19. 如图，在菱形$ABCD$中，$∠ BAD-∠ ABC = 60°$，$M$为$BC$上一点，点$N$在$CD$上，$∠ AMN = 60°$.
(1)直接写出$∠ ABC$的度数是.

(2)求证$AM = MN$.

(1) 解：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ ∠BAD + ∠ABC = 180°，
又∵ ∠BAD - ∠ABC = 60°，
联立解得：∠ABC = 60°。
(2) 证明：
在AB上截取BP=BM，连接PM，
∵ 四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴ AB=BC，∠B=60°，
∴ △BPM是等边三角形，
∴ ∠BPM=60°，BP=BM，
∴ ∠APM=180°-∠BPM=120°，
∵ 菱形ABCD中，∠BCD=180°-∠ABC=120°，
∴ ∠MCN=120°，
∴ ∠APM=∠MCN，
∵ AB=BC，BP=BM，
∴ AB-BP=BC-BM，即AP=MC，
∵ ∠AMN=60°，
∴ ∠AMB + ∠CMN=180°-∠AMN=120°，
又∠AMB + ∠PAM=180°-∠B=120°，
∴ ∠PAM=∠CMN，
在△APM和△MCN中，
$\{\begin{array}{l}∠PAM=∠CMN\\AP=MC\\∠APM=∠MCN\end{array} $
∴ △APM≌△MCN（ASA），
∴ AM=MN。

20. 如图，在矩形$ABCD$中，$E$，$F$分别是$AB$，$AD$上的点，$CE$垂直平分$BF$，垂足为$G$，连接$DG$.

（1）求证$DG = CG$.
（2）若$BC = 2AB$，求$∠ DGC$的大小.

（1）证明：
连接AG，
∵CE垂直平分BF，
∴G为BF的中点，
∵四边形ABCD是矩形，∠BAD=90°，
∴在Rt△BAF中，AG是斜边BF的中线，
∴AG=BG=FG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠BAD=∠ABC=90°，
∴∠DAG+∠GAB=90°，∠CBG+∠GBA=90°，
∵AG=BG，
∴∠GAB=∠GBA，
∴∠DAG=∠CBG，
在△DAG和△CBG中，
$\{\begin{array}{l}AG=BG\\∠DAG=∠CBG\\AD=BC\end{array} $
∴△DAG≌△CBG（SAS），
∴DG=CG。
（2）解：
设AB=a，则BC=2a，
∵CE垂直平分BF，
∴CB=CF，CE平分∠BCF（等腰三角形三线合一），
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=a，∠CDF=∠BCD=90°，
在Rt△CDF中，CF=BC=2a，CD=a，
∴CF=2CD，
∴∠DCF=60°，
∵∠BCD=90°，
∴∠FCB=∠BCD - ∠DCF=90°-60°=30°，
∴∠BCG=$\frac{1}{2}$∠FCB=15°，
∴∠GCD=∠BCD - ∠BCG=90°-15°=75°，
由（1）知DG=CG，
∴∠GDC=∠GCD=75°，
∴∠DGC=180°-75°-75°=30°。