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10. 若关于$x$的分式方程$\frac{3x + 2}{x - 1} = \frac{m}{x - 1}$有增根,则增根是
$ x = 1 $
。答案
10. $ x = 1 $
11. 已知$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 2$,则分式$\frac{2x + 3xy - 2y}{x - 2xy - y}$的值为
$ \frac{1}{4} $
。答案
11. $ \frac{1}{4} $ 【解析】因为 $ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 2 $，
所以 $ x ≠ 0 $，$ y ≠ 0 $。所以 $ xy ≠ 0 $。
所以 $ \frac{2x + 3xy - 2y}{x - 2xy - y} = \frac{\frac{2x + 3xy - 2y}{xy}}{\frac{x - 2xy - y}{xy}} = \frac{\frac{2}{y} - \frac{2}{x} + 3}{\frac{1}{y} - \frac{1}{x} - 2} $
$ = \frac{ - (\frac{2}{x} - \frac{2}{y}) + 3}{ - (\frac{1}{x} - \frac{1}{y}) - 2} = \frac{ - 2 × 2 + 3}{ - 2 - 2} = \frac{ - 1}{ - 4} = \frac{1}{4} $。
所以 $ x ≠ 0 $，$ y ≠ 0 $。所以 $ xy ≠ 0 $。
所以 $ \frac{2x + 3xy - 2y}{x - 2xy - y} = \frac{\frac{2x + 3xy - 2y}{xy}}{\frac{x - 2xy - y}{xy}} = \frac{\frac{2}{y} - \frac{2}{x} + 3}{\frac{1}{y} - \frac{1}{x} - 2} $
$ = \frac{ - (\frac{2}{x} - \frac{2}{y}) + 3}{ - (\frac{1}{x} - \frac{1}{y}) - 2} = \frac{ - 2 × 2 + 3}{ - 2 - 2} = \frac{ - 1}{ - 4} = \frac{1}{4} $。
12. 已知$x - \frac{2}{x} = 2$,则$x^{2} + \frac{4}{x^{2}} =$
8
。答案
12. 8 【解析】将 $ x - \frac{2}{x} = 2 $ 两边平方，得 $ (x - \frac{2}{x})^2 = 4 $，
整理得 $ x^2 + \frac{4}{x^2} - 4 = 4 $，则 $ x^2 + \frac{4}{x^2} = 8 $。
整理得 $ x^2 + \frac{4}{x^2} - 4 = 4 $，则 $ x^2 + \frac{4}{x^2} = 8 $。
13. 若$\frac{m - 2}{m + 2} · |m + 3| = \frac{m - 2}{m + 2}$,则$m =$
-4 或 2
。答案
13. -4 或 2
三、解答题(共 35 分)
14. (10 分)解下列方程:
(1)$\frac{6}{1 - x^{2}} = \frac{3}{1 - x}$。
(2)$\frac{x}{x - 1} - 3 = \frac{2}{x - 1}$。
14. (10 分)解下列方程:
(1)$\frac{6}{1 - x^{2}} = \frac{3}{1 - x}$。
(2)$\frac{x}{x - 1} - 3 = \frac{2}{x - 1}$。
答案
14. 解：(1) $ \frac{6}{1 - x^2} = \frac{3}{1 - x} $，
$ 6 = 3(1 + x) $，
解得 $ x = 1 $。
经检验，$ x = 1 $ 是原方程的增根，
故原方程无解。
(2) 去分母，得 $ x - 3(x - 1) = 2 $，
解得 $ x = \frac{1}{2} $，
经检验，当 $ x = \frac{1}{2} $ 时，$ x - 1 ≠ 0 $。
故分式方程的解为 $ x = \frac{1}{2} $。
$ 6 = 3(1 + x) $，
解得 $ x = 1 $。
经检验，$ x = 1 $ 是原方程的增根，
故原方程无解。
(2) 去分母，得 $ x - 3(x - 1) = 2 $，
解得 $ x = \frac{1}{2} $，
经检验，当 $ x = \frac{1}{2} $ 时，$ x - 1 ≠ 0 $。
故分式方程的解为 $ x = \frac{1}{2} $。
15. (12 分)已知$P = x + 1,Q = \frac{4x}{x + 1}$。
(1)当$x ＞ 0$时,比较$P$与$Q$的大小,并说明理由。
(2)设$y = \frac{3}{P} - \frac{Q}{2}$,若$x$是整数,求$y$的整数值。
(1)当$x ＞ 0$时,比较$P$与$Q$的大小,并说明理由。
(2)设$y = \frac{3}{P} - \frac{Q}{2}$,若$x$是整数,求$y$的整数值。
答案
15. 解：(1) $ P ≥ Q $，
理由：$ P - Q = x + 1 - \frac{4x}{x + 1} $
$ = \frac{(x + 1)^2 - 4x}{x + 1} $
$ = \frac{(x - 1)^2}{x + 1} $。
因为 $ x ＞ 0 $，
所以 $ \frac{(x - 1)^2}{x + 1} ≥ 0 $。
所以 $ P ≥ Q $。
(2) $ y = \frac{3}{P} - \frac{Q}{2} $
$ = \frac{3}{x + 1} - \frac{2x}{x + 1} $
$ = \frac{ - 2(x + 1) + 5}{x + 1} $
$ = - 2 + \frac{5}{x + 1} $。
因为 $ x $，$ y $ 均为整数，
所以 $ x + 1 $ 的值为 $ \pm 1 $ 或 $ \pm 5 $，
所以 $ y $ 的整数值为 3 或 -7 或 -1 或 -3。
理由：$ P - Q = x + 1 - \frac{4x}{x + 1} $
$ = \frac{(x + 1)^2 - 4x}{x + 1} $
$ = \frac{(x - 1)^2}{x + 1} $。
因为 $ x ＞ 0 $，
所以 $ \frac{(x - 1)^2}{x + 1} ≥ 0 $。
所以 $ P ≥ Q $。
(2) $ y = \frac{3}{P} - \frac{Q}{2} $
$ = \frac{3}{x + 1} - \frac{2x}{x + 1} $
$ = \frac{ - 2(x + 1) + 5}{x + 1} $
$ = - 2 + \frac{5}{x + 1} $。
因为 $ x $，$ y $ 均为整数，
所以 $ x + 1 $ 的值为 $ \pm 1 $ 或 $ \pm 5 $，
所以 $ y $ 的整数值为 3 或 -7 或 -1 或 -3。
16. (13 分)已知关于$x$的分式方程$\frac{x}{x - 1} - 2 = \frac{m}{1 - x}$。
(1)当$m = 1$时,求方程的解。
(2)若关于$x$的分式方程$\frac{x}{x - 1} - 2 = \frac{m}{1 - x}$的解为非负数,求$m$的取值范围。
(1)当$m = 1$时,求方程的解。
(2)若关于$x$的分式方程$\frac{x}{x - 1} - 2 = \frac{m}{1 - x}$的解为非负数,求$m$的取值范围。
答案
16. 解：(1) 当 $ m = 1 $ 时，
$ \frac{x}{x - 1} - 2 = \frac{1}{1 - x} $，
$ \frac{x}{x - 1} - \frac{1}{1 - x} = 2 $，
去分母，得 $ x + 1 = 2(x - 1) $，
解得 $ x = 3 $，
检验：当 $ x = 3 $ 时，$ x - 1 ≠ 0 $。
故方程的解为 $ x = 3 $。
(2) $ \frac{x}{x - 1} - 2 = \frac{m}{1 - x} $，
$ \frac{x}{x - 1} - \frac{m}{1 - x} = 2 $，
去分母，得 $ x + m = 2(x - 1) $，
解得 $ x = m + 2 $。
由分式方程有解且解为非负数，得 $ x ≥ 0 $ 且 $ x ≠ 1 $，
即 $ m + 2 ≥ 0 $ 且 $ m + 2 ≠ 1 $，
即 $ m ≥ - 2 $ 且 $ m ≠ - 1 $。
$ \frac{x}{x - 1} - 2 = \frac{1}{1 - x} $，
$ \frac{x}{x - 1} - \frac{1}{1 - x} = 2 $，
去分母，得 $ x + 1 = 2(x - 1) $，
解得 $ x = 3 $，
检验：当 $ x = 3 $ 时，$ x - 1 ≠ 0 $。
故方程的解为 $ x = 3 $。
(2) $ \frac{x}{x - 1} - 2 = \frac{m}{1 - x} $，
$ \frac{x}{x - 1} - \frac{m}{1 - x} = 2 $，
去分母，得 $ x + m = 2(x - 1) $，
解得 $ x = m + 2 $。
由分式方程有解且解为非负数，得 $ x ≥ 0 $ 且 $ x ≠ 1 $，
即 $ m + 2 ≥ 0 $ 且 $ m + 2 ≠ 1 $，
即 $ m ≥ - 2 $ 且 $ m ≠ - 1 $。
