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11. 已知 $(\frac{1}{3})^{-m} = 2$，$\frac{1}{3^n} = 5$，则 $9^{2m - n}$ 的值为 (
A.$100$
B.$\frac{16}{25}$
C.$200$
D.$400$
D
)A.$100$
B.$\frac{16}{25}$
C.$200$
D.$400$
答案
11. D
解析
【分析】
首先，我们需要将已知条件转化为以3为底的指数形式，因为所求式子是9的幂，而9是3的平方，统一底数后可方便利用指数运算法则计算。具体思路如下：
1. 利用负整数指数幂的性质，把$(\frac{1}{3})^{-m}=2$转化为$3^m=2$；把$\frac{1}{3^n}=5$转化为$3^n=\frac{1}{5}$。
2. 将$9^{2m-n}$转化为以3为底的幂，即$(3^2)^{2m-n}=3^{4m-2n}$，再通过幂的乘方和同底数幂的除法法则，变形为$\frac{(3^m)^4}{(3^n)^2}$的形式。
3. 最后代入已知的$3^m=2$和$3^n=\frac{1}{5}$，计算得出结果。
【解析】
1. 转化已知条件：
根据负整数指数幂的性质$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得：
$(\frac{1}{3})^{-m}=3^m=2$；
由$\frac{1}{3^n}=5$，得$3^n=\frac{1}{5}$。
2. 化简所求式子：
$9^{2m-n}=(3^2)^{2m-n}$，根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$(3^2)^{2m-n}=3^{2×(2m-n)}=3^{4m-2n}$；
再根据同底数幂的除法法则$a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}$，以及幂的乘方逆运算$a^{mn}=(a^m)^n$，变形得：
$3^{4m-2n}=\frac{3^{4m}}{3^{2n}}=\frac{(3^m)^4}{(3^n)^2}$。
3. 代入计算：
将$3^m=2$，$3^n=\frac{1}{5}$代入上式：
$\frac{(2)^4}{(\frac{1}{5})^2}=\frac{16}{\frac{1}{25}}=16×25=400$。
【答案】
D
【知识点】
负整数指数幂、幂的乘方、同底数幂的除法
【点评】
本题考查指数幂的综合运算，解题关键是通过转化底数，将已知条件与所求式子建立联系，灵活运用指数运算法则进行变形。需要熟练掌握负整数指数幂、幂的乘方、同底数幂的除法等法则，注意运算过程中指数的计算准确性。
【难度系数】
0.5
首先，我们需要将已知条件转化为以3为底的指数形式，因为所求式子是9的幂，而9是3的平方，统一底数后可方便利用指数运算法则计算。具体思路如下：
1. 利用负整数指数幂的性质，把$(\frac{1}{3})^{-m}=2$转化为$3^m=2$；把$\frac{1}{3^n}=5$转化为$3^n=\frac{1}{5}$。
2. 将$9^{2m-n}$转化为以3为底的幂，即$(3^2)^{2m-n}=3^{4m-2n}$，再通过幂的乘方和同底数幂的除法法则，变形为$\frac{(3^m)^4}{(3^n)^2}$的形式。
3. 最后代入已知的$3^m=2$和$3^n=\frac{1}{5}$，计算得出结果。
【解析】
1. 转化已知条件：
根据负整数指数幂的性质$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得：
$(\frac{1}{3})^{-m}=3^m=2$；
由$\frac{1}{3^n}=5$，得$3^n=\frac{1}{5}$。
2. 化简所求式子：
$9^{2m-n}=(3^2)^{2m-n}$，根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$(3^2)^{2m-n}=3^{2×(2m-n)}=3^{4m-2n}$；
再根据同底数幂的除法法则$a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}$，以及幂的乘方逆运算$a^{mn}=(a^m)^n$，变形得：
$3^{4m-2n}=\frac{3^{4m}}{3^{2n}}=\frac{(3^m)^4}{(3^n)^2}$。
3. 代入计算：
将$3^m=2$，$3^n=\frac{1}{5}$代入上式：
$\frac{(2)^4}{(\frac{1}{5})^2}=\frac{16}{\frac{1}{25}}=16×25=400$。
【答案】
D
【知识点】
负整数指数幂、幂的乘方、同底数幂的除法
【点评】
本题考查指数幂的综合运算，解题关键是通过转化底数，将已知条件与所求式子建立联系，灵活运用指数运算法则进行变形。需要熟练掌握负整数指数幂、幂的乘方、同底数幂的除法等法则，注意运算过程中指数的计算准确性。
【难度系数】
0.5
12. 若 $m = \sqrt{2n - 5} + \sqrt{5 - 2n} + 2$，则 $n^{-m} =$
$\frac{4}{25}$
。答案
12. $ \frac{4}{25} $
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数必须是非负数。题目中存在两个二次根式$\sqrt{2n - 5}$和$\sqrt{5 - 2n}$，这两个被开方数需同时满足非负，由此可列出不等式组求出$n$的值；接着将$n$的值代入$m$的表达式求出$m$；最后根据负整数指数幂的运算规则计算$n^{-m}$的值。
【解析】
1. 根据二次根式有意义的条件，被开方数需非负，可得：
$\begin{cases}2n - 5 ≥ 0 \\5 - 2n ≥ 0 \end{cases}$
2. 解不等式组：
由$2n - 5 ≥ 0$得$n ≥ \frac{5}{2}$；由$5 - 2n ≥ 0$得$n ≤ \frac{5}{2}$，因此$n = \frac{5}{2}$。
3. 将$n = \frac{5}{2}$代入$m = \sqrt{2n - 5} + \sqrt{5 - 2n} + 2$中：
$m = \sqrt{2×\frac{5}{2} - 5} + \sqrt{5 - 2×\frac{5}{2}} + 2 = \sqrt{0} + \sqrt{0} + 2 = 2$。
4. 计算$n^{-m}$：
根据负整数指数幂的运算规则$a^{-p} = \frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得：
$n^{-m} = (\frac{5}{2})^{-2} = (\frac{2}{5})^2 = \frac{4}{25}$。
【答案】
$\frac{4}{25}$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 负整数指数幂运算
【点评】
本题考查二次根式有意义的条件及负整数指数幂的运算，解题核心是利用二次根式被开方数非负的性质求出$n$的值，进而得到$m$，再结合负指数幂的法则计算最终结果，题目难度较低，注重基础知识点的应用。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需要明确二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数必须是非负数。题目中存在两个二次根式$\sqrt{2n - 5}$和$\sqrt{5 - 2n}$，这两个被开方数需同时满足非负，由此可列出不等式组求出$n$的值；接着将$n$的值代入$m$的表达式求出$m$；最后根据负整数指数幂的运算规则计算$n^{-m}$的值。
【解析】
1. 根据二次根式有意义的条件，被开方数需非负，可得：
$\begin{cases}2n - 5 ≥ 0 \\5 - 2n ≥ 0 \end{cases}$
2. 解不等式组：
由$2n - 5 ≥ 0$得$n ≥ \frac{5}{2}$；由$5 - 2n ≥ 0$得$n ≤ \frac{5}{2}$，因此$n = \frac{5}{2}$。
3. 将$n = \frac{5}{2}$代入$m = \sqrt{2n - 5} + \sqrt{5 - 2n} + 2$中：
$m = \sqrt{2×\frac{5}{2} - 5} + \sqrt{5 - 2×\frac{5}{2}} + 2 = \sqrt{0} + \sqrt{0} + 2 = 2$。
4. 计算$n^{-m}$：
根据负整数指数幂的运算规则$a^{-p} = \frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得：
$n^{-m} = (\frac{5}{2})^{-2} = (\frac{2}{5})^2 = \frac{4}{25}$。
【答案】
$\frac{4}{25}$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 负整数指数幂运算
【点评】
本题考查二次根式有意义的条件及负整数指数幂的运算，解题核心是利用二次根式被开方数非负的性质求出$n$的值，进而得到$m$，再结合负指数幂的法则计算最终结果，题目难度较低，注重基础知识点的应用。
【难度系数】
0.8
13. 课堂上老师出了这么一道题：$(2x - 3)^{x + 3} - 1 = 0$，求 $x$ 的值。
小明同学解答如下：
解：因为 $(2x - 3)^{x + 3} - 1 = 0$，
所以 $(2x - 3)^{x + 3} = 1$。
因为 $(2x - 3)^0 = 1$，
所以 $x + 3 = 0$，
所以 $x = -3$。
请问小明的解答过程正确吗？如果不正确，请求出正确的值。
小明同学解答如下：
解：因为 $(2x - 3)^{x + 3} - 1 = 0$，
所以 $(2x - 3)^{x + 3} = 1$。
因为 $(2x - 3)^0 = 1$，
所以 $x + 3 = 0$，
所以 $x = -3$。
请问小明的解答过程正确吗？如果不正确，请求出正确的值。
答案
13. 解：不正确。
理由：因为 $ (2x - 3)^{x + 3} - 1 = 0 $，所以 $ (2x - 3)^{x + 3} = 1 $，
所以 $ \begin{cases} x + 3 = 0 \\ 2x - 3 ≠ 0 \end{cases} $ 或 $ 2x - 3 = 1 $ 或 $ \begin{cases} 2x - 3 = -1 \\ x + 3 \mathrm{ 为偶数} \end{cases} $，
解得 $ x = -3 $ 或 $ x = 2 $ 或 $ x = 1 $。
理由：因为 $ (2x - 3)^{x + 3} - 1 = 0 $，所以 $ (2x - 3)^{x + 3} = 1 $，
所以 $ \begin{cases} x + 3 = 0 \\ 2x - 3 ≠ 0 \end{cases} $ 或 $ 2x - 3 = 1 $ 或 $ \begin{cases} 2x - 3 = -1 \\ x + 3 \mathrm{ 为偶数} \end{cases} $，
解得 $ x = -3 $ 或 $ x = 2 $ 或 $ x = 1 $。
解析
【分析】
小明的解答不正确，因为他只考虑了零指数幂的情况，忽略了其他能使幂的结果为1的情况。解题思路如下：首先将原方程变形为$(2x - 3)^{x + 3} = 1$，然后根据有理数乘方的特性，分三种情况讨论：
1. 零指数幂：指数为0，且底数不为0，因为0的0次幂无意义；
2. 底数为1：1的任何次幂都等于1；
3. 底数为-1且指数为偶数：-1的偶次幂等于1。
分别对这三种情况求解，最后汇总所有符合条件的x值。
【解析】
解：小明的解答过程不正确。
因为 $(2x - 3)^{x + 3} - 1 = 0$，所以 $(2x - 3)^{x + 3} = 1$。
根据有理数乘方的性质，分以下三种情况讨论：
① 当$\begin{cases} x + 3 = 0 \\ 2x - 3 ≠ 0 \end{cases}$时，
由$x + 3 = 0$得$x = -3$，此时$2x - 3 = 2×(-3)-3=-9≠0$，符合条件；
② 当$2x - 3 = 1$时，
解得$2x=4$，即$x = 2$，此时$(2×2 - 3)^{2 + 3}=1^5=1$，符合条件；
③ 当$\begin{cases} 2x - 3 = -1 \\ x + 3 \mathrm{ 为偶数} \end{cases}$时，
由$2x - 3 = -1$得$2x=2$，即$x = 1$，此时$x + 3=1+3=4$，4是偶数，$(-1)^4=1$，符合条件。
综上，$x$的值为$-3$或$2$或$1$。
【答案】
$x=-3$或$x=2$或$x=1$
【知识点】
零指数幂性质、有理数乘方特性
【点评】
本题考查幂等于1的多种情况，小明的错误在于思考问题不全面，仅考虑了零指数幂这一种情况。解决此类问题时，需全面分析三种可能使幂为1的情况，同时要注意零指数幂中底数不能为0的限制条件，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.4
小明的解答不正确，因为他只考虑了零指数幂的情况，忽略了其他能使幂的结果为1的情况。解题思路如下：首先将原方程变形为$(2x - 3)^{x + 3} = 1$，然后根据有理数乘方的特性，分三种情况讨论：
1. 零指数幂：指数为0，且底数不为0，因为0的0次幂无意义；
2. 底数为1：1的任何次幂都等于1；
3. 底数为-1且指数为偶数：-1的偶次幂等于1。
分别对这三种情况求解，最后汇总所有符合条件的x值。
【解析】
解：小明的解答过程不正确。
因为 $(2x - 3)^{x + 3} - 1 = 0$，所以 $(2x - 3)^{x + 3} = 1$。
根据有理数乘方的性质，分以下三种情况讨论：
① 当$\begin{cases} x + 3 = 0 \\ 2x - 3 ≠ 0 \end{cases}$时，
由$x + 3 = 0$得$x = -3$，此时$2x - 3 = 2×(-3)-3=-9≠0$，符合条件；
② 当$2x - 3 = 1$时，
解得$2x=4$，即$x = 2$，此时$(2×2 - 3)^{2 + 3}=1^5=1$，符合条件；
③ 当$\begin{cases} 2x - 3 = -1 \\ x + 3 \mathrm{ 为偶数} \end{cases}$时，
由$2x - 3 = -1$得$2x=2$，即$x = 1$，此时$x + 3=1+3=4$，4是偶数，$(-1)^4=1$，符合条件。
综上，$x$的值为$-3$或$2$或$1$。
【答案】
$x=-3$或$x=2$或$x=1$
【知识点】
零指数幂性质、有理数乘方特性
【点评】
本题考查幂等于1的多种情况，小明的错误在于思考问题不全面，仅考虑了零指数幂这一种情况。解决此类问题时，需全面分析三种可能使幂为1的情况，同时要注意零指数幂中底数不能为0的限制条件，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.4
14. 阅读理解：
[例]已知 $a + a^{-1} = 3$，求 $a^2 + a^{-2}$ 的值。
解：因为 $a + a^{-1} = 3$，
所以 $(a + a^{-1})^2 = a^2 + a^{-2} + 2 = 9$，
所以 $a^2 + a^{-2} = 7$。
根据以上结论和方法，求：
（1）$a^4 + a^{-4}$ 的值。
（2）$a - a^{-1}$ 的值。
[例]已知 $a + a^{-1} = 3$，求 $a^2 + a^{-2}$ 的值。
解：因为 $a + a^{-1} = 3$，
所以 $(a + a^{-1})^2 = a^2 + a^{-2} + 2 = 9$，
所以 $a^2 + a^{-2} = 7$。
根据以上结论和方法，求：
（1）$a^4 + a^{-4}$ 的值。
（2）$a - a^{-1}$ 的值。
答案
14. 解：(1) 因为 $ a^{2} + a^{-2} = 7 $，
所以 $ (a^{2} + a^{-2})^{2} = a^{4} + a^{-4} + 2 = 49 $，
所以 $ a^{4} + a^{-4} = 47 $。
(2) 因为 $ (a + a^{-1})^{2} = 9 $，
所以 $ (a - a^{-1})^{2} = (a + a^{-1})^{2} - 4 = 9 - 4 = 5 $，
所以 $ a - a^{-1} = \pm \sqrt{5} $。
所以 $ (a^{2} + a^{-2})^{2} = a^{4} + a^{-4} + 2 = 49 $，
所以 $ a^{4} + a^{-4} = 47 $。
(2) 因为 $ (a + a^{-1})^{2} = 9 $，
所以 $ (a - a^{-1})^{2} = (a + a^{-1})^{2} - 4 = 9 - 4 = 5 $，
所以 $ a - a^{-1} = \pm \sqrt{5} $。
解析
【分析】
对于（1），可类比例题思路，利用完全平方公式的变形，将已知的$a^2 + a^{-2}=7$整体平方，展开后就能得到含$a^4 + a^{-4}$的式子，移项即可求出结果；
对于（2），需借助完全平方公式的关系，$(a - a^{-1})^2=(a + a^{-1})^2 - 4$，先通过已知的$a + a^{-1}=3$算出$(a - a^{-1})^2$的值，再开平方得到结果，注意开平方后有正负两种情况。
【解析】
(1) 由例题结论可知$a^2 + a^{-2}=7$，
对等式两边平方：$(a^2 + a^{-2})^2 = a^4 + a^{-4} + 2 = 7^2=49$，
移项计算：$a^4 + a^{-4}=49 - 2=47$；
(2) 已知$a + a^{-1}=3$，则$(a + a^{-1})^2=9$，
根据完全平方公式变形：$(a - a^{-1})^2=(a + a^{-1})^2 - 4$，
代入数值：$(a - a^{-1})^2=9 - 4=5$，
开平方得：$a - a^{-1}=\pm\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{47}$；(2) $\boldsymbol{\pm\sqrt{5}}$
【知识点】
完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活运用，通过类比例题的解题方法，需要熟练掌握公式的变形形式，同时要注意开平方运算时结果的正负性，避免遗漏情况。
【难度系数】
0.6
对于（1），可类比例题思路，利用完全平方公式的变形，将已知的$a^2 + a^{-2}=7$整体平方，展开后就能得到含$a^4 + a^{-4}$的式子，移项即可求出结果；
对于（2），需借助完全平方公式的关系，$(a - a^{-1})^2=(a + a^{-1})^2 - 4$，先通过已知的$a + a^{-1}=3$算出$(a - a^{-1})^2$的值，再开平方得到结果，注意开平方后有正负两种情况。
【解析】
(1) 由例题结论可知$a^2 + a^{-2}=7$，
对等式两边平方：$(a^2 + a^{-2})^2 = a^4 + a^{-4} + 2 = 7^2=49$，
移项计算：$a^4 + a^{-4}=49 - 2=47$；
(2) 已知$a + a^{-1}=3$，则$(a + a^{-1})^2=9$，
根据完全平方公式变形：$(a - a^{-1})^2=(a + a^{-1})^2 - 4$，
代入数值：$(a - a^{-1})^2=9 - 4=5$，
开平方得：$a - a^{-1}=\pm\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{47}$；(2) $\boldsymbol{\pm\sqrt{5}}$
【知识点】
完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活运用，通过类比例题的解题方法，需要熟练掌握公式的变形形式，同时要注意开平方运算时结果的正负性，避免遗漏情况。
【难度系数】
0.6
