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6. 如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90° $，点 $ D $ 在线段 $ BC $ 上，且 $ ∠ B = 30° $，$ ∠ ADC = 60° $，$ BC = 3\sqrt{3} $，则 $ BD $ 的长度为 (
A.$ 2\sqrt{3} $
B.$ \sqrt{3} $
C.3
D.$ \dfrac{5}{2} $
A
)A.$ 2\sqrt{3} $
B.$ \sqrt{3} $
C.3
D.$ \dfrac{5}{2} $
答案
6. A
解析
【解析】
设 $ CD = x $。
1. 在 $ \mathrm{Rt}△ADC $ 中，$ ∠C = 90° $，$ ∠ADC = 60° $，则 $ ∠DAC = 30° $，故 $ AD = 2CD = 2x $，由勾股定理得 $ AC = \sqrt{3}x $。
2. 在 $ \mathrm{Rt}△ABC $ 中，$ ∠C = 90° $，$ ∠B = 30° $，则 $ BC = \sqrt{3}AC $，代入 $ AC = \sqrt{3}x $ 得 $ BC = 3x $。
3. 已知 $ BC = 3\sqrt{3} $，则 $ 3x = 3\sqrt{3} $，解得 $ x = \sqrt{3} $。
4. 由 $ ∠ADC = 60° $，$ ∠B = 30° $，得 $ ∠DAB = ∠ADC - ∠B = 30° $，故 $ ∠DAB = ∠B $，所以 $ BD = AD = 2x = 2\sqrt{3} $。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形性质，等腰三角形判定，勾股定理
【点评】
本题考查直角三角形与等腰三角形的综合应用，需结合特殊角度的直角三角形边的关系、角度推导等腰三角形，进而求解线段长度，考验对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
设 $ CD = x $。
1. 在 $ \mathrm{Rt}△ADC $ 中，$ ∠C = 90° $，$ ∠ADC = 60° $，则 $ ∠DAC = 30° $，故 $ AD = 2CD = 2x $，由勾股定理得 $ AC = \sqrt{3}x $。
2. 在 $ \mathrm{Rt}△ABC $ 中，$ ∠C = 90° $，$ ∠B = 30° $，则 $ BC = \sqrt{3}AC $，代入 $ AC = \sqrt{3}x $ 得 $ BC = 3x $。
3. 已知 $ BC = 3\sqrt{3} $，则 $ 3x = 3\sqrt{3} $，解得 $ x = \sqrt{3} $。
4. 由 $ ∠ADC = 60° $，$ ∠B = 30° $，得 $ ∠DAB = ∠ADC - ∠B = 30° $，故 $ ∠DAB = ∠B $，所以 $ BD = AD = 2x = 2\sqrt{3} $。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形性质，等腰三角形判定，勾股定理
【点评】
本题考查直角三角形与等腰三角形的综合应用，需结合特殊角度的直角三角形边的关系、角度推导等腰三角形，进而求解线段长度，考验对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
7. 如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90° $，$ AC = 8 $，$ AB $ 的垂直平分线 $ MN $ 交 $ AC $ 于点 $ D $，连结 $ BD $，若 $ \cos ∠ BDC = \dfrac{3}{5} $，则 $ BC $ 的长是 (
A.$ 2\sqrt{3} $
B.$ 2\sqrt{5} $
C.4
D.4.5
C
)A.$ 2\sqrt{3} $
B.$ 2\sqrt{5} $
C.4
D.4.5
答案
7. C
解析
【解析】
设 $ CD = 3x $，
在 $ \mathrm{Rt}△BCD $ 中，$ \cos∠BDC = \frac{CD}{BD} = \frac{3}{5} $，则 $ BD = 5x $。
由勾股定理得：$ BC = \sqrt{BD^2 - CD^2} = \sqrt{(5x)^2 - (3x)^2} = 4x $。
因为 $ MN $ 是 $ AB $ 的垂直平分线，所以 $ AD = BD = 5x $。
又 $ AC = CD + AD = 3x + 5x = 8x $，已知 $ AC = 8 $，则 $ 8x = 8 $，解得 $ x = 1 $。
所以 $ BC = 4x = 4 $。
【答案】
C
【知识点】
垂直平分线的性质，锐角三角函数定义，勾股定理
【点评】
本题综合考查垂直平分线的性质、锐角三角函数定义及勾股定理的应用，通过设未知数建立方程求解，需要学生具备一定的综合运用知识的能力。
【难度系数】
0.6
设 $ CD = 3x $，
在 $ \mathrm{Rt}△BCD $ 中，$ \cos∠BDC = \frac{CD}{BD} = \frac{3}{5} $，则 $ BD = 5x $。
由勾股定理得：$ BC = \sqrt{BD^2 - CD^2} = \sqrt{(5x)^2 - (3x)^2} = 4x $。
因为 $ MN $ 是 $ AB $ 的垂直平分线，所以 $ AD = BD = 5x $。
又 $ AC = CD + AD = 3x + 5x = 8x $，已知 $ AC = 8 $，则 $ 8x = 8 $，解得 $ x = 1 $。
所以 $ BC = 4x = 4 $。
【答案】
C
【知识点】
垂直平分线的性质，锐角三角函数定义，勾股定理
【点评】
本题综合考查垂直平分线的性质、锐角三角函数定义及勾股定理的应用，通过设未知数建立方程求解，需要学生具备一定的综合运用知识的能力。
【难度系数】
0.6
8. 如图，在锐角三角形 $ ABC $ 中，$ AB = 10 $，$ AC = 2\sqrt{13} $，$ \sin B = \dfrac{3}{5} $.
（1）求 $ \tan B $ 的值；
（2）求线段 $ BC $ 的长.
（1）求 $ \tan B $ 的值；
（2）求线段 $ BC $ 的长.
答案
8. 解：(1)作 $AD ⊥ BC$ 于点 $D$，
$\because AB = 10$，$\sin B = \frac{3}{5}$，
$\therefore AD = 6$．
由勾股定理得 $BD = 8$，
$\therefore \tan B = \frac{AD}{BD} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$．
(2)$\because AC = 2\sqrt{13}$，$AD = 6$，
$\therefore DC = 4$，$\therefore BC = BD + DC = 12$．
$\because AB = 10$，$\sin B = \frac{3}{5}$，
$\therefore AD = 6$．
由勾股定理得 $BD = 8$，
$\therefore \tan B = \frac{AD}{BD} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$．
(2)$\because AC = 2\sqrt{13}$，$AD = 6$，
$\therefore DC = 4$，$\therefore BC = BD + DC = 12$．
解析
【解析】
（1）过点$A$作$AD⊥BC$于点$D$，
$\because AB = 10$，$\sin B = \frac{3}{5}$，根据正弦的定义$\sin B=\frac{AD}{AB}$，可得$AD = AB·\sin B=10×\frac{3}{5}=6$。
由勾股定理得$BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$，
$\therefore \tan B = \frac{AD}{BD} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$。
（2）在$Rt△ ADC$中，$\because AC = 2\sqrt{13}$，$AD = 6$，
由勾股定理得$DC=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{13})^{2}-6^{2}}=\sqrt{52 - 36}=4$，
$\therefore BC = BD + DC = 8 + 4 = 12$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{\tan B = \frac{3}{4}}$；
（2）$\boldsymbol{BC = 12}$
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理
【点评】
本题通过作辅助线构造直角三角形，综合运用锐角三角函数定义与勾股定理求解，辅助线的构造是解题的关键，考查了直角三角形相关知识的应用能力。
【难度系数】
0.6
（1）过点$A$作$AD⊥BC$于点$D$，
$\because AB = 10$，$\sin B = \frac{3}{5}$，根据正弦的定义$\sin B=\frac{AD}{AB}$，可得$AD = AB·\sin B=10×\frac{3}{5}=6$。
由勾股定理得$BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$，
$\therefore \tan B = \frac{AD}{BD} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$。
（2）在$Rt△ ADC$中，$\because AC = 2\sqrt{13}$，$AD = 6$，
由勾股定理得$DC=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{13})^{2}-6^{2}}=\sqrt{52 - 36}=4$，
$\therefore BC = BD + DC = 8 + 4 = 12$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{\tan B = \frac{3}{4}}$；
（2）$\boldsymbol{BC = 12}$
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理
【点评】
本题通过作辅助线构造直角三角形，综合运用锐角三角函数定义与勾股定理求解，辅助线的构造是解题的关键，考查了直角三角形相关知识的应用能力。
【难度系数】
0.6
