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13. 如图是实心零件的两种视图，求该零件的表面积.
答案
13. $(6π + 66)\mathrm{cm}^2$
解析
【解析】
由两种视图可知，该零件是长方体与半圆柱的组合体，其表面积为长方体的表面积加上半圆柱的侧面积（半圆柱的两个半圆底面与长方体的面重合，无需额外加减）。
1. 根据视图计算长方体的表面积，得长方体表面积为$66\ \mathrm{cm}^2$；
2. 由视图可知半圆柱的底面半径为$1\ \mathrm{cm}$，高为$6\ \mathrm{cm}$，计算半圆柱侧面积：$\frac{1}{2}×π×2×6 = 6π\ \mathrm{cm}^2$；
3. 零件总表面积为两部分之和：$66 + 6π = (6π + 66)\mathrm{cm}^2$。
【答案】
$(6π + 66)\mathrm{cm}^2$
【知识点】
三视图的应用，组合体表面积计算
【点评】
本题考查组合体表面积的求解，核心是通过三视图确定零件的几何结构，准确分析表面积的组成，注意避免重复计算或遗漏面的面积。
【难度系数】
0.6
由两种视图可知，该零件是长方体与半圆柱的组合体，其表面积为长方体的表面积加上半圆柱的侧面积（半圆柱的两个半圆底面与长方体的面重合，无需额外加减）。
1. 根据视图计算长方体的表面积，得长方体表面积为$66\ \mathrm{cm}^2$；
2. 由视图可知半圆柱的底面半径为$1\ \mathrm{cm}$，高为$6\ \mathrm{cm}$，计算半圆柱侧面积：$\frac{1}{2}×π×2×6 = 6π\ \mathrm{cm}^2$；
3. 零件总表面积为两部分之和：$66 + 6π = (6π + 66)\mathrm{cm}^2$。
【答案】
$(6π + 66)\mathrm{cm}^2$
【知识点】
三视图的应用，组合体表面积计算
【点评】
本题考查组合体表面积的求解，核心是通过三视图确定零件的几何结构，准确分析表面积的组成，注意避免重复计算或遗漏面的面积。
【难度系数】
0.6
14. 已知直三棱柱的三视图如图所示，在$△ PMN$中，$∠ MPN = 90°$，$PN = 4$，$\sin∠ PMN = \frac{4}{5}$.
（1）求$BC$及$FG$的长；
（2）若主视图与左视图两矩形相似，求$AB$的长；
（3）在（2）的情况下，求直三棱柱的表面积.
（1）求$BC$及$FG$的长；
（2）若主视图与左视图两矩形相似，求$AB$的长；
（3）在（2）的情况下，求直三棱柱的表面积.
答案
14. 解：(1)设 $\mathrm{Rt}△ PMN$ 斜边上的高为 $h$，
由图可知 $BC = MN$，$FG = h$。
$\because \sin∠ PMN = \frac{PN}{MN} = \frac{4}{5}$，$PN = 4$，
$\therefore MN = 5$，$PM = 3$，
$\therefore BC = 5$。
$\because \frac{1}{2}PM· PN = \frac{1}{2}h· MN$，
$\therefore h = \frac{12}{5}$，$\therefore FG = \frac{12}{5}$。
(2)$\because$ 矩形 $ABCD$ 与矩形 $EFGH$ 相似，且 $AB = EF$，
$\therefore \frac{AB}{FG} = \frac{BC}{EF}$，即 $\frac{AB}{\frac{12}{5}} = \frac{5}{AB}$，$\therefore AB = 2\sqrt{3}$。
(3)直三棱柱的表面积为 $\frac{1}{2}× 3× 4× 2 + 5× 2\sqrt{3} + 3× 2\sqrt{3} + 4× 2\sqrt{3} = 12 + 24\sqrt{3}$。
由图可知 $BC = MN$，$FG = h$。
$\because \sin∠ PMN = \frac{PN}{MN} = \frac{4}{5}$，$PN = 4$，
$\therefore MN = 5$，$PM = 3$，
$\therefore BC = 5$。
$\because \frac{1}{2}PM· PN = \frac{1}{2}h· MN$，
$\therefore h = \frac{12}{5}$，$\therefore FG = \frac{12}{5}$。
(2)$\because$ 矩形 $ABCD$ 与矩形 $EFGH$ 相似，且 $AB = EF$，
$\therefore \frac{AB}{FG} = \frac{BC}{EF}$，即 $\frac{AB}{\frac{12}{5}} = \frac{5}{AB}$，$\therefore AB = 2\sqrt{3}$。
(3)直三棱柱的表面积为 $\frac{1}{2}× 3× 4× 2 + 5× 2\sqrt{3} + 3× 2\sqrt{3} + 4× 2\sqrt{3} = 12 + 24\sqrt{3}$。
解析
【解析】
(1) 设$\mathrm{Rt}△ PMN$斜边上的高为$h$，由三视图可知$BC = MN$，$FG = h$。
在$\mathrm{Rt}△ PMN$中，$\sin∠ PMN = \frac{PN}{MN} = \frac{4}{5}$，已知$PN = 4$，则$\frac{4}{MN}=\frac{4}{5}$，解得$MN = 5$，由勾股定理得$PM = \sqrt{MN^2 - PN^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$，故$BC = 5$。
根据直角三角形面积公式$\frac{1}{2}PM·PN = \frac{1}{2}h·MN$，代入得$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×h×5$，解得$h = \frac{12}{5}$，即$FG = \frac{12}{5}$。
(2) 因为主视图与左视图的矩形相似，且$AB = EF$，所以对应边成比例，即$\frac{AB}{FG} = \frac{BC}{EF}$，代入$FG=\frac{12}{5}$，$BC=5$，$EF=AB$，得$\frac{AB}{\frac{12}{5}} = \frac{5}{AB}$，解得$AB = 2\sqrt{3}$（边长为正，舍去负根）。
(3) 直三棱柱的表面积为两个底面$\mathrm{Rt}△ PMN$的面积加上三个侧面矩形的面积，即$2×\frac{1}{2}×3×4 + 5×2\sqrt{3} + 3×2\sqrt{3} + 4×2\sqrt{3}=12 + 24\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $BC=5$，$FG=\frac{12}{5}$；
(2) $AB=2\sqrt{3}$；
(3) $12 + 24\sqrt{3}$
【知识点】
直角三角形性质、相似多边形性质、直棱柱表面积计算
【点评】
本题结合三视图考查直角三角形边角关系、相似多边形性质及直棱柱表面积计算，需要准确建立三视图与原几何体的对应关系，综合性较强，对图形分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 设$\mathrm{Rt}△ PMN$斜边上的高为$h$，由三视图可知$BC = MN$，$FG = h$。
在$\mathrm{Rt}△ PMN$中，$\sin∠ PMN = \frac{PN}{MN} = \frac{4}{5}$，已知$PN = 4$，则$\frac{4}{MN}=\frac{4}{5}$，解得$MN = 5$，由勾股定理得$PM = \sqrt{MN^2 - PN^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$，故$BC = 5$。
根据直角三角形面积公式$\frac{1}{2}PM·PN = \frac{1}{2}h·MN$，代入得$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×h×5$，解得$h = \frac{12}{5}$，即$FG = \frac{12}{5}$。
(2) 因为主视图与左视图的矩形相似，且$AB = EF$，所以对应边成比例，即$\frac{AB}{FG} = \frac{BC}{EF}$，代入$FG=\frac{12}{5}$，$BC=5$，$EF=AB$，得$\frac{AB}{\frac{12}{5}} = \frac{5}{AB}$，解得$AB = 2\sqrt{3}$（边长为正，舍去负根）。
(3) 直三棱柱的表面积为两个底面$\mathrm{Rt}△ PMN$的面积加上三个侧面矩形的面积，即$2×\frac{1}{2}×3×4 + 5×2\sqrt{3} + 3×2\sqrt{3} + 4×2\sqrt{3}=12 + 24\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $BC=5$，$FG=\frac{12}{5}$；
(2) $AB=2\sqrt{3}$；
(3) $12 + 24\sqrt{3}$
【知识点】
直角三角形性质、相似多边形性质、直棱柱表面积计算
【点评】
本题结合三视图考查直角三角形边角关系、相似多边形性质及直棱柱表面积计算，需要准确建立三视图与原几何体的对应关系，综合性较强，对图形分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
