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一、选择题
1. 若 $ m ＞ n $，则下列不等式正确的是()
A. $ m - 6 ＜ n - 6 $
B. $ \frac{m}{6} ＞ \frac{n}{6} $
C. $ 6m ＜ 6n $
D. $ - 6m ＞ - 6n $
1. 若 $ m ＞ n $，则下列不等式正确的是()
A. $ m - 6 ＜ n - 6 $
B. $ \frac{m}{6} ＞ \frac{n}{6} $
C. $ 6m ＜ 6n $
D. $ - 6m ＞ - 6n $
答案
B
解析
已知$m ＞ n$。
选项A：不等式两边同时减去6，不等号方向不变，应为$m - 6 ＞ n - 6$，A错误。
选项B：不等式两边同时除以6（正数），不等号方向不变，$\frac{m}{6} ＞ \frac{n}{6}$，B正确。
选项C：不等式两边同时乘以6（正数），不等号方向不变，应为$6m ＞ 6n$，C错误。
选项D：不等式两边同时乘以$-6$（负数），不等号方向改变，应为$-6m ＜ -6n$，D错误。
选项A：不等式两边同时减去6，不等号方向不变，应为$m - 6 ＞ n - 6$，A错误。
选项B：不等式两边同时除以6（正数），不等号方向不变，$\frac{m}{6} ＞ \frac{n}{6}$，B正确。
选项C：不等式两边同时乘以6（正数），不等号方向不变，应为$6m ＞ 6n$，C错误。
选项D：不等式两边同时乘以$-6$（负数），不等号方向改变，应为$-6m ＜ -6n$，D错误。
2. 不等式 $ 3x ≤ x - 4 $ 的解集是()
A.$ x ≤ - 2 $
B.$ x ≥ - 2 $
C.$ x ＞ - 2 $
D.$ x ＜ - 2 $
A.$ x ≤ - 2 $
B.$ x ≥ - 2 $
C.$ x ＞ - 2 $
D.$ x ＜ - 2 $
答案
A
解析
首先将不等式 $3x ≤ x - 4$ 中的 $x$ 项移到左边，
$3x - x ≤ -4$，
即 $2x ≤ -4$，
然后将两边同时除以 $2$，得到：
$x ≤ -2$。
3. 现要把一些书分给几名同学，若；若每人分 11 本，则书有剩余。依题意，设有 $ x $ 名同学，可列不等式为 $ 7(x + 8) ＞ 11x $，则横线上的信息可以是()
A.每人分 7 本，则剩余 8 本
B.每人分 7 本，则可多分 8 个人
C.每人分 8 本，则剩余 7 本
D.其中一名同学分 7 本，则其他同学每人可分 8 本
A.每人分 7 本，则剩余 8 本
B.每人分 7 本，则可多分 8 个人
C.每人分 8 本，则剩余 7 本
D.其中一名同学分 7 本，则其他同学每人可分 8 本
答案
B
解析
设书的总数为 $ y $ 本。若每人分 7 本，可多分 8 个人，则书的总数 $ y = 7(x + 8) $。“若每人分 11 本，则书有剩余”，即书的总数大于 $ 11x $，故不等式为 $ 7(x + 8)＞11x $，符合题意。
二、填空题
4. 从 $ - 2 $，$ - 1 $，0，2，3，5 这六个数中，随机抽取一个数记为 $ m $。若数 $ m $ 使关于 $ x $ 的不等式组 $ \begin{cases}x ＞ m + 2, \\ - 2x - 1 ≥ 4m + 1\end{cases}$ 无解，且使关于 $ x $ 的一元一次方程 $ (m - 2)x = 3 $ 有整数解，则这六个数中所有满足条件的 $ m $ 有 ______ 个。
4. 从 $ - 2 $，$ - 1 $，0，2，3，5 这六个数中，随机抽取一个数记为 $ m $。若数 $ m $ 使关于 $ x $ 的不等式组 $ \begin{cases}x ＞ m + 2, \\ - 2x - 1 ≥ 4m + 1\end{cases}$ 无解，且使关于 $ x $ 的一元一次方程 $ (m - 2)x = 3 $ 有整数解，则这六个数中所有满足条件的 $ m $ 有 ______ 个。
答案
1. 解不等式组：
由$-2x - 1 ≥ 4m + 1$得$x ≤ -2m - 1$，不等式组为$\begin{cases}x ＞ m + 2 \\ x ≤ -2m - 1\end{cases}$。
无解条件：$m + 2 ≥ -2m - 1$，解得$m ≥ -1$。
可能的$m$：$-1, 0, 2, 3, 5$。
2. 方程$(m - 2)x = 3$有整数解：
$m ≠ 2$，解为$x = \frac{3}{m - 2}$，需$\frac{3}{m - 2}$为整数。
$m - 2$为$3$的因数：$\pm1, \pm3$，则$m = 3, 1, 5, -1$。
结合$m ≥ -1$且在给定数中，$m = -1, 3, 5$。
3. 满足条件的$m$：$-1, 3, 5$，共3个。
3
由$-2x - 1 ≥ 4m + 1$得$x ≤ -2m - 1$，不等式组为$\begin{cases}x ＞ m + 2 \\ x ≤ -2m - 1\end{cases}$。
无解条件：$m + 2 ≥ -2m - 1$，解得$m ≥ -1$。
可能的$m$：$-1, 0, 2, 3, 5$。
2. 方程$(m - 2)x = 3$有整数解：
$m ≠ 2$，解为$x = \frac{3}{m - 2}$，需$\frac{3}{m - 2}$为整数。
$m - 2$为$3$的因数：$\pm1, \pm3$，则$m = 3, 1, 5, -1$。
结合$m ≥ -1$且在给定数中，$m = -1, 3, 5$。
3. 满足条件的$m$：$-1, 3, 5$，共3个。
3
5. 写出一个关于 $ x $ 的不等式，使 $ - 1 $，2 都是它的解，则这个不等式可以是。
答案
$x ＜ 3$
解析
当不等式为 $x ＜ 3$ 时，$-1 ＜ 3$，$2 ＜ 3$，所以$-1$，$2$都是它的解。
6. 提升题如图，用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大。当铁钉未进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的 $ \frac{1}{2} $。已知这个铁钉被敲击 3 次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是 $ a \mathrm{cm} $。若铁钉总长度为 $ 7 \mathrm{cm} $，则 $ a $ 的取值范围是。
答案
$4 ≤ a ＜ \frac{14}{3}$
解析
第一次钉入长度为 $a\ \mathrm{cm}$，第二次为 $\frac{1}{2}a\ \mathrm{cm}$，第三次为 $\frac{1}{4}a\ \mathrm{cm}$。
因敲击3次后全部进入，故前两次未完全进入：$a + \frac{1}{2}a ＜ 7$，即 $\frac{3}{2}a ＜ 7$，解得 $a ＜ \frac{14}{3}$；
三次总长度需不小于7 cm：$a + \frac{1}{2}a + \frac{1}{4}a ≥ 7$，即 $\frac{7}{4}a ≥ 7$，解得 $a ≥ 4$。
综上，$a$ 的取值范围是 $4 ≤ a ＜ \frac{14}{3}$。
因敲击3次后全部进入，故前两次未完全进入：$a + \frac{1}{2}a ＜ 7$，即 $\frac{3}{2}a ＜ 7$，解得 $a ＜ \frac{14}{3}$；
三次总长度需不小于7 cm：$a + \frac{1}{2}a + \frac{1}{4}a ≥ 7$，即 $\frac{7}{4}a ≥ 7$，解得 $a ≥ 4$。
综上，$a$ 的取值范围是 $4 ≤ a ＜ \frac{14}{3}$。
三、解答题
7. 解不等式：$ \frac{x + 1}{3} - 1 ≤ \frac{2 - x}{2} $，并把它的解集在数轴上表示出来。
7. 解不等式：$ \frac{x + 1}{3} - 1 ≤ \frac{2 - x}{2} $，并把它的解集在数轴上表示出来。
答案
$ \frac{x + 1}{3} - 1 ≤ \frac{2 - x}{2} $
两边同乘以6（3和2的最小公倍数）：
$ 6 ( \frac{x + 1}{3} - 1 ) ≤ 6 ( \frac{2 - x}{2} ) $
展开并简化：
$ 2(x + 1) - 6 ≤ 3(2 - x) $
$ 2x + 2 - 6 ≤ 6 - 3x $
$ 2x - 4 ≤ 6 - 3x $
将所有x项移到一边，常数项移到另一边：
$ 2x + 3x ≤ 6 + 4 $
$ 5x ≤ 10 $
解得：
$ x ≤ 2 $
在数轴上表示解集：
