1. 证明命题“一个奇数和一个偶数相加的和是奇数”，下列步骤正确的是()

A.设 $ a = 3,5,7,···,b = 4,6,8,··· $
B.设 $ a = 2k,b = 4k $($ k $ 是整数)
C.设 $ a = 2k,b = 2k + 1 $($ k $ 是整数)
D.设 $ a = 2m,b = 2n + 1 $($ m,n $ 是整数)

D

要证明一个奇数和一个偶数相加的和是奇数，需先正确表示奇数和偶数。偶数可表示为2m（m是整数），奇数可表示为2n+1（n是整数）。选项A用具体数字举例不具一般性；选项B中b=4k是偶数，但不能代表所有奇数；选项C中a和b都用k表示，可能导致两者相关，不具普遍性；选项D设a=2m（偶数），b=2n+1（奇数），m,n是整数，符合要求。

2. 如果已知“长方形的对角线互相平分”，那么可以由此得到的结论是(填序号)：① 任意画一个长方形，对角线一定互相平分；② 有某些(不是全部)长方形的对角线互相平分；③ 正方形的对角线互相平分；④ 平行四边形的对角线互相平分；⑤ 长方形的四条边不一定相等。

①③

已知“长方形的对角线互相平分”，这是长方形的性质，具有普遍性。①任意画一个长方形，对角线一定互相平分，符合性质；②“某些”表述错误，应为所有；③正方形是特殊的长方形，所以正方形对角线互相平分，正确；④平行四边形对角线互相平分是平行四边形的性质，不能由长方形的该性质得出；⑤长方形四条边不一定相等是长方形的性质，但与对角线互相平分无关。综上，①③正确。

3. 如图，$ BD $ 平分 $ ∠ ABC $，点 $ F $ 在 $ AB $ 上，点 $ G $ 在 $ AC $ 上，$ FC $ 与 $ BD $ 相交于点 $ H $，$ ∠ 3 + ∠ 4 = 180^{\circ} $，证明：$ ∠ 1 = ∠ 2 $。
证明：$ \because ∠ 3 + ∠ 4 = 180^{\circ} $（已知），$ ∠ FHD = ∠ 4 $（），
$ \therefore ∠ 3 + ∠ FHD = 180^{\circ} $（等量代换）。
$ \therefore FG // BD $（）。
$ \therefore $$ = ∠ ABD $（）。
$ \because BD $ 平分 $ ∠ ABC $，
$ \therefore ∠ ABD = $（）。
$ \therefore ∠ 1 = ∠ 2 $（）。

证明：
$\because ∠ 3 + ∠ 4 = 180°$（已知），$ ∠ FHD = ∠ 4 $（对顶角相等），
$\therefore ∠ 3 + ∠ FHD = 180°$（等量代换）。
$\therefore FG // BD $（同旁内角互补，两直线平行）。
$\therefore ∠ 1 = ∠ ABD $（两直线平行，同位角相等）。
$\because BD $平分$ ∠ ABC$，
$\therefore ∠ ABD = ∠ 2 $（角平分线定义）。
$\therefore ∠ 1 = ∠ 2 $（等量代换）。
故答案为：对顶角相等；同旁内角互补，两直线平行；$∠1$；两直线平行，同位角相等；$∠2$；角平分线定义；等量代换。

4. 小明在计算时发现，把一个两位数个位上的数字和十位上的数字互换位置，它们的差是 $ 9 $ 的倍数，如 $ 31 - 13 = 18 $，$ 52 - 25 = 27 $，$ 73 - 37 = 36 $。请你证明小明的发现是正确的。

设原两位数的十位数字为 $a$，个位数字为 $b$，且 $a$, $b$ 均为整数，且$1≤ a ≤ 9$，$0≤ b ≤ 9$。
原来的两位数可以表示为：$10a + b$。
交换后的两位数可以表示为：$10b + a$。
计算两个数的差：
$(10a + b) - (10b + a) = 10a + b - 10b - a = 9a - 9b = 9(a - b)$。
由于 $a$ 和 $b$ 都是整数，因此 $a - b$ 也是整数。
所以，差 $9(a - b)$ 必然是 9 的倍数。
因此我们证明了小明的发现是正确的。