21. (12 分)如图(1)，$ AB $，$ BC $ 被直线 $ AC $ 所截，点 $ D $ 是线段 $ AC $ 上的点，过点 $ D $ 作 $ DE // AB $，连接 $ AE $，$ ∠ B = ∠ E = 70^{\circ} $.
(1)请说明 $ AE // BC $ 的理由.
(2)将线段 $ AE $ 沿着直线 $ AC $ 平移得到线段 $ PQ $，连接 $ DQ $.
① 如图(2)，当 $ DE ⊥ DQ $ 时，求 $ ∠ Q $ 的度数；
② 在整个运动中，当 $ ∠ Q = 2 ∠ EDQ $ 时，则 $ ∠ Q = $.

21. 解: (1) $ \because DE // AB $, $ \therefore ∠ BAE + ∠ E = 180^{\circ} $. $ \because ∠ B = ∠ E $, $ \therefore ∠ BAE + ∠ B = 180^{\circ} $, $ \therefore AE // BC $. (2) ① 如图, 过点 $ D $ 作 $ DF // AE $ 交 $ AB $ 于点 $ F $.

$ \because PQ // AE $, $ \therefore DF // PQ $. $ \because ∠ E = 70^{\circ} $, $ \therefore ∠ EDF = 110^{\circ} $. $ \because DE ⊥ DQ $, $ \therefore ∠ EDQ = 90^{\circ} $, $ \therefore ∠ FDQ = 360^{\circ} - 110^{\circ} - 90^{\circ} = 160^{\circ} $, $ \therefore ∠ Q = 180^{\circ} - ∠ FDQ = 20^{\circ} $. ② $ \frac{140^{\circ}}{3} $ 或 $ 140^{\circ} $.

22. (14 分)如图，直线 $ MN // GH $，另一直线交 $ GH $ 于点 $ A $，交 $ MN $ 于点 $ B $，且 $ ∠ MBA = 80^{\circ} $，点 $ C $ 为直线 $ GH $ 上一动点，点 $ D $ 为直线 $ MN $ 上一动点，且 $ ∠ GCD = 50^{\circ} $.
(1)如图(1)，当点 $ C $ 在点 $ A $ 右边且点 $ D $ 在点 $ B $ 左边时，$ ∠ DBA $ 的平分线交 $ ∠ DCA $ 的平分线于点 $ P $，求 $ ∠ BPC $ 的度数；
(2)如图(2)，当点 $ C $ 在点 $ A $ 右边且点 $ D $ 在点 $ B $ 右边时，$ ∠ DBA $ 的平分线交 $ ∠ DCA $ 的平分线于点 $ P $，求 $ ∠ BPC $ 的度数；
(3)当点 $ C $ 在点 $ A $ 左边且点 $ D $ 在点 $ B $ 左边时，$ ∠ DBA $ 的平分线交 $ ∠ DCA $ 的平分线所在直线于点 $ P $，请直接写出 $ ∠ BPC $ 的度数.

22. 解: (1) 如图 (1), 过点 $ P $ 作 $ PE // MN $. $ \because PB $ 平分 $ ∠ DBA $, $ \therefore ∠ DBP = \frac{1}{2} ∠ DBA = 40^{\circ} $, $ \therefore ∠ BPE = ∠ DBP = 40^{\circ} $. 同理可证, $ ∠ CPE = ∠ PCA = \frac{1}{2} ∠ DCA = 25^{\circ} $, $ \therefore ∠ BPC = 40^{\circ} + 25^{\circ} = 65^{\circ} $. (2) 如图 (2), 过点 $ P $ 作 $ PF // MN $. $ \because ∠ MBA = 80^{\circ} $, $ \therefore ∠ DBA = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ} $. $ \because BP $ 平分 $ ∠ DBA $, $ \therefore ∠ DBP = \frac{1}{2} ∠ DBA = 50^{\circ} $. $ \because MN // PF $, $ \therefore ∠ BPF = 180^{\circ} - ∠ DBP = 130^{\circ} $. $ \because PC $ 平分 $ ∠ DCA $, $ \therefore ∠ PCA = ∠ CPF = \frac{1}{2} ∠ DCA = 25^{\circ} $, $ \therefore ∠ BPC = 130^{\circ} + 25^{\circ} = 155^{\circ} $. (3) 如图 (3), 过点 $ P $ 作 $ PQ // MN $. $ \because BP $ 平分 $ ∠ DBA $, $ \therefore ∠ BPQ = ∠ DBP = 40^{\circ} $. $ \because CP $ 平分 $ ∠ DCA $, $ ∠ DCA = 180^{\circ} - ∠ DCG = 130^{\circ} $, $ \therefore ∠ PCA = \frac{1}{2} ∠ DCA = 65^{\circ} $. $ \therefore ∠ CPQ = 180^{\circ} - ∠ PCA = 115^{\circ} $, $ \therefore ∠ BPC = 40^{\circ} + 115^{\circ} = 155^{\circ} $.