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一、面积类的计算
【例1】为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造。如图，已知该地块是长为$(a + 4b)\mathrm{m}$，宽为$(a + 3b)\mathrm{m}$的长方形，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为$a$米，并计划将阴影部分改造为种植区。
（1）用含有$a$，$b$的式子分别表示小路面积$S_1$和种植区的总面积$S_2$。（请将结果化为最简式）
（2）若$a = 2$，$b = 4$，求出此时种植区的总面积$S_2$的值。
【例1】为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造。如图，已知该地块是长为$(a + 4b)\mathrm{m}$，宽为$(a + 3b)\mathrm{m}$的长方形，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为$a$米，并计划将阴影部分改造为种植区。
（1）用含有$a$，$b$的式子分别表示小路面积$S_1$和种植区的总面积$S_2$。（请将结果化为最简式）
（2）若$a = 2$，$b = 4$，求出此时种植区的总面积$S_2$的值。
答案
解：(1)$S_{1}=a(a + 4b)$
$=(a^{2}+4ab)m^{2}$，
$S_{2}=(a + 3b - a)(a + 4b)$
$=3b(a + 4b)$
$=(3ab + 12b^{2})m^{2}$。
(2)当$a = 2$，$b = 4$时，
$S_{2}=3×2×4 + 12×4^{2}$
$=3×2×4 + 12×16$
$=24 + 192$
$=216(m^{2})$。
答：此时种植区的总面积$S_{2}$为$216m^{2}$。
$=(a^{2}+4ab)m^{2}$，
$S_{2}=(a + 3b - a)(a + 4b)$
$=3b(a + 4b)$
$=(3ab + 12b^{2})m^{2}$。
(2)当$a = 2$，$b = 4$时，
$S_{2}=3×2×4 + 12×4^{2}$
$=3×2×4 + 12×16$
$=24 + 192$
$=216(m^{2})$。
答：此时种植区的总面积$S_{2}$为$216m^{2}$。
解析
【分析】
1. 对于小路面积$S_1$：小路是平行四边形，根据平行四边形面积公式“面积=底×高”，已知底为$a$，高等于长方形的长$(a+4b)$，直接代入公式即可求出$S_1$。
2. 对于种植区面积$S_2$：可将左右两个阴影部分拼接成一个新长方形，该长方形的长与原长方形的长相同，为$(a+4b)$，宽为原长方形的宽减去小路的底边长，即$(a+3b - a)=3b$，再根据长方形面积公式计算；也可通过原长方形面积减去小路面积求解，两种方法均可得到$S_2$的最简式。
3. 第二问只需将$a=2$，$b=4$代入第一问求出的$S_2$的表达式，按照有理数运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 计算小路面积$S_1$：
因为小路是平行四边形，底为$a\ \mathrm{m}$，高为$(a+4b)\ \mathrm{m}$，根据平行四边形面积公式：
$S_{1}=a(a + 4b)$
$=a^2 + 4ab\ (\mathrm{m}^2)$
计算种植区总面积$S_2$：
将阴影部分拼接成一个长为$(a+4b)\ \mathrm{m}$，宽为$(a+3b - a)=3b\ \mathrm{m}$的长方形，根据长方形面积公式：
$S_{2}=(a + 3b - a)(a + 4b)$
$=3b(a + 4b)$
$=3ab + 12b^2\ (\mathrm{m}^2)$
(2) 当$a = 2$，$b = 4$时，代入$S_2$的表达式：
$S_{2}=3×2×4 + 12×4^{2}$
$=24 + 12×16$
$=24 + 192$
$=216\ (\mathrm{m}^2)$
答：此时种植区的总面积$S_2$为$216\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $S_1=(a^2+4ab)\ \mathrm{m}^2$，$S_2=(3ab + 12b^2)\ \mathrm{m}^2$；
(2) $216\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
平行四边形面积公式、长方形面积公式、整式的乘法运算
【点评】
本题考查图形面积的计算，通过拼接阴影部分将不规则图形转化为规则长方形，简化了计算过程，体现了转化思想的应用，同时考查了整式的乘法和代入求值的运算能力，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
1. 对于小路面积$S_1$：小路是平行四边形，根据平行四边形面积公式“面积=底×高”，已知底为$a$，高等于长方形的长$(a+4b)$，直接代入公式即可求出$S_1$。
2. 对于种植区面积$S_2$：可将左右两个阴影部分拼接成一个新长方形，该长方形的长与原长方形的长相同，为$(a+4b)$，宽为原长方形的宽减去小路的底边长，即$(a+3b - a)=3b$，再根据长方形面积公式计算；也可通过原长方形面积减去小路面积求解，两种方法均可得到$S_2$的最简式。
3. 第二问只需将$a=2$，$b=4$代入第一问求出的$S_2$的表达式，按照有理数运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 计算小路面积$S_1$：
因为小路是平行四边形，底为$a\ \mathrm{m}$，高为$(a+4b)\ \mathrm{m}$，根据平行四边形面积公式：
$S_{1}=a(a + 4b)$
$=a^2 + 4ab\ (\mathrm{m}^2)$
计算种植区总面积$S_2$：
将阴影部分拼接成一个长为$(a+4b)\ \mathrm{m}$，宽为$(a+3b - a)=3b\ \mathrm{m}$的长方形，根据长方形面积公式：
$S_{2}=(a + 3b - a)(a + 4b)$
$=3b(a + 4b)$
$=3ab + 12b^2\ (\mathrm{m}^2)$
(2) 当$a = 2$，$b = 4$时，代入$S_2$的表达式：
$S_{2}=3×2×4 + 12×4^{2}$
$=24 + 12×16$
$=24 + 192$
$=216\ (\mathrm{m}^2)$
答：此时种植区的总面积$S_2$为$216\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $S_1=(a^2+4ab)\ \mathrm{m}^2$，$S_2=(3ab + 12b^2)\ \mathrm{m}^2$；
(2) $216\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
平行四边形面积公式、长方形面积公式、整式的乘法运算
【点评】
本题考查图形面积的计算，通过拼接阴影部分将不规则图形转化为规则长方形，简化了计算过程，体现了转化思想的应用，同时考查了整式的乘法和代入求值的运算能力，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
【变式】如图，在边长为$a$的正方形中剪去一个边长为$b$的小正方形$(a ＞ b)$，用不同的方法计算剩余阴影部分的面积，可以验证的公式是(
A.$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
B.$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
C.$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
D.$a^2 + ab = a(a + b)$
A
)A.$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
B.$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
C.$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
D.$a^2 + ab = a(a + b)$
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以通过两种不同的方法计算阴影部分的面积，再根据面积相等得到对应的公式：
1. 第一种思路：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，直接利用正方形面积公式计算即可。
2. 第二种思路：将阴影部分分割成两个长方形，分别计算两个长方形的面积后求和，再对结果进行因式分解。
最后对比两种方法得到的面积表达式，就能验证对应的公式。
【解析】
方法一：利用“大正方形面积 - 小正方形面积”计算阴影面积
已知大正方形边长为$a$，小正方形边长为$b$，根据正方形面积公式$S = 边长^2$，可得：
大正方形面积为$a^2$，小正方形面积为$b^2$，
因此阴影部分面积$S_{\mathrm{阴影}} = a^2 - b^2$。
方法二：分割阴影部分为两个长方形计算面积
将阴影部分分割成两个长方形，一个长方形的长为$a$、宽为$(a - b)$，另一个长方形的长为$b$、宽为$(a - b)$。
根据长方形面积公式$S = 长×宽$，两个长方形的面积分别为$a(a - b)$和$b(a - b)$，
则阴影部分面积$S_{\mathrm{阴影}} = a(a - b) + b(a - b) = (a + b)(a - b)$。
由于两种方法计算的是同一阴影部分的面积，因此：
$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式的几何验证
【点评】
本题通过数形结合的思想，利用面积法验证平方差公式，既考查了正方形、长方形的面积计算，又帮助理解代数公式的几何意义，是公式推导类的基础题型，需掌握这类用几何图形验证代数公式的方法。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以通过两种不同的方法计算阴影部分的面积，再根据面积相等得到对应的公式：
1. 第一种思路：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，直接利用正方形面积公式计算即可。
2. 第二种思路：将阴影部分分割成两个长方形，分别计算两个长方形的面积后求和，再对结果进行因式分解。
最后对比两种方法得到的面积表达式，就能验证对应的公式。
【解析】
方法一：利用“大正方形面积 - 小正方形面积”计算阴影面积
已知大正方形边长为$a$，小正方形边长为$b$，根据正方形面积公式$S = 边长^2$，可得：
大正方形面积为$a^2$，小正方形面积为$b^2$，
因此阴影部分面积$S_{\mathrm{阴影}} = a^2 - b^2$。
方法二：分割阴影部分为两个长方形计算面积
将阴影部分分割成两个长方形，一个长方形的长为$a$、宽为$(a - b)$，另一个长方形的长为$b$、宽为$(a - b)$。
根据长方形面积公式$S = 长×宽$，两个长方形的面积分别为$a(a - b)$和$b(a - b)$，
则阴影部分面积$S_{\mathrm{阴影}} = a(a - b) + b(a - b) = (a + b)(a - b)$。
由于两种方法计算的是同一阴影部分的面积，因此：
$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式的几何验证
【点评】
本题通过数形结合的思想，利用面积法验证平方差公式，既考查了正方形、长方形的面积计算，又帮助理解代数公式的几何意义，是公式推导类的基础题型，需掌握这类用几何图形验证代数公式的方法。
【难度系数】
0.8
二、结合乘法公式
【例2】有两个正方形$A$，$B$，现将$B$放在$A$的内部得到图1，将$A$，$B$并列放置后构造新的正方形，得到图2。图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12。
（1）正方形$A$，$B$的面积之和为
（2）若三个正方形$A$和两个正方形$B$如图3摆放，求阴影部分的面积。
【例2】有两个正方形$A$，$B$，现将$B$放在$A$的内部得到图1，将$A$，$B$并列放置后构造新的正方形，得到图2。图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12。
（1）正方形$A$，$B$的面积之和为
13
。（2）若三个正方形$A$和两个正方形$B$如图3摆放，求阴影部分的面积。
答案
解：(1)设正方形$A$，$B$的边长分别为$a$，$b(a ＞ b)$，由图 1 得$(a - b)^{2}=1$，由图 2 得$(a + b)^{2}-a^{2}-b^{2}=12$，得$ab = 6$，$a^{2}+b^{2}=13$。
故答案为 13。
(2)因为$ab = 6$，$a^{2}+b^{2}=13$，所以$(a + b)^{2}=(a - b)^{2}+4ab = 1 + 24 = 25$。因为$a + b ＞ 0$，所以$a + b = 5$。
因为$(a - b)^{2}=1$，且$a ＞ b$，所以$a - b = 1$，
所以图 3 中阴影部分的面积$S=(2a + b)^{2}-3a^{2}-2b^{2}=a^{2}-b^{2}+4ab=(a - b)(a + b)+4ab = 5 + 24 = 29$。
故答案为 13。
(2)因为$ab = 6$，$a^{2}+b^{2}=13$，所以$(a + b)^{2}=(a - b)^{2}+4ab = 1 + 24 = 25$。因为$a + b ＞ 0$，所以$a + b = 5$。
因为$(a - b)^{2}=1$，且$a ＞ b$，所以$a - b = 1$，
所以图 3 中阴影部分的面积$S=(2a + b)^{2}-3a^{2}-2b^{2}=a^{2}-b^{2}+4ab=(a - b)(a + b)+4ab = 5 + 24 = 29$。
解析
【分析】
解决这类几何图形面积问题，我们可以通过设正方形边长，结合完全平方公式建立等式来求解。
对于第(1)问：先设正方形$A$、$B$的边长分别为$a$、$b$（$a＞b$），观察图1可知阴影部分是边长为$(a-b)$的正方形，因此面积为$(a-b)^2=1$；再看图2，新构造的正方形边长为$(a+b)$，阴影面积等于新正方形面积减去$A$、$B$的面积，由此得到$(a+b)^2 - a^2 - b^2=12$，展开后可求出$ab$的值，最后利用完全平方公式的变形$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$，就能算出$A$、$B$的面积之和。
对于第(2)问：先根据已知条件求出$a+b$和$a-b$的值，再分析图3的阴影面积，阴影面积等于边长为$(2a+b)$的大正方形面积减去3个$A$和2个$B$的面积，列出表达式后化简，结合已求出的$ab$、$a+b$、$a-b$的值代入计算即可得到结果。
【解析】
(1)设正方形$A$，$B$的边长分别为$a$，$b(a ＞ b)$。
由图1得：$(a - b)^{2}=1$
由图2得：$(a + b)^{2}-a^{2}-b^{2}=12$
展开上式：$a^{2}+2ab+b^{2}-a^{2}-b^{2}=12$，化简得$2ab=12$，即$ab=6$。
根据完全平方公式变形：$a^{2}+b^{2}=(a-b)^{2}+2ab$，将$(a-b)^2=1$，$ab=6$代入得：
$a^{2}+b^{2}=1+2×6=13$
(2)由(1)知$ab=6$，$a^{2}+b^{2}=13$，根据完全平方公式：
$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}=13+2×6=25$
因为$a + b ＞ 0$，所以$a + b = 5$。
又因为$(a - b)^{2}=1$，且$a ＞ b$，所以$a - b = 1$。
图3中阴影部分的面积：
$S=(2a + b)^{2}-3a^{2}-2b^{2}$
展开并化简：
$S=4a^{2}+4ab+b^{2}-3a^{2}-2b^{2}=a^{2}-b^{2}+4ab$
根据平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，代入$a-b=1$，$a+b=5$，$ab=6$得：
$S=(a - b)(a + b)+4ab=1×5+4×6=5+24=29$
【答案】
(1) $\boldsymbol{13}$
(2) $\boldsymbol{29}$
【知识点】
完全平方公式、平方差公式、整式运算
【点评】
本题主要考查完全平方公式与平方差公式在几何面积计算中的应用，解题关键是将几何图形的面积转化为代数表达式，利用公式变形计算，体现了数形结合的思想，需要熟练掌握公式的灵活运用。
【难度系数】
0.4
解决这类几何图形面积问题，我们可以通过设正方形边长，结合完全平方公式建立等式来求解。
对于第(1)问：先设正方形$A$、$B$的边长分别为$a$、$b$（$a＞b$），观察图1可知阴影部分是边长为$(a-b)$的正方形，因此面积为$(a-b)^2=1$；再看图2，新构造的正方形边长为$(a+b)$，阴影面积等于新正方形面积减去$A$、$B$的面积，由此得到$(a+b)^2 - a^2 - b^2=12$，展开后可求出$ab$的值，最后利用完全平方公式的变形$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$，就能算出$A$、$B$的面积之和。
对于第(2)问：先根据已知条件求出$a+b$和$a-b$的值，再分析图3的阴影面积，阴影面积等于边长为$(2a+b)$的大正方形面积减去3个$A$和2个$B$的面积，列出表达式后化简，结合已求出的$ab$、$a+b$、$a-b$的值代入计算即可得到结果。
【解析】
(1)设正方形$A$，$B$的边长分别为$a$，$b(a ＞ b)$。
由图1得：$(a - b)^{2}=1$
由图2得：$(a + b)^{2}-a^{2}-b^{2}=12$
展开上式：$a^{2}+2ab+b^{2}-a^{2}-b^{2}=12$，化简得$2ab=12$，即$ab=6$。
根据完全平方公式变形：$a^{2}+b^{2}=(a-b)^{2}+2ab$，将$(a-b)^2=1$，$ab=6$代入得：
$a^{2}+b^{2}=1+2×6=13$
(2)由(1)知$ab=6$，$a^{2}+b^{2}=13$，根据完全平方公式：
$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}=13+2×6=25$
因为$a + b ＞ 0$，所以$a + b = 5$。
又因为$(a - b)^{2}=1$，且$a ＞ b$，所以$a - b = 1$。
图3中阴影部分的面积：
$S=(2a + b)^{2}-3a^{2}-2b^{2}$
展开并化简：
$S=4a^{2}+4ab+b^{2}-3a^{2}-2b^{2}=a^{2}-b^{2}+4ab$
根据平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，代入$a-b=1$，$a+b=5$，$ab=6$得：
$S=(a - b)(a + b)+4ab=1×5+4×6=5+24=29$
【答案】
(1) $\boldsymbol{13}$
(2) $\boldsymbol{29}$
【知识点】
完全平方公式、平方差公式、整式运算
【点评】
本题主要考查完全平方公式与平方差公式在几何面积计算中的应用，解题关键是将几何图形的面积转化为代数表达式，利用公式变形计算，体现了数形结合的思想，需要熟练掌握公式的灵活运用。
【难度系数】
0.4
