登录
1. 如图，$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$。若$AO = 3$，则$AC =$。
答案
6
解析
因为四边形 $ABCD$ 是平行四边形，根据平行四边形的性质，对角线互相平分，所以 $AC = 2AO$。已知 $AO = 3$，则 $AC = 2×3 = 6$。
2. 如图，在$□ ABCD$中，$AC = 6$，$BD = 8$，$AD = 5$，则$AB =$。
答案
5
解析
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以对角线互相平分，即$AO = \frac{1}{2}AC = 3$，$DO = \frac{1}{2}BD = 4$。在$△ AOD$中，$AO = 3$，$DO = 4$，$AD = 5$，满足$3^2 + 4^2 = 5^2$，所以$△ AOD$是直角三角形，$∠ AOD = 90°$，即$AC ⊥ BD$。因此，平行四边形$ABCD$是菱形，所以$AB = AD = 5$。
3. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$EF$过点$O$，交$AD$于点$F$，交$BC$于点$E$。若$□ ABCD$的面积为$48$，则图中阴影部分的面积为。
答案
24
解析
在$□ABCD$中，$AD// BC$，$OA=OC$，$∠ OAF=∠ OCE$，$∠ AFO=∠ CEO$，$\therefore△ AOF≌△ COE(AAS)$，$\therefore S_{△ AOF}=S_{△ COE}$。同理可证$△ BOE≌△ DOF$，$S_{△ BOE}=S_{△ DOF}$。阴影部分面积$=S_{△ AOF}+S_{△ BOE}+S_{△ COD}=S_{△ COE}+S_{△ DOF}+S_{△ COD}=\frac{1}{2}S_{□ABCD}=\frac{1}{2}×48=24$。
4. 如图，$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，且$AC + BD = 32$，$△ AOB$的周长为$27$，则$CD =$。
答案
$11$
解析
平行四边形$ABCD$的对角线$AC$和$BD$相交于点$O$，根据平行四边形的性质，对角线互相平分，因此有：
$OA = OC, \quad OB = OD$，
已知$AC + BD = 32$，由于$AC$和$BD$被平分，所以：
$OA + OB = \frac{1}{2}(AC + BD) = \frac{1}{2} × 32 = 16$，
又因为$△ AOB$的周长为27，即：
$OA + OB + AB = 27$，
代入$OA + OB = 16$，得到：
$AB = 27 - 16 = 11$，
由于$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形的对边相等性质，有：
$CD = AB = 11$。
$OA = OC, \quad OB = OD$，
已知$AC + BD = 32$，由于$AC$和$BD$被平分，所以：
$OA + OB = \frac{1}{2}(AC + BD) = \frac{1}{2} × 32 = 16$，
又因为$△ AOB$的周长为27，即：
$OA + OB + AB = 27$，
代入$OA + OB = 16$，得到：
$AB = 27 - 16 = 11$，
由于$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形的对边相等性质，有：
$CD = AB = 11$。
5. 如图，在$□ ABCD$中，$AC$与$BD$相交于点$O$，$E$，$F$分别是$OB$，$OD$的中点，连接$AE$和$CF$。求证$AE = CF$。
答案
证明：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，
所以$OA = OC$，$OB = OD$（平行四边形的对角线互相平分）。
因为$E$，$F$分别是$OB$，$OD$的中点，
所以$OE=\frac{1}{2}OB$，$OF = \frac{1}{2}OD$，
所以$OE=OF$。
在$△ AOE$和$△ COF$中，
$\begin{cases}OA = OC\\∠ AOE=∠ COF\\OE = OF\end{cases}$
所以$△ AOE≌△ COF(SAS)$。
所以$AE = CF$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，
所以$OA = OC$，$OB = OD$（平行四边形的对角线互相平分）。
因为$E$，$F$分别是$OB$，$OD$的中点，
所以$OE=\frac{1}{2}OB$，$OF = \frac{1}{2}OD$，
所以$OE=OF$。
在$△ AOE$和$△ COF$中，
$\begin{cases}OA = OC\\∠ AOE=∠ COF\\OE = OF\end{cases}$
所以$△ AOE≌△ COF(SAS)$。
所以$AE = CF$。
6. 图①、图②均是$7 × 4$的正方形网格，每个小正方形的边长均为$1$，每个小正方形的顶点称为格点。$□ ABCD$四个顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺，在给定网格中按下列要求作图。
(1) 在图①中，作$AC$的中点$O$；
(2) 在图②中，$E$为线段$AD$上的一点，在线段$BC$上作点$F$，使$CF = AE$。
(1) 在图①中，作$AC$的中点$O$；
(2) 在图②中，$E$为线段$AD$上的一点，在线段$BC$上作点$F$，使$CF = AE$。
答案
(1) 连接BD，BD与AC交于点O，点O即为AC的中点。
(2) 连接AC、BD交于点O，连接EO并延长交BC于点F，点F即为所求。
(2) 连接AC、BD交于点O，连接EO并延长交BC于点F，点F即为所求。
7. 提升题 如图，$□ ABCD$的周长为$16\ cm$，$AC$，$BD$相交于点$O$，$EO ⊥ AC$交$AD$于点$E$。求$△ DCE$的周长。
答案
8cm
解析
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC（平行四边形对边相等，对角线互相平分）。
∵平行四边形ABCD的周长为16cm，
∴2(AB+AD)=16，即AB+AD=8cm。
∵EO⊥AC，OA=OC，
∴EO是AC的垂直平分线，
∴EA=EC（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
△DCE的周长=DC+CE+ED=DC+EA+ED=DC+AD。
∵AB=CD，
∴DC+AD=AB+AD=8cm。
故△DCE的周长为8cm。
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC（平行四边形对边相等，对角线互相平分）。
∵平行四边形ABCD的周长为16cm，
∴2(AB+AD)=16，即AB+AD=8cm。
∵EO⊥AC，OA=OC，
∴EO是AC的垂直平分线，
∴EA=EC（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
△DCE的周长=DC+CE+ED=DC+EA+ED=DC+AD。
∵AB=CD，
∴DC+AD=AB+AD=8cm。
故△DCE的周长为8cm。
