1. 如图，卡槽中有一块三角形铁片，即$△ OAB$，$C$，$D$分别是$OA$，$OB$的中点。若$CD = 6\ cm$，则该铁片底边$AB$的长为$cm$。

12

∵C，D分别是OA，OB的中点，∴CD是△OAB的中位线。根据三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，可得CD = 1/2 AB。∵CD = 6 cm，∴AB = 2CD = 2×6 = 12 cm。

2. 如图，在$△ ABC$中，$D$是$BC$边的中点，$AE$平分$∠ BAC$，$AE ⊥ BF$交$BF$于点$E$。若$AB = 8$，$AC = 14$，则$DE$的长为。

3

延长BF交AC于点G。
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠GAE。
∵AE⊥BF，∴∠AEB=∠AEG=90°。
在△ABE和△AGE中，∠BAE=∠GAE，AE=AE，∠AEB=∠AEG，
∴△ABE≌△AGE（ASA），∴AG=AB=8，BE=EG（E为BG中点）。
∵AC=14，∴GC=AC-AG=14-8=6。
∵D是BC中点，E是BG中点，
∴DE是△BGC的中位线，∴DE=1/2GC=1/2×6=3。

3. 如图，在$△ ABC$中，$D$，$E$分别是$AB$，$AC$的中点，连接$DE$，延长$BC$到点$F$，使得$CF = \frac{1}{2}BC$，连接$DF$交$AC$于点$O$。求证$OC = OE$。

证明：
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，且DE = $\frac{1}{2}$BC。
∵CF = $\frac{1}{2}$BC，
∴DE = CF。
∵DE//BC，点F在BC的延长线上，
∴DE//CF。
∴四边形DECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
∵DF，EC是平行四边形DECF的对角线，
∴EO = OC（平行四边形的对角线互相平分）。
即OC = OE。

4. 提升题【课本再现】
(1) 已知：如图①，$D$，$E$分别是$△ ABC$的边$AB$，$AC$的中点。
求证：$DE // BC$，且$DE = \frac{1}{2}BC$。
证明：如图②，延长$DE$至点$F$，使得$EF = DE$，连接$CF$。请你根据小乐添加的辅助线，写出完整的证明过程。（不再添加新的辅助线）
【知识应用】
(2) 如图③，在四边形$ABCD$中，$AB = 6$，$CD = 8$，$∠ BAC = 30^{\circ}$，$∠ ACD = 120^{\circ}$，$E$，$F$，$M$分别是$AD$，$BC$，$AC$的中点。求$EF$的长。

(2)5

(1)证明：
∵E是AC中点，∴AE=CE。
在△AED和△CEF中，
$\{\begin{array}{l} AE=CE \\ ∠AED=∠CEF \\ DE=EF \end{array} $，
∴△AED≌△CEF(SAS)。
∴∠ADE=∠F，AD=CF。
∴AD//CF。
∵D是AB中点，∴AD=BD。
∴BD=CF，且BD//CF。
∴四边形BCFD是平行四边形。
∴DF//BC，DF=BC。
∵DE=EF，∴DE=$\frac{1}{2}$DF。
∴DE//BC，且DE=$\frac{1}{2}$BC。
(2)解：
∵M，E分别是AC，AD中点，
∴ME是△ACD中位线，ME=$\frac{1}{2}$CD=4，ME//CD。
∵M，F分别是AC，BC中点，
∴MF是△ABC中位线，MF=$\frac{1}{2}$AB=3，MF//AB。
∵MF//AB，∴∠FMC=∠BAC=30°。
∵ME//CD，∴∠EMC+∠ACD=180°，
∵∠ACD=120°，∴∠EMC=60°。
∴∠EMF=∠FMC+∠EMC=30°+60°=90°。
在Rt△EMF中，EF=$\sqrt{ME^2+MF^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。