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1. 如图，在四边形$ABCD$中，$AB = CD$，$AD = BC$，$∠ A = 50^{\circ}$，则$∠ B =$。
答案
130°
解析
因为在四边形$ABCD$中，$AB = CD$，$AD = BC$，所以四边形$ABCD$是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）。因为平行四边形的邻角互补，$∠ A = 50^{\circ}$，所以$∠ B = 180^{\circ}-∠ A = 180^{\circ}-50^{\circ}=130^{\circ}$。
2. 如图，在四边形$ABCD$中，$AD // BC$，$AD = 6$。当$BC =$时，$AC$与$BD$互相平分。
答案
6
解析
因为AC与BD互相平分，所以四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。又因为平行四边形对边相等，且AD=6，所以BC=AD=6。
3. 如图，在四边形$ABCD$中，$E$是$CD$边的中点，连接$AE$并延长，交$BC$的延长线于点$F$，$BC = CF$。可添加条件，使四边形$ABCD$是平行四边形。
答案
$AD// BC$（答案不唯一）
解析
添加条件$AD // BC$（或$AB // CD$，答案不唯一）。
若添加$AD// BC$，因为$AD// BC$，所以$∠ DAE=∠ F$，$∠ D = ∠ ECF$。
又因为$E$是$CD$中点，所以$DE = CE$。
在$△ ADE$和$△ FCE$中，$\begin{cases}∠ DAE=∠ F\\∠ D=∠ ECF\\DE = CE\end{cases}$，
根据$AAS$（角角边）定理，可得$△ ADE≌△ FCE$，所以$AD = CF$。
已知$BC = CF$，所以$AD = BC$，又因为$AD// BC$，根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形$ABCD$是平行四边形。
若添加$AD// BC$，因为$AD// BC$，所以$∠ DAE=∠ F$，$∠ D = ∠ ECF$。
又因为$E$是$CD$中点，所以$DE = CE$。
在$△ ADE$和$△ FCE$中，$\begin{cases}∠ DAE=∠ F\\∠ D=∠ ECF\\DE = CE\end{cases}$，
根据$AAS$（角角边）定理，可得$△ ADE≌△ FCE$，所以$AD = CF$。
已知$BC = CF$，所以$AD = BC$，又因为$AD// BC$，根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形$ABCD$是平行四边形。
4. 如图，在$□ ABCD$中，$AB ⊥ AC$，$E$，$F$分别在边$BC$和$AD$上，$EF // AB$，交$AC$于点$P$。若$CD = 6$，$AC = 8$，$CE = 7$，则$AF$的长为。
答案
3
解析
在□ABCD中，AB=CD=6，AD=BC，AB//CD，AD//BC。
∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°。
在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，由勾股定理得BC=√(AB²+AC²)=√(6²+8²)=10。
∵CE=7，∴BE=BC-CE=10-7=3。
∵EF//AB，AD//BC，∴四边形ABEF是平行四边形（两组对边分别平行），∴AF=BE=3。
∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°。
在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，由勾股定理得BC=√(AB²+AC²)=√(6²+8²)=10。
∵CE=7，∴BE=BC-CE=10-7=3。
∵EF//AB，AD//BC，∴四边形ABEF是平行四边形（两组对边分别平行），∴AF=BE=3。
5. 如图，在$5 × 6$的正方形网格中，请用无刻度直尺按要求作图。
(1) 作$□ ABCD$；
(2) 在$CD$上画点$F$，作直线$EF$，使直线$EF$平分$□ ABCD$的周长。
(1) 作$□ ABCD$；
(2) 在$CD$上画点$F$，作直线$EF$，使直线$EF$平分$□ ABCD$的周长。
答案
(1)
将点$A$水平左移$1$个单位，再竖直下移$2$个单位得到点$C$；将点$B$水平左移$1$个单位，再竖直下移$2$个单位得到点$D$，连接$A,B,C,D$四点，平行四边形$ABCD$即为所求。
(2)
连接$AC,BD$，交点为$O$，取格点$E$，连接$EO$，延长$EO$交$CD$于点$F$，直线$EF$即为所求。
将点$A$水平左移$1$个单位，再竖直下移$2$个单位得到点$C$；将点$B$水平左移$1$个单位，再竖直下移$2$个单位得到点$D$，连接$A,B,C,D$四点，平行四边形$ABCD$即为所求。
(2)
连接$AC,BD$，交点为$O$，取格点$E$，连接$EO$，延长$EO$交$CD$于点$F$，直线$EF$即为所求。
6. 提升题 如图，在$□ ABCD$中，$E$，$F$分别是$AB$，$DC$边上的中点，连接$DE$，$BF$，$AF$。
(1) 求证：四边形$DEBF$是平行四边形；
(2) 若$AF$平分$∠ DAB$，$BE = 5$，求$BC$的长。
(1) 求证：四边形$DEBF$是平行四边形；
(2) 若$AF$平分$∠ DAB$，$BE = 5$，求$BC$的长。
答案
(1) 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AB=CD。
∵E，F分别是AB，DC边上的中点，∴BE=1/2AB，DF=1/2CD。
∴BE=DF。又∵AB//CD，∴BE//DF。
∴四边形DEBF是平行四边形。
(2) ∵E是AB中点，BE=5，∴AB=2BE=10。
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=10，AD=BC，AB//CD。
∵F是DC中点，∴DF=1/2CD=5。
∵AF平分∠DAB，∴∠DAF=∠BAF。
∵AB//CD，∴∠BAF=∠AFD（两直线平行，内错角相等）。
∴∠DAF=∠AFD，∴AD=DF=5。
∵AD=BC，∴BC=5。
∵E，F分别是AB，DC边上的中点，∴BE=1/2AB，DF=1/2CD。
∴BE=DF。又∵AB//CD，∴BE//DF。
∴四边形DEBF是平行四边形。
(2) ∵E是AB中点，BE=5，∴AB=2BE=10。
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=10，AD=BC，AB//CD。
∵F是DC中点，∴DF=1/2CD=5。
∵AF平分∠DAB，∴∠DAF=∠BAF。
∵AB//CD，∴∠BAF=∠AFD（两直线平行，内错角相等）。
∴∠DAF=∠AFD，∴AD=DF=5。
∵AD=BC，∴BC=5。
