例 1 如图 7.1 - 4，直线 AB 与 CD 相交于点 O. 下列说法不正确的是()


A.若$∠ AOC = 90°$，则$AB ⊥ CD$
B.若$AB ⊥ CD$，垂足为 O，则$∠ BOD = 90°$
C.当$∠ COB = 90°$时，称 AB 与 CD 互相垂直
D.AB 与 CD 相交于点 O，点 O 为垂足
【思路导析】运用垂直和垂线的定义作答. 若 AB 是 CD 的垂线，则其夹角必为$90°$.
【请你解答】.

[例1]D

例 2 下列说法中，正确的有()
①平面内过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；
②平面内过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线；
③平面内过一点可以画一条直线垂直于已知直线；
④平面内有且只有一条直线垂直于已知直线.

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
【思路导析】运用垂线的性质作答.
【请你解答】.

[例2]C

例 3 如图 7.1 - 5，直线 AB，CD 相交于点 O，过点 O 画射线 OE，OF，使$OE ⊥ CD$，OD 平分$∠ BOF$，如果$∠ BOE = 50°$，求$∠ AOC$，$∠ EOF$和$∠ AOF$的度数.

【规范解答】因为$OE ⊥ CD$，所以$∠ DOE = 90°$.
因为$∠ BOE = 50°$，
所以$∠ AOC = ∠ BOD = ∠ DOE - ∠ BOE = 90° - 50° = 40°$.
因为 OD 平分$∠ BOF$，
所以$∠ BOF = 2∠ BOD = 80°$.
所以$∠ EOF = ∠ BOF + ∠ BOE = 80° + 50° = 130°$，
$∠ AOF = ∠ AOB - ∠ BOF = 180° - 80° = 100°$.
如图 7.1 - 6，已知直线 AB，CD，EF 相交于点 O，$AB ⊥ CD$，$∠ DOE = 127°$，求$∠ AOF$的度数.

学后反思
两条直线垂直是相交的一个特殊情形. 两线垂直包含：①两线段垂直；②两直线垂直；③线段与射线垂直；④线段与直线垂直；⑤射线与直线垂直；等等.

[变式探究]
1. 因为 $AB ⊥ CD$,所以 $∠ DOB=90°$,又因为 $∠ DOE=127°$,所以 $∠ BOE = ∠ DOE - ∠ DOB=127°-90°=37°$,所以 $∠ AOF = ∠ BOE=37°$.