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例 1 将分式$\frac{1}{1 - a^{2}}$与分式$\frac{a + 1}{a^{2} - 2a + 1}$通分后，$\frac{a + 1}{a^{2} - 2a + 1}$的分母变为$(1 + a)(1 - a)^{2}$，则$\frac{1}{1 - a^{2}}$的分子变为()
A.$1 - a$
B.$1 + a$
C.$-1 - a$
D.$-1 + a$
A.$1 - a$
B.$1 + a$
C.$-1 - a$
D.$-1 + a$
答案
A
解析
先对分母因式分解：$1 - a^2=(1+a)(1-a)$，$a^2-2a+1=(1-a)^2$，通分的最简公分母为$(1+a)(1-a)^2$。$\frac{1}{1 - a^{2}}$的分母需乘$(1-a)$才能变为最简公分母，根据分式基本性质，分子也乘$(1-a)$，得$1×(1-a)=1-a$。
例 2 通分：$\frac{1}{x^{2} - 4}$和$\frac{1}{4x - 2x^{2}}$.
答案
解：
$x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$
$4x - 2x^2 = -2x(x - 2)$
最简公分母为$2x(x + 2)(x - 2)$
$\frac{1}{x^2 - 4} = \frac{1}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{2x}{2x(x + 2)(x - 2)}$
$\frac{1}{4x - 2x^2} = \frac{1}{-2x(x - 2)} = \frac{-(x + 2)}{2x(x + 2)(x - 2)} = \frac{-x - 2}{2x(x + 2)(x - 2)}$
$x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$
$4x - 2x^2 = -2x(x - 2)$
最简公分母为$2x(x + 2)(x - 2)$
$\frac{1}{x^2 - 4} = \frac{1}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{2x}{2x(x + 2)(x - 2)}$
$\frac{1}{4x - 2x^2} = \frac{1}{-2x(x - 2)} = \frac{-(x + 2)}{2x(x + 2)(x - 2)} = \frac{-x - 2}{2x(x + 2)(x - 2)}$
1. 分式$\frac{3}{2a^{2}b}$与$\frac{a - b}{ab^{2}c}$的最简公分母是()
A.$2a^{2}b^{2}c^{2}$
B.$2a^{2}b^{2}c$
C.$a^{2}b^{2}$
D.$2a^{2}b$
A.$2a^{2}b^{2}c^{2}$
B.$2a^{2}b^{2}c$
C.$a^{2}b^{2}$
D.$2a^{2}b$
答案
B
解析
确定最简公分母的方法：取各分母系数的最小公倍数，相同字母取最高次幂，不同字母连同其指数一起取。分母$2a^{2}b$与$ab^{2}c$的系数最小公倍数是2；字母$a$的最高次幂是$a^2$，$b$的最高次幂是$b^2$，还有单独的字母$c$，因此最简公分母为$2a^{2}b^{2}c$。
2. 分式$\frac{x + 1}{x^{2} - x}$，$\frac{2}{x^{2} - 1}$，$-\frac{x}{x^{2} + 2x + 1}$的最简公分母是()
A.$(x^{2} - x)(x + 1)$
B.$(x^{2} - 1)(x + 1)^{2}$
C.$x(x - 1)(x + 1)^{2}$
D.$x(x + 1)^{2}$
A.$(x^{2} - x)(x + 1)$
B.$(x^{2} - 1)(x + 1)^{2}$
C.$x(x - 1)(x + 1)^{2}$
D.$x(x + 1)^{2}$
答案
C
解析
先对各分母因式分解：
1. $x^2 - x = x(x - 1)$；
2. $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$；
3. $x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$。
取各分母所有因式的最高次幂的乘积，即$x(x - 1)(x + 1)^2$，此为最简公分母。
1. $x^2 - x = x(x - 1)$；
2. $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$；
3. $x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$。
取各分母所有因式的最高次幂的乘积，即$x(x - 1)(x + 1)^2$，此为最简公分母。
二、填空题
3. (1)分式$\frac{1}{2x}$，$\frac{x}{4y^{2}}$的最简公分母是；
(2)分式$\frac{y}{3 - x}$，$\frac{1}{3x + x^{2}}$，$\frac{4}{-x^{2}}$的最简公分母是.
3. (1)分式$\frac{1}{2x}$，$\frac{x}{4y^{2}}$的最简公分母是；
(2)分式$\frac{y}{3 - x}$，$\frac{1}{3x + x^{2}}$，$\frac{4}{-x^{2}}$的最简公分母是.
答案
解：
(1) 分式$\frac{1}{2x}$，$\frac{x}{4y^2}$的分母为$2x$、$4y^2$，
系数2和4的最小公倍数是4，x的最高次幂为$x$，y的最高次幂为$y^2$，
因此最简公分母是$4xy^2$。
(2) 对各分母因式分解：
$3 - x = -(x - 3)$，
$3x + x^2 = x(x + 3)$，
$-x^2 = -x^2$，
系数的最小公倍数是1，x的最高次幂为$x^2$，因式$(x-3)$、$(x+3)$的最高次幂均为1，
因此最简公分母是$x^2(x-3)(x+3)$。
(1) 分式$\frac{1}{2x}$，$\frac{x}{4y^2}$的分母为$2x$、$4y^2$，
系数2和4的最小公倍数是4，x的最高次幂为$x$，y的最高次幂为$y^2$，
因此最简公分母是$4xy^2$。
(2) 对各分母因式分解：
$3 - x = -(x - 3)$，
$3x + x^2 = x(x + 3)$，
$-x^2 = -x^2$，
系数的最小公倍数是1，x的最高次幂为$x^2$，因式$(x-3)$、$(x+3)$的最高次幂均为1，
因此最简公分母是$x^2(x-3)(x+3)$。
4. 分式$\frac{3a}{a^{2} - b^{2}}$的分母经过通分后变成$2(a - b)^{2}(a + b)$，那么分子应变为.
答案
$6a(a - b)$（或$6a^2 - 6ab$）
解析
1. 对原分母因式分解：$a^2 - b^2=(a - b)(a + b)$；
2. 对比通分后的分母$2(a - b)^2(a + b)$，可知分母乘了$2(a - b)$；
3. 根据分式的基本性质，分子也需乘以$2(a - b)$，计算得$3a×2(a - b)=6a(a - b)$。
2. 对比通分后的分母$2(a - b)^2(a + b)$，可知分母乘了$2(a - b)$；
3. 根据分式的基本性质，分子也需乘以$2(a - b)$，计算得$3a×2(a - b)=6a(a - b)$。
