(教材探究)在数轴上,如果点 $ A $,$ B $ 分别表示互为相反数的两个数,并且这两个点的距离是 $ 5 $,那么这两个点所表示的数分别是多少？

解:因为点A,B分别表示互为相反数的两个数,所以A,B两点在原点异侧.又因为A,B两点之间的距离是5,则5÷2=2.5,所以当点A在原点左侧时,A,B两点所表示的数分别是-2.5和2.5;当点A在原点右侧时,A,B两点所表示的数分别是2.5和-2.5.

【分析】
解题时首先回忆相反数的几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的点分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。已知A、B两点的距离是5，说明两个点到原点的距离之和为5，因此可先求出单个点到原点的距离，再结合两点的位置分情况得到对应的数。
【解析】
因为点A、B分别表示互为相反数的两个数，所以A、B两点在原点异侧，且到原点的距离相等。
又因为A、B两点之间的距离是5，所以每个点到原点的距离为$5÷2=2.5$。
当点A在原点左侧时，A、B两点所表示的数分别是-2.5和2.5；
当点A在原点右侧时，A、B两点所表示的数分别是2.5和-2.5。
【答案】
2.5和-2.5（或-2.5和2.5）
【知识点】
1. 相反数的性质 2. 数轴上两点间的距离
【点评】
本题结合数轴考查相反数的相关性质，解题时需结合几何意义分析，注意分情况讨论两点的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.8

1. 如图所示,在不完整的数轴上,点 $ A $,$ B $ 分别表示数 $ a $,$ b $,且 $ a + b = 0 $。若 $ A $,$ B $ 两点间的距离为 $ 8 $,则点 $ A $ 表示的数为( )


A.$ -4 $
B.$ 4 $
C.$ -8 $
D.$ 8 $

A

【分析】
解题时首先从已知条件$a+b=0$入手，根据相反数的定义可判断$a$、$b$互为相反数，即两点到原点的距离相等；再结合数轴上点A在点B左侧，可确定$a$为负数、$b$为正数；最后根据A、B两点距离为8，可知两点到原点的距离之和为8，即可求出单个点到原点的距离，进而得到点A表示的数。
【解析】
解：
∵ $a+b=0$，
∴ $a$ 和 $b$ 互为相反数，即点A、点B到原点的距离相等，且由数轴上A在B左侧可知$a＜0$，$b＞0$。
∵ A、B两点间的距离为8，
∴ 点A、点B到原点的距离均为 $8÷2=4$，
∵ 点A在原点左侧，表示负数，
∴ 点A表示的数为$-4$。
【答案】
A
【知识点】
相反数的性质；数轴上两点间的距离
【点评】
本题是数轴与相反数性质结合的基础题型，解题核心是熟练掌握互为相反数的两个数和为0、到原点距离相等的特点，结合数轴上点的位置判断数的正负即可快速求解，是数轴相关知识的常见考查形式。
【难度系数】
0.8

2. 如图所示,不完整的数轴上的点 $ A $,$ B $ 分别表示数 $ a $,$ b $,若 $ a + b = -2 $,且点 $ A $ 到点 $ B $ 的距离 $ AB = 6 $,则点 $ A $ 表示的数为______。

-4

【分析】
首先观察数轴可知点B在点A的右侧，根据数轴的性质，右边的数总比左边的数大，因此两点间的距离AB等于点B表示的数减去点A表示的数，即可得到关系式$b-a=6$。结合题目给出的$a+b=-2$，我们得到了关于$a$和$b$的两个等量关系，联立后用代入消元法就能求出点A表示的数$a$的值。
【解析】
解：
∵数轴上点B在点A的右侧，
∴$b＞a$，
∵$AB=6$，
∴$b-a=6$ ①，
又已知$a+b=-2$ ②，
由①得$b=a+6$，将其代入②可得：
$a+(a+6)=-2$
$2a+6=-2$
$2a=-8$
解得$a=-4$
【答案】
-4
【知识点】
数轴两点距离，解二元一次方程组
【点评】
本题结合数轴性质考查两点距离的应用，解题核心是根据点的位置关系列出正确的等量关系，利用方程思想求解未知数，解题时要注意区分数轴上左右点对应数的大小关系，避免列错关系式。
【难度系数】
0.7

3. 如图所示,数轴上从左到右依次有 $ 4 $ 个点 $ A $,$ B $,$ C $,$ D $,其中点 $ C $ 为原点,$ A $,$ D $ 所对应的数分别为 $ -4 $,$ 1 $,$ B $,$ D $ 两点间的距离是 $ 3 $。
(1)在图中标出点 $ B $,$ C $ 的位置,并写出点 $ B $ 对应的数；
(2)若在数轴上另取一点 $ E $,且 $ B $,$ E $ 两点间的距离是 $ 4 $,求点 $ E $ 所对应的数。

(1)如图所示. 点B对应的数是-2.
(2)因为B,E两点间的距离是4,所以当点E在点B的右侧时,点E表示的数为-2+4=2;当点E在点B的左侧时,点E表示的数为-2-4=-6,即点E表示的数是2或-6.

【分析】
(1) 解题时首先明确点C是原点，对应数轴上0的位置，可先标注点C；已知数轴上从左到右依次为A、B、C、D，说明点B在点D左侧，数轴上两点间的距离等于右侧点对应数减去左侧点对应数，已知D对应1，B、D距离为3，因此用1减去3即可得到点B对应的数，再在对应位置标注点B即可。
(2) 求点E对应的数时，由于没有说明点E在点B的左侧还是右侧，需要分两种情况讨论：点E在B右侧时，用B对应的数加距离；点E在B左侧时，用B对应的数减距离，即可得到两个可能的结果。
【解析】
(1) 点C为原点，对应数轴上标注0的位置，直接标注C即可；
已知点D对应的数为1，B、D两点距离为3，且点B在点D左侧，因此点B对应的数为：$1-3=-2$，在数轴上-2的位置标注点B。
(2) 已知点B对应的数是-2，B、E两点间距离为4，分两种情况计算：
① 当点E在点B的右侧时，点E对应的数为：$-2+4=2$；
② 当点E在点B的左侧时，点E对应的数为：$-2-4=-6$。
【答案】
(1) 点C、B标注位置略，点B对应的数是$\boldsymbol{-2}$；
(2) 点E所对应的数是$\boldsymbol{2}$或$\boldsymbol{-6}$。
【知识点】
数轴的认识；数轴上两点距离计算；分类讨论思想
【点评】
本题围绕数轴的基础性质出题，核心是掌握数轴上点的位置和有理数的对应关系，以及两点距离的计算方法，解题时要注意没有明确点的相对位置时，要分情况讨论，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.8

4. 我们知道如果数轴上点 $ A $,$ B $ 分别表示数 $ a $,$ b $,那么点 $ A $,$ B $ 之间的距离 $ AB = |a - b| $。回答下列问题：
(1)若数轴上的点 $ A $ 表示的数为 $ x $,点 $ B $ 表示的数为 $ -1 $,则 $ A $,$ B $ 两点的距离可以表示为______；
(2)若数轴上的点 $ A $ 表示的数为 $ x $,点 $ B $ 表示的数为 $ 3 $,$ A $,$ B $ 两点的距离是 $ 5 $,则 $ x = $______；
(3)已知数轴上 $ A $,$ B $ 两点之间的距离为 $ 1 $,点 $ A $ 到原点的距离为 $ 3 $,则点 $ B $ 表示的数是______。

(1)|x+1|
(2)8或-2
(3)±2或±4

【分析】
本题所有问题均围绕数轴上两点距离公式$AB=|a-b|$展开，解题思路如下：(1)直接将对应数值代入距离公式即可得到表达式；(2)先根据距离为5列出绝对值方程，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，分两种情况求解；(3)先根据点A到原点的距离确定点A的所有可能取值，再分别针对点A的每个取值，结合AB的距离列方程求解，注意分类讨论避免漏解。
【解析】
(1)已知点A表示数$x$，点B表示数$-1$，代入两点距离公式得：
$AB=|x - (-1)|=|x+1|$
(2)根据题意，A、B两点距离为5，可列方程：
$|x - 3|=5$
根据绝对值的性质，绝对值等于5的数为$\pm5$，因此分两种情况：
①$x - 3 = 5$，解得$x=8$；②$x - 3 = -5$，解得$x=-2$
所以$x$的值为8或-2。
(3)首先，点A到原点的距离为3，因此点A表示的数满足$|a|=3$，即$a=3$或$a=-3$：
①当点A表示的数为3时，$AB=1$，即$|3 - b|=1$，解得$3 - b=\pm1$，所以$b=3-1=2$或$b=3+1=4$；
②当点A表示的数为-3时，$AB=1$，即$|-3 - b|=1$，解得$-3 - b=\pm1$，所以$b=-3-1=-4$或$b=-3+1=-2$；
综上，点B表示的数为$\pm2$或$\pm4$。
【答案】
(1)$|x+1|$；(2)8或-2；(3)$\pm2$或$\pm4$
【知识点】
数轴两点距离公式，绝对值的意义，分类讨论思想
【点评】
本题是数轴与绝对值结合的基础应用题型，核心是灵活运用数轴两点距离的绝对值表示方法，解题时注意涉及绝对值的问题要分情况讨论，避免漏掉可能的解。
【难度系数】
0.7