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1. 在四边形$ABCD$中，若$AD = 6\ cm$，$AB = 4\ cm$，$BC = 6\ cm$，则当$CD =$$cm$时，四边形$ABCD$为平行四边形。
答案
4
解析
根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。已知$AD = 6\ cm$，$BC = 6\ cm$，则$AD = BC$。要使四边形$ABCD$为平行四边形，需$AB = CD$，因为$AB = 4\ cm$，所以$CD = 4\ cm$。
2. 下面是关于四边形$ABCD$的三个结论：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③对角线$AC$和$BD$相等。以上结论可以判定四边形$ABCD$是平行四边形的有(填序号)。
答案
①②
解析
根据平行四边形的判定定理：
结论①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，这是平行四边形的定义，所以①可以判定。
结论②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，这是平行四边形的判定定理之一，所以②可以判定。
结论③对角线$AC$和$BD$相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形对角线也相等，所以③不可以判定。
结论①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，这是平行四边形的定义，所以①可以判定。
结论②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，这是平行四边形的判定定理之一，所以②可以判定。
结论③对角线$AC$和$BD$相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形对角线也相等，所以③不可以判定。
3. 如图，在四边形$ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，其中$AB = CD$。请你再添加一个条件，使四边形$ABCD$为平行四边形。可以添加的条件是。
答案
$AD=BC$（或$AB // CD$等）。
解析
对于一个四边形如果是平行四边形，那么它的对边相等而且平行，或者对角线互相平分。
已知$AB = CD$，要使四边形$ABCD$成为平行四边形，
则需要再添加一组对边相等或对角线互相平分条件之一。
可以添加的条件是$AD=BC$，四边形ABCD两组对边分别相等，是平行四边形；
或者添加$AB // CD$，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
也可以添加对角线互相平分条件，如$OA=OC$。
已知$AB = CD$，要使四边形$ABCD$成为平行四边形，
则需要再添加一组对边相等或对角线互相平分条件之一。
可以添加的条件是$AD=BC$，四边形ABCD两组对边分别相等，是平行四边形；
或者添加$AB // CD$，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
也可以添加对角线互相平分条件，如$OA=OC$。
4. 如图，从①$AB // CD$，②$AD = BC$，③$∠ A = ∠ C$，④$∠ B + ∠ C = 180^{\circ}$中，选出两个关系作为条件，可以推出四边形$ABCD$是平行四边形的是（写出一种即可，填序号）。
答案
①③
解析
首先考虑条件①和条件③：
已知 $AB // CD$，
根据平行线的性质可得：$∠ B + ∠ C = 180°$。
又因为 $∠ A = ∠ C$，
则：$∠ B + ∠ A = 180°$。
根据同旁内角互补，可得：$AD // BC$。
根据平行四边形的定义，如果一个四边形的两组对边分别平行，则这个四边形是平行四边形。
因此，$ABCD$ 是平行四边形。
其他组合条件也可以通过类似的方法验证，但题目只需一种即可。
已知 $AB // CD$，
根据平行线的性质可得：$∠ B + ∠ C = 180°$。
又因为 $∠ A = ∠ C$，
则：$∠ B + ∠ A = 180°$。
根据同旁内角互补，可得：$AD // BC$。
根据平行四边形的定义，如果一个四边形的两组对边分别平行，则这个四边形是平行四边形。
因此，$ABCD$ 是平行四边形。
其他组合条件也可以通过类似的方法验证，但题目只需一种即可。
5. 已知：如图，$AB ⊥ BD$，$CD ⊥ BD$，$AD = BC$。求证：四边形$ABCD$是平行四边形。
答案
证明：
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD=∠CDB=90°，AB//CD（垂直于同一直线的两直线平行）。
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
AD=BC（已知），
BD=DB（公共边），
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）。
∴AB=CD。
∵AB//CD且AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD=∠CDB=90°，AB//CD（垂直于同一直线的两直线平行）。
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
AD=BC（已知），
BD=DB（公共边），
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）。
∴AB=CD。
∵AB//CD且AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
6. 提升题 如图，$AB$，$CD$相交于点$O$，$AC // BD$，$OA = OB$，$E$，$F$分别是$OC$，$OD$的中点。求证：四边形$AEBF$是平行四边形。
答案
证明：
∵AC//BD，
∴∠OAC=∠OBD（两直线平行，内错角相等）。
∵AB，CD相交于点O，
∴∠AOC=∠BOD（对顶角相等）。
在△AOC和△BOD中，
$\{\begin{array}{l} ∠OAC=∠OBD,\\ OA=OB,\\ ∠AOC=∠BOD,\end{array} $
∴△AOC≌△BOD（ASA）。
∴OC=OD（全等三角形对应边相等）。
∵E，F分别是OC，OD的中点，
∴OE=$\frac{1}{2}$OC，OF=$\frac{1}{2}$OD。
∴OE=OF。
∵OA=OB，
∴四边形AEBF的对角线AB，EF互相平分。
∴四边形AEBF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∵AC//BD，
∴∠OAC=∠OBD（两直线平行，内错角相等）。
∵AB，CD相交于点O，
∴∠AOC=∠BOD（对顶角相等）。
在△AOC和△BOD中，
$\{\begin{array}{l} ∠OAC=∠OBD,\\ OA=OB,\\ ∠AOC=∠BOD,\end{array} $
∴△AOC≌△BOD（ASA）。
∴OC=OD（全等三角形对应边相等）。
∵E，F分别是OC，OD的中点，
∴OE=$\frac{1}{2}$OC，OF=$\frac{1}{2}$OD。
∴OE=OF。
∵OA=OB，
∴四边形AEBF的对角线AB，EF互相平分。
∴四边形AEBF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
