6. 若关于 $ x $ 的不等式组 $ \{ \begin{array} { l } { x ≤ 4, } \\ { x ＞ a } \end{array} $ 有且仅有两个整数解,则 $ a $ 可以取的值为 ( )

A.1
B.$ \sqrt { 2 } $
C.$ \sqrt { 3 } $
D.2

D

不等式组为：
$\begin{cases}x ≤ 4, \\x ＞ a.\end{cases}$
将两个不等式结合，得到不等式组的解集为：$a ＜ x ≤ 4$，
由题意知，该不等式组有且仅有两个整数解，那么在数轴上，这两个整数解必须紧密相邻且满足上述不等式组的条件。
考虑$x ≤ 4$，最大的整数解为4，次大的整数解为3，
为了使整数解只有4和3，需要确保$a$小于3但大于或等于2（如果$a$小于2，则整数解的个数会超过2；如果$a$大于或等于3，则整数解的个数会少于2），即满足：
$2 ≤ a ＜ 3$，
在选项中，只有$\sqrt{3} $（约等于1.732，但在此我们考虑其大于2（实际应理解为$a$可以取的值要满足$2 ≤ a ＜ 3$，而$\sqrt{3} $约等于1.732并不直接满足，但考虑到题目中的选项是具体数值，且$a$可以取到接近但小于3的值，而$\sqrt{3}$约等于1.732是在2之前的最大选项且满足$a＜3$，实际应判断为$a$取值在2附近且小于3，由于选项中没有2到3之间的其他更精确值，且根据题意$a$可以取到2（不包含3），而$\sqrt{3}$经过平方后为3，其值介于2的平方4的根（即2）和3的平方9的根（即3）之间，故$\sqrt{3}$是小于3且大于2的数值的代表（此处为帮助理解，实际直接根据不等式判断即可），在选项中只有它满足条件（因为1和$\sqrt{2}$都小于2，而2本身不满足小于3但题目要求的是开区间，所以2可以取到是因为当$a=2$时，整数解仍然为4和3，满足题目条件），D选项的2是包含在$2 ≤ a ＜ 3$的范围内内的，但题目要选择的是可以取的“值”，且为单选，由于题目询问的是可以取的“值”而非范围，且选项中只有D是明确给出的满足条件的数值（$\sqrt{3}$虽然也小于3，但经过判断其约等于1.732，小于2，不满足$2 ≤ a$的条件，但在此判断逻辑下，我们直接根据不等式得出$a$可以取2附近的数，而D选项给出了2，是满足条件的），而根据题目的选项和常规理解，我们选择最接近且满足条件的数值，即：
经过判断，$a$可以取的值在选项中为D（2），因为当$a=2$时，不等式组的整数解恰好为4和3，满足题目条件。
（上述$\sqrt{3}$的判断过程为帮助理解实际解题中不需要，直接判断$a$的范围后选择D即可）

7. 小明家与公园相距 2.1 km.某天,小明和同学相约去公园游玩,他在距见面时间还有 18 min 时从家出发,每分钟步行 90 m,途中发现自己可能迟到,于是改骑共享单车,速度为 210 m/min.如果小明不迟到,那么至少要骑共享单车多少分钟? 设要骑共享单车 $ x $ min,则列出的不等式是 ()

A.$ 210 x + 90 ( 18 - x ) ≥ 2 100 $
B.$ 90 x + 210 ( 18 - x ) ≤ 2 100 $
C.$ 210 x + 90 ( 18 - x ) ≤ 2.1 $
D.$ 210 x + 90 ( 18 - x ) ＞ 2.1 $

A

首先统一单位，2.1km=2100m。设骑共享单车x分钟，则步行时间为(18 - x)分钟。步行路程为90(18 - x)m，骑行路程为210xm。要不迟到，总路程需不少于2100m，所以不等式为210x + 90(18 - x) ≥ 2100。

8. 已知实数 $ a $, $ b $ 满足 $ a - b + 1 = 0 $, $ 0 ＜ a + b + 1 ＜ 1 $,则下列判断正确的是 ()


A.$ - \frac { 1 } { 2 } ＜ a ＜ 0 $
B.$ \frac { 1 } { 2 } ＜ b ＜ 1 $
C.$ - 2 ＜ 2 a + 4 b ＜ 1 $
D.$ - 1 ＜ 4 a + 2 b ＜ 0 $

C

由$a - b + 1 = 0$得$b = a + 1$。代入$0 ＜ a + b + 1 ＜ 1$，得$0 ＜ a + (a + 1) + 1 ＜ 1$，化简为$0 ＜ 2a + 2 ＜ 1$，解得$-1 ＜ a ＜ -\frac{1}{2}$，故A错误。由$b = a + 1$，$-1 ＜ a ＜ -\frac{1}{2}$得$0 ＜ b ＜ \frac{1}{2}$，故B错误。$2a + 4b = 2a + 4(a + 1) = 6a + 4$，由$-1 ＜ a ＜ -\frac{1}{2}$得$-6 ＜ 6a ＜ -3$，则$-2 ＜ 6a + 4 ＜ 1$，故C正确。$4a + 2b = 4a + 2(a + 1) = 6a + 2$，由$-1 ＜ a ＜ -\frac{1}{2}$得$-6 ＜ 6a ＜ -3$，则$-4 ＜ 6a + 2 ＜ -1$，故D错误。

二、填空题(本题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分)
9. 已知 $ a ＞ b $,请写出一个使不等式 $ a m ＜ b m $ 成立的 $ m $ 的值,这个值可以是.

-1（答案不唯一，只要是负数即可）

10. 若不等式 $ x - \frac { x - 1 } { 2 } ≤ 2 $ 的解都能使不等式 $ 4 x ＜ 2 x + a + 1 $ 成立,则实数 $ a $ 的取值范围是.

解不等式$ x - \frac{x - 1}{2} ≤ 2 $：
两边同乘2得：$ 2x - (x - 1) ≤ 4 $
去括号：$ 2x - x + 1 ≤ 4 $
合并同类项：$ x + 1 ≤ 4 $
解得：$ x ≤ 3 $
解不等式$ 4x ＜ 2x + a + 1 $：
移项：$ 4x - 2x ＜ a + 1 $
合并同类项：$ 2x ＜ a + 1 $
解得：$ x ＜ \frac{a + 1}{2} $
因为$ x ≤ 3 $的解都能使$ x ＜ \frac{a + 1}{2} $成立，所以$ \frac{a + 1}{2} ＞ 3 $
解得：$ a + 1 ＞ 6 $，即$ a ＞ 5 $
$ a ＞ 5 $

11. 若关于 $ x $ 的不等式 $ a ≤ x ≤ a + 1 $ 中每一个 $ x $ 的值,都是不等式 $ 1 ＜ x ＜ 3 $ 的解,则 $ a $ 的取值范围是.

要使不等式 $a ≤ x ≤ a + 1$ 中的每一个 $x$ 都是 $1 ＜ x ＜ 3$ 的解，则区间 $[a, a+1]$ 需完全包含于 $(1, 3)$。
因此，需满足：
1. 左端点 $a ＞ 1$（若 $a ≤ 1$，则 $x=a$ 不满足 $1 ＜ x$）；
2. 右端点 $a + 1 ＜ 3$（若 $a + 1 ≥ 3$，则 $x=a+1$ 不满足 $x ＜ 3$）。
解不等式 $a + 1 ＜ 3$ 得 $a ＜ 2$。
综上，$a$ 的取值范围是 $1 ＜ a ＜ 2$。
$1 ＜ a ＜ 2$

12. 某童装店按每套 80 元的价格购进 40 套童装,然后按标价打九折全部售出.如果要获得不低于 4 000 元的利润,那么每套童装的标价至少是元.

设每套童装的标价为$x$元。
购进童装的总成本为：$80×40 = 3200$（元）
按标价打九折售出，每套售价为$0.9x$元，总售价为：$40×0.9x = 36x$（元）
利润 = 总售价 - 总成本，要获得不低于$4000$元的利润，则：
$36x - 3200 ≥ 4000$
$36x ≥ 4000 + 3200$
$36x ≥ 7200$
$x ≥ 200$
答：每套童装的标价至少是$200$元。