底面周长，得：
$\frac{120π×3}{180}=2π r$，解得$r=1$。
5. 圆锥的母线长为$3$，根据勾股定理，圆锥的高$h=\sqrt{3^2 - 1^2}=\sqrt{9-1}=2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
菱形的性质，切线的性质，圆锥的计算
【点评】
本题综合考查菱形、圆的切线及圆锥的相关计算，关键是利用切线性质求出扇形半径，再结合圆锥侧面展开图的弧长与底面周长的关系求解底面半径，最后用勾股定理求圆锥的高。
【难度系数】
0.6
