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15. 如图，在$□ ABCD$中，$E$，$F$是对角线$AC$上的两点，$AE = EF = CD$，$∠ ADF = 90°$，$∠ BCD = 63°$，则$∠ ADE$的大小是.
答案
21°
解析
1. 四边形ABCD是平行四边形，故∠BAD=∠BCD=63°，AD//BC，得∠DAE=∠BCA。
2. 在Rt△ADF中，AE=EF，根据直角三角形斜边中线性质，DE=AE=EF，所以∠ADE=∠DAE，设∠ADE=x，则∠DAE=x。
3. 由AE=CD，得DE=CD，故∠DCE=∠DEC。
4. ∠DEC是△ADE的外角，所以∠DEC=∠ADE+∠DAE=2x，即∠DCE=2x。
5. 因为∠BCD=∠BCA+∠DCE=x+2x=3x，且∠BCD=63°，所以3x=63°，解得x=21°，即∠ADE=21°。
2. 在Rt△ADF中，AE=EF，根据直角三角形斜边中线性质，DE=AE=EF，所以∠ADE=∠DAE，设∠ADE=x，则∠DAE=x。
3. 由AE=CD，得DE=CD，故∠DCE=∠DEC。
4. ∠DEC是△ADE的外角，所以∠DEC=∠ADE+∠DAE=2x，即∠DCE=2x。
5. 因为∠BCD=∠BCA+∠DCE=x+2x=3x，且∠BCD=63°，所以3x=63°，解得x=21°，即∠ADE=21°。
16. 如图，在四边形$ABCD$中，$AB = BC$，$∠ ABC = 60°$，$∠ ADC = 75°$，$AD = 3\sqrt{2}$，$DC = 3$，则$BD$的长是.
答案
$\boldsymbol{3\sqrt{5}}$
解析
1. 连接AC，由$AB=BC$，$∠ ABC=60°$，得$△ ABC$为等边三角形。
2. 将$△ BCD$绕点B逆时针旋转$60°$，使BC与BA重合，得到$△ BAE$，连接DE。
3. 根据旋转性质：$AE=DC=3$，$BE=BD$，$∠ ABE=∠ CBD$，故$∠ DBE=∠ ABC=60°$，$△ BDE$为等边三角形，即$BD=DE$。
4. 计算$∠ DAE$：四边形内角和为$360°$，则$∠ BAD+∠ BCD=360°-∠ ABC-∠ ADC=360°-60°-75°=225°$，由$∠ BAE=∠ BCD$，得$∠ BAD+∠ BAE=225°$，故$∠ DAE=360°-225°=135°$。
5. 过点E作$EF⊥ DA$的延长线于点F，因$∠ DAE=135°$，则$∠ EAF=45°$。在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，$AE=3$，得$AF=EF=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
6. 计算$DF=AD+AF=3\sqrt{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{9\sqrt{2}}{2}$，在$\mathrm{Rt}△ DEF$中，由勾股定理：
$DE=\sqrt{DF^2+EF^2}=\sqrt{(\frac{9\sqrt{2}}{2})^2+(\frac{3\sqrt{2}}{2})^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$，故$BD=3\sqrt{5}$。
2. 将$△ BCD$绕点B逆时针旋转$60°$，使BC与BA重合，得到$△ BAE$，连接DE。
3. 根据旋转性质：$AE=DC=3$，$BE=BD$，$∠ ABE=∠ CBD$，故$∠ DBE=∠ ABC=60°$，$△ BDE$为等边三角形，即$BD=DE$。
4. 计算$∠ DAE$：四边形内角和为$360°$，则$∠ BAD+∠ BCD=360°-∠ ABC-∠ ADC=360°-60°-75°=225°$，由$∠ BAE=∠ BCD$，得$∠ BAD+∠ BAE=225°$，故$∠ DAE=360°-225°=135°$。
5. 过点E作$EF⊥ DA$的延长线于点F，因$∠ DAE=135°$，则$∠ EAF=45°$。在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，$AE=3$，得$AF=EF=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
6. 计算$DF=AD+AF=3\sqrt{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{9\sqrt{2}}{2}$，在$\mathrm{Rt}△ DEF$中，由勾股定理：
$DE=\sqrt{DF^2+EF^2}=\sqrt{(\frac{9\sqrt{2}}{2})^2+(\frac{3\sqrt{2}}{2})^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$，故$BD=3\sqrt{5}$。
三、解答题
17. 如图，$E$，$F$是$□ ABCD$对角线$AC$上的两点，$BE// DF$.
（1）求证四边形$BEDF$是平行四边形.
（2）若$AC = 8$，$BC = 6$，$∠ ACB = 30°$，求$□ ABCD$的面积.
17. 如图，$E$，$F$是$□ ABCD$对角线$AC$上的两点，$BE// DF$.
（1）求证四边形$BEDF$是平行四边形.
（2）若$AC = 8$，$BC = 6$，$∠ ACB = 30°$，求$□ ABCD$的面积.
答案
（1）证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB=CD$，$AB// CD$，
∴$∠ BAE=∠ DCF$，
∵$BE// DF$，
∴$∠ BEC=∠ DFA$，
∴$∠ BEA=∠ DFC$，
在$△ ABE$和$△ CDF$中，
$\{\begin{array}{l}∠ BAE=∠ DCF \\∠ BEA=∠ DFC \\AB=CD\end{array} $
∴$△ ABE≌△ CDF$（AAS），
∴$BE=DF$，
又∵$BE// DF$，
∴四边形$BEDF$是平行四边形。
（2）解：
过点$B$作$BH⊥ AC$于$H$，
在$Rt△ BCH$中，$∠ ACB=30°$，$BC=6$，
∴$BH=\frac{1}{2}BC=3$，
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$S_{□ ABCD}=2S_{△ ABC}$，
∵$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BH=\frac{1}{2}×8×3=12$，
∴$S_{□ ABCD}=2×12=24$。
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB=CD$，$AB// CD$，
∴$∠ BAE=∠ DCF$，
∵$BE// DF$，
∴$∠ BEC=∠ DFA$，
∴$∠ BEA=∠ DFC$，
在$△ ABE$和$△ CDF$中，
$\{\begin{array}{l}∠ BAE=∠ DCF \\∠ BEA=∠ DFC \\AB=CD\end{array} $
∴$△ ABE≌△ CDF$（AAS），
∴$BE=DF$，
又∵$BE// DF$，
∴四边形$BEDF$是平行四边形。
（2）解：
过点$B$作$BH⊥ AC$于$H$，
在$Rt△ BCH$中，$∠ ACB=30°$，$BC=6$，
∴$BH=\frac{1}{2}BC=3$，
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$S_{□ ABCD}=2S_{△ ABC}$，
∵$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BH=\frac{1}{2}×8×3=12$，
∴$S_{□ ABCD}=2×12=24$。
18. 如图，已知$E$，$F$分别是$□ ABCD$的边$BC$，$AD$的中点，且$∠ BAC = 90°$.
（1）求证四边形$AECF$是菱形.
（2）若$∠ B = 30°$，$BC = 10$，求菱形$AECF$的面积.
（1）求证四边形$AECF$是菱形.
（2）若$∠ B = 30°$，$BC = 10$，求菱形$AECF$的面积.
答案
（1）证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD// BC$，$AD=BC$。
∵ $E$，$F$分别是$BC$，$AD$的中点，
∴ $AF=\frac{1}{2}AD$，$EC=\frac{1}{2}BC$，
∴ $AF=EC$，且$AF// EC$，
∴ 四边形$AECF$是平行四边形。
∵ $∠ BAC=90°$，$E$是$BC$的中点，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AE=EC$，
∴ 平行四边形$AECF$是菱形。
（2）解：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$∠ B=30°$，$BC=10$，
∴ $AC=\frac{1}{2}BC=5$，
$AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}$。
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}×5\sqrt{3}×5=\frac{25\sqrt{3}}{2}$。
∵ $E$是$BC$的中点，
∴ $S_{△ AEC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{25\sqrt{3}}{4}$。
∵ 四边形$AECF$是菱形，
∴ $S_{\mathrm{菱形}AECF}=2× S_{△ AEC}=2×\frac{25\sqrt{3}}{4}=\frac{25\sqrt{3}}{2}$。
答：菱形$AECF$的面积为$\frac{25\sqrt{3}}{2}$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD// BC$，$AD=BC$。
∵ $E$，$F$分别是$BC$，$AD$的中点，
∴ $AF=\frac{1}{2}AD$，$EC=\frac{1}{2}BC$，
∴ $AF=EC$，且$AF// EC$，
∴ 四边形$AECF$是平行四边形。
∵ $∠ BAC=90°$，$E$是$BC$的中点，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AE=EC$，
∴ 平行四边形$AECF$是菱形。
（2）解：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$∠ B=30°$，$BC=10$，
∴ $AC=\frac{1}{2}BC=5$，
$AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}$。
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}×5\sqrt{3}×5=\frac{25\sqrt{3}}{2}$。
∵ $E$是$BC$的中点，
∴ $S_{△ AEC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{25\sqrt{3}}{4}$。
∵ 四边形$AECF$是菱形，
∴ $S_{\mathrm{菱形}AECF}=2× S_{△ AEC}=2×\frac{25\sqrt{3}}{4}=\frac{25\sqrt{3}}{2}$。
答：菱形$AECF$的面积为$\frac{25\sqrt{3}}{2}$。
