8. 如图，$∠ MON = 90°$，矩形$ABCD$的顶点$A$，$B$分别在边$OM$，$ON$上.当点$B$在边$ON$上运动时，点$A$随之在$OM$上运动，矩形$ABCD$的形状保持不变，其中$AB = 2$，$BC = 1$.运动过程中，点$D$到点$O$的最大距离是().


A.$\sqrt{2}+1$
B.$\sqrt{2}-1$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}+1$
D.$\sqrt{2}+\frac{1}{2}$

A

取AB的中点E，连接OE、DE、OD。
1. 因为$∠ MON=90°$，E是AB中点，$AB=2$，根据直角三角形斜边中线定理，得$OE=\frac{1}{2}AB=1$。
2. 四边形ABCD是矩形，故$AD=BC=1$，$∠ DAB=90°$，E是AB中点，则$AE=\frac{1}{2}AB=1$。在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，由勾股定理得$DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
3. 根据三角形三边关系$OD≤ OE+DE$，当O、E、D三点共线时，OD取得最大值，最大值为$1+\sqrt{2}=\sqrt{2}+1$。

9. 如图，已知在四边形$ABCD$中，$AC⊥ BD$，$AC = 6$，$BD = 6\sqrt{2}$，$E$，$F$分别是边$AD$，$BC$的中点，连接$EF$，则$EF$的长是().


A.$3$
B.$3\sqrt{2}$
C.$3\sqrt{3}$
D.$\frac{3 + 3\sqrt{2}}{2}$

C

取AB的中点G，连接EG、FG。
∵E是AD中点，G是AB中点，
∴EG是△ABD的中位线，
∴EG//BD，EG=$\frac{1}{2}$BD=$3\sqrt{2}$。
∵F是BC中点，G是AB中点，
∴FG是△ABC的中位线，
∴FG//AC，FG=$\frac{1}{2}$AC=3。
∵AC⊥BD，EG//BD，FG//AC，
∴EG⊥FG，即△EGF是直角三角形。
在Rt△EGF中，由勾股定理得：
EF=$\sqrt{EG^2+FG^2}$=$\sqrt{(3\sqrt{2})^2+3^2}$=$\sqrt{18+9}$=$\sqrt{27}$=$3\sqrt{3}$。

10. 如图，在菱形$ABCD$中，$AB = 2$，$∠ A = 120°$，$P$是直线$BD$上一动点，连接$PC$.当$PC+\frac{BP}{2}$最小时，线段$PD$的长是().


A.$\frac{4\sqrt{3}}{3}$

B.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}$

A

1. 过点P作$PE⊥AB$于E，在菱形$ABCD$中，$∠ABD=30°$，在$Rt△BEP$中，$PE=\frac{1}{2}BP$，因此$PC+\frac{1}{2}BP=PC+PE$。
2. 当$C$、$P$、$E$三点共线且$CE⊥AB$时，$PC+PE$最小，即$PC+\frac{1}{2}BP$最小。
3. 已知菱形$AB=2$，$∠A=120°$，则$∠ABC=60°$，$BC=2$，计算对角线$BD=2×AB×\cos30°=2\sqrt{3}$。
4. 在$Rt△BCE$中，$∠CBE=60°$，$BC=2$，得$BE=1$；在$Rt△BEP$中，$∠PBE=30°$，$BE=1$，解得$BP=\frac{BE}{\cos30°}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
5. 因此$PD=BD-BP=2\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$。

二、填空题
11. 一个平行四边形的周长等于$56\mathrm{cm}$，两邻边长的比为$3:1$，那么这个平行四边形较长的边长是$\mathrm{cm}$.

解：设这个平行四边形较短的边长为$x\mathrm{cm}$，则较长的边长为$3x\mathrm{cm}$。
根据平行四边形周长公式，得
$2(3x + x)=56$
化简得$8x=56$
解得$x=7$
则较长的边长为$3x=3×7=21(\mathrm{cm})$
答：这个平行四边形较长的边长是21$\mathrm{cm}$。

12. 黑板上画有一个图形，学生甲说它是菱形，学生乙说它是矩形.杨老师说这两名同学的答案都正确，则黑板上画的图形是.

正方形

菱形是四边相等的平行四边形，矩形是有一个角为直角的平行四边形。同时具备这两种特征的平行四边形是正方形，因此黑板上的图形是正方形。

13. 在正方形$ABCD$的外侧，作等边三角形$DCE$，则$∠ AEC$的度数是.

$15°$

1. 因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AD=DC$，$∠ ADC=90°$；
2. 因为$△ DCE$是等边三角形，所以$DC=DE$，$∠ CDE=∠ DEC=60°$；
3. 由$AD=DC$和$DC=DE$，得$AD=DE$，且$∠ ADE=∠ ADC+∠ CDE=90°+60°=150°$；
4. 在等腰$△ ADE$中，$∠ DEA=\frac{180°-∠ ADE}{2}=\frac{180°-150°}{2}=15°$；
5. 因此$∠ AEC=∠ DEC-∠ DEA=60°-15°=15°$。

14. 在$□ ABCD$中，$∠ ABC = 60°$，$AE$为边$BC$上的高，$AE = 3\sqrt{3}$，$CE = 2$，则$□ ABCD$的周长是.

14或22

分两种情况讨论：
1. 当点E在线段BC上时：
在Rt△ABE中，∠ABC=60°，则∠BAE=30°，设BE=x，故AB=2x。
由勾股定理得：$(2x)^2 = x^2 + (3\sqrt{3})^2$，解得$x=3$，即$BE=3$。
$BC=BE+CE=3+2=5$，$AB=6$。
平行四边形$ABCD$的周长$=2(AB+BC)=2×(6+5)=22$。
2. 当点E在线段BC的延长线上时：
同理在Rt△ABE中解得$BE=3$，此时$BC=BE-CE=3-2=1$，$AB=6$。
平行四边形$ABCD$的周长$=2(AB+BC)=2×(6+1)=14$。
综上，$□ABCD$的周长为14或22。