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【变式】用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式。例如：计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是$(a + b)^2$；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为$a^2 + 2ab + b^2$，由此得到$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
(1)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为$a + b + c$的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为
(2)利用(1)中的结论解决以下问题：
①已知$a + b + c = 10$，$ab + ac + bc = 38$，求$a^2 + b^2 + c^2$的值。
②如图3，正方形$ABCD$的边长为$a$，正方形$CEFG$的边长为$b$，点$D$，$G$，$C$在同一直线上，连结$BD$，$DF$。若$a - b = 2$，$ab = 3$，求图3中阴影部分的面积。
(1)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为$a + b + c$的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为
$(a + b + c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac + 2bc$
。(2)利用(1)中的结论解决以下问题：
①已知$a + b + c = 10$，$ab + ac + bc = 38$，求$a^2 + b^2 + c^2$的值。
②如图3，正方形$ABCD$的边长为$a$，正方形$CEFG$的边长为$b$，点$D$，$G$，$C$在同一直线上，连结$BD$，$DF$。若$a - b = 2$，$ab = 3$，求图3中阴影部分的面积。
答案
解：(1)$(a + b + c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac + 2bc$。
(2)①由(1)结论变形知，
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a + b + c)^{2}-2ab - 2ac - 2bc$
$=100 - 2(ab + ac + bc)$
$=100 - 76$
$=24$。
②$S_{阴影}=S_{正方形ABCD}-S_{三角形DCF}-S_{三角形ABD}-S_{正方形FECG}$
$=AB· AD-\frac{1}{2}FG· DG-\frac{1}{2}AB· AD - EC· CG$
$=a^{2}-\frac{1}{2}b(a - b)-\frac{1}{2}a^{2}-b^{2}$
$=\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}b^{2}$
$=\frac{1}{2}(a^{2}-b^{2})-\frac{1}{2}ab$
$=\frac{1}{2}(a + b)(a - b)-\frac{1}{2}ab$。
因为$a - b = 2$，$ab = 3$且$(a + b)^{2}=(a - b)^{2}+4ab = 16$，$a + b ＞ 0$，
所以$a + b = 4$，所以$S_{阴影}=\frac{1}{2}×4×2-\frac{1}{2}×3=\frac{5}{2}$。
(2)①由(1)结论变形知，
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a + b + c)^{2}-2ab - 2ac - 2bc$
$=100 - 2(ab + ac + bc)$
$=100 - 76$
$=24$。
②$S_{阴影}=S_{正方形ABCD}-S_{三角形DCF}-S_{三角形ABD}-S_{正方形FECG}$
$=AB· AD-\frac{1}{2}FG· DG-\frac{1}{2}AB· AD - EC· CG$
$=a^{2}-\frac{1}{2}b(a - b)-\frac{1}{2}a^{2}-b^{2}$
$=\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}b^{2}$
$=\frac{1}{2}(a^{2}-b^{2})-\frac{1}{2}ab$
$=\frac{1}{2}(a + b)(a - b)-\frac{1}{2}ab$。
因为$a - b = 2$，$ab = 3$且$(a + b)^{2}=(a - b)^{2}+4ab = 16$，$a + b ＞ 0$，
所以$a + b = 4$，所以$S_{阴影}=\frac{1}{2}×4×2-\frac{1}{2}×3=\frac{5}{2}$。
解析
【分析】
1. 对于(1)，可通过两种方式计算边长为$a+b+c$的大正方形面积：一是直接用正方形面积公式得边长的平方；二是将大正方形拆分为3个小正方形和6个小长方形，求和得到总面积，两者面积相等即可推出等式。
2. 对于(2)①，利用(1)的结论变形，将$a^2+b^2+c^2$转化为$(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)$，代入已知数值计算即可。
3. 对于(2)②，先通过割补法表示出阴影部分面积，转化为含$a$、$b$的代数式，再对代数式变形，结合$a-b=2$和$ab=3$求出$a+b$的值，最后代入计算阴影面积。
【解析】
(1) 方法一：大正方形边长为$a+b+c$，根据正方形面积公式，面积为$(a+b+c)^2$；
方法二：将大正方形分解为3个小正方形（面积分别为$a^2$、$b^2$、$c^2$）和6个小长方形（面积分别为$ab$、$ab$、$ac$、$ac$、$bc$、$bc$），总面积为$a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$。
由于两种方法计算的是同一正方形的面积，因此可得：
$\boldsymbol{(a + b + c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac + 2bc}$
(2) ① 根据(1)的结论变形可得：
$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)$
已知$a+b+c=10$，$ab+ac+bc=38$，代入得：
$\begin{aligned}a^2+b^2+c^2&=10^2-2×38\\&=100-76\\&=24\end{aligned}$
② 计算阴影部分面积：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=S_{正方形ABCD}-S_{△ DCF}-S_{△ ABD}-S_{正方形CEFG}\\&=a^2-\frac{1}{2}b(a-b)-\frac{1}{2}a^2-b^2\\&=\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}b^2\\&=\frac{1}{2}(a^2-b^2)-\frac{1}{2}ab\\&=\frac{1}{2}(a+b)(a-b)-\frac{1}{2}ab\end{aligned}$
已知$a-b=2$，$ab=3$，计算$a+b$：
$\begin{aligned}(a+b)^2&=(a-b)^2+4ab\\&=2^2+4×3\\&=4+12\\&=16\end{aligned}$
因为$a+b＞0$，所以$a+b=4$，代入阴影面积公式：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=\frac{1}{2}×4×2-\frac{1}{2}×3\\&=4-\frac{3}{2}\\&=\frac{5}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(a + b + c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac + 2bc}$
(2) ① $\boldsymbol{24}$；② $\boldsymbol{\frac{5}{2}}$
【知识点】
1. 完全平方公式拓展
2. 代数式变形求值
3. 割补法求面积
【点评】
本题结合图形考查了完全平方公式的拓展应用与代数式求值，体现了数形结合的思想，要求熟练掌握公式变形与代数式化简技巧，能灵活利用已知条件进行求解。
【难度系数】
0.6
1. 对于(1)，可通过两种方式计算边长为$a+b+c$的大正方形面积：一是直接用正方形面积公式得边长的平方；二是将大正方形拆分为3个小正方形和6个小长方形，求和得到总面积，两者面积相等即可推出等式。
2. 对于(2)①，利用(1)的结论变形，将$a^2+b^2+c^2$转化为$(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)$，代入已知数值计算即可。
3. 对于(2)②，先通过割补法表示出阴影部分面积，转化为含$a$、$b$的代数式，再对代数式变形，结合$a-b=2$和$ab=3$求出$a+b$的值，最后代入计算阴影面积。
【解析】
(1) 方法一：大正方形边长为$a+b+c$，根据正方形面积公式，面积为$(a+b+c)^2$；
方法二：将大正方形分解为3个小正方形（面积分别为$a^2$、$b^2$、$c^2$）和6个小长方形（面积分别为$ab$、$ab$、$ac$、$ac$、$bc$、$bc$），总面积为$a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$。
由于两种方法计算的是同一正方形的面积，因此可得：
$\boldsymbol{(a + b + c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac + 2bc}$
(2) ① 根据(1)的结论变形可得：
$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)$
已知$a+b+c=10$，$ab+ac+bc=38$，代入得：
$\begin{aligned}a^2+b^2+c^2&=10^2-2×38\\&=100-76\\&=24\end{aligned}$
② 计算阴影部分面积：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=S_{正方形ABCD}-S_{△ DCF}-S_{△ ABD}-S_{正方形CEFG}\\&=a^2-\frac{1}{2}b(a-b)-\frac{1}{2}a^2-b^2\\&=\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}ab-\frac{1}{2}b^2\\&=\frac{1}{2}(a^2-b^2)-\frac{1}{2}ab\\&=\frac{1}{2}(a+b)(a-b)-\frac{1}{2}ab\end{aligned}$
已知$a-b=2$，$ab=3$，计算$a+b$：
$\begin{aligned}(a+b)^2&=(a-b)^2+4ab\\&=2^2+4×3\\&=4+12\\&=16\end{aligned}$
因为$a+b＞0$，所以$a+b=4$，代入阴影面积公式：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=\frac{1}{2}×4×2-\frac{1}{2}×3\\&=4-\frac{3}{2}\\&=\frac{5}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(a + b + c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac + 2bc}$
(2) ① $\boldsymbol{24}$；② $\boldsymbol{\frac{5}{2}}$
【知识点】
1. 完全平方公式拓展
2. 代数式变形求值
3. 割补法求面积
【点评】
本题结合图形考查了完全平方公式的拓展应用与代数式求值，体现了数形结合的思想，要求熟练掌握公式变形与代数式化简技巧，能灵活利用已知条件进行求解。
【难度系数】
0.6
【例3】小红家的收入分农业收入和其他收入两部分，今年农业收入是其他收入的1.5倍，预计明年农业收入将减少20%，而其他收入将增加40%，那么预计小红家明年的全年总收入是增加了还是减少了。
答案
解：设小红家今年其他收入为$a$元，则农业收入为$1.5a$元，
故预计明年全年收入比今年多$1.5a×(1 - 20\%)+(1 + 40\%)a-(a + 1.5a)=1.2a + 1.4a - 2.5a = 0.1a$(元)。
答：预计小红家明年的全年总收入将比今年增加。
故预计明年全年收入比今年多$1.5a×(1 - 20\%)+(1 + 40\%)a-(a + 1.5a)=1.2a + 1.4a - 2.5a = 0.1a$(元)。
答：预计小红家明年的全年总收入将比今年增加。
解析
【分析】
要判断明年全年总收入的变化情况，需先明确今年和明年的总收入。由于题目无具体收入数值，可通过设未知数来表示各部分收入：设今年其他收入为$a$元，根据今年农业收入与其他收入的倍数关系，得出今年农业收入为$1.5a$元；接着分别计算明年农业收入（今年农业收入减少20%）和其他收入（今年其他收入增加40%），再算出明年总收入，最后将其与今年总收入作差，根据差值正负判断总收入增减。
【解析】
设小红家今年其他收入为$a$元，则今年农业收入为$1.5a$元。
今年全年总收入为：$a + 1.5a = 2.5a$元。
明年农业收入为：$1.5a×(1 - 20\%) = 1.5a×0.8 = 1.2a$元，
明年其他收入为：$a×(1 + 40\%) = a×1.4 = 1.4a$元，
明年全年总收入为：$1.2a + 1.4a = 2.6a$元。
计算明年与今年总收入的差值：$2.6a - 2.5a = 0.1a$元，
因为$a$代表收入，$a＞0$，所以$0.1a＞0$，即明年总收入比今年多。
答：预计小红家明年的全年总收入将比今年增加。
【答案】
预计小红家明年的全年总收入将比今年增加。
【知识点】
列代数式、有理数混合运算、整式加减
【点评】
本题将实际收入问题转化为代数式运算问题，通过设未知数简化计算，考查了代数式在实际生活中的应用，培养了学生分析和解决实际问题的能力，解题关键是准确表示出各阶段的收入并计算差值。
【难度系数】
0.8
要判断明年全年总收入的变化情况，需先明确今年和明年的总收入。由于题目无具体收入数值，可通过设未知数来表示各部分收入：设今年其他收入为$a$元，根据今年农业收入与其他收入的倍数关系，得出今年农业收入为$1.5a$元；接着分别计算明年农业收入（今年农业收入减少20%）和其他收入（今年其他收入增加40%），再算出明年总收入，最后将其与今年总收入作差，根据差值正负判断总收入增减。
【解析】
设小红家今年其他收入为$a$元，则今年农业收入为$1.5a$元。
今年全年总收入为：$a + 1.5a = 2.5a$元。
明年农业收入为：$1.5a×(1 - 20\%) = 1.5a×0.8 = 1.2a$元，
明年其他收入为：$a×(1 + 40\%) = a×1.4 = 1.4a$元，
明年全年总收入为：$1.2a + 1.4a = 2.6a$元。
计算明年与今年总收入的差值：$2.6a - 2.5a = 0.1a$元，
因为$a$代表收入，$a＞0$，所以$0.1a＞0$，即明年总收入比今年多。
答：预计小红家明年的全年总收入将比今年增加。
【答案】
预计小红家明年的全年总收入将比今年增加。
【知识点】
列代数式、有理数混合运算、整式加减
【点评】
本题将实际收入问题转化为代数式运算问题，通过设未知数简化计算，考查了代数式在实际生活中的应用，培养了学生分析和解决实际问题的能力，解题关键是准确表示出各阶段的收入并计算差值。
【难度系数】
0.8
