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二、填空题
5. 不等式组 $ \begin{cases}2x - 5 ≤ 0, \\ x - 1 ＞ 0\end{cases}$ 的整数解是 ______ 。
5. 不等式组 $ \begin{cases}2x - 5 ≤ 0, \\ x - 1 ＞ 0\end{cases}$ 的整数解是 ______ 。
答案
解不等式$2x - 5 ≤ 0$，得$x ≤ \frac{5}{2}$；
解不等式$x - 1 ＞ 0$，得$x ＞ 1$；
所以不等式组的解集为$1 ＜ x ≤ \frac{5}{2}$；
则整数解是$2$。
$2$
解不等式$x - 1 ＞ 0$，得$x ＞ 1$；
所以不等式组的解集为$1 ＜ x ≤ \frac{5}{2}$；
则整数解是$2$。
$2$
6. 若关于 $ x $ 的一元一次不等式组 $ \begin{cases}2x - 1 ＜ 3, \\ x - a ＜ 0\end{cases}$ 的解集是 $ x ＜ 2 $，则 $ a $ 的取值范围是 ______ 。
答案
$ \begin{cases}2x - 1 ＜ 3,① \\ x - a ＜ 0.②\end{cases}$
解不等式①：
$2x - 1 ＜ 3$，
$2x ＜ 4$，
$x ＜ 2$。
解不等式②：
$x - a ＜ 0$，
$x ＜ a$。
由于题目给出的不等式组的解集是 $x ＜ 2$，这意味着 $x ＜ 2$ 是不等式组所有解的共同部分。
因此，$a$ 必须满足 $a ≥ 2$，以保证 $x ＜ 2$ 是不等式组的解集。
故答案为：$a ≥ 2$。
解不等式①：
$2x - 1 ＜ 3$，
$2x ＜ 4$，
$x ＜ 2$。
解不等式②：
$x - a ＜ 0$，
$x ＜ a$。
由于题目给出的不等式组的解集是 $x ＜ 2$，这意味着 $x ＜ 2$ 是不等式组所有解的共同部分。
因此，$a$ 必须满足 $a ≥ 2$，以保证 $x ＜ 2$ 是不等式组的解集。
故答案为：$a ≥ 2$。
7. 若关于 $ x $ 的不等式组 $ \begin{cases}4a - x ＞ 0, \\ x + a - 5 ＞ 0\end{cases}$ 无解，则 $ a $ 的取值范围是 ______ 。
答案
解：解不等式组$\begin{cases}4a - x ＞ 0 \\ x + a - 5 ＞ 0\end{cases}$
解第一个不等式：$4a - x ＞ 0$，移项得$-x ＞ -4a$，两边同乘$-1$（不等号变向），得$x ＜ 4a$。
解第二个不等式：$x + a - 5 ＞ 0$，移项得$x ＞ 5 - a$。
因为不等式组无解，所以$5 - a ≥ 4a$。
解$5 - a ≥ 4a$：移项得$5 ≥ 5a$，两边同除以$5$，得$1 ≥ a$，即$a ≤ 1$。
$a ≤ 1$
解第一个不等式：$4a - x ＞ 0$，移项得$-x ＞ -4a$，两边同乘$-1$（不等号变向），得$x ＜ 4a$。
解第二个不等式：$x + a - 5 ＞ 0$，移项得$x ＞ 5 - a$。
因为不等式组无解，所以$5 - a ≥ 4a$。
解$5 - a ≥ 4a$：移项得$5 ≥ 5a$，两边同除以$5$，得$1 ≥ a$，即$a ≤ 1$。
$a ≤ 1$
8. 若关于 $ x $ 的不等式组 $ \begin{cases}2x + 3 ＞ 12, \\ x - a ≤ 0\end{cases}$ 恰有 $ 3 $ 个整数解，则实数 $ a $ 的取值范围是 ______ 。
答案
解：
首先解第一个不等式 $2x + 3 ＞ 12$，移项得 $2x ＞ 9$，进一步得到 $x ＞ \frac{9}{2}$，即 $x ＞ 4.5$。
然后解第二个不等式 $x - a ≤ 0$，得到 $x ≤ a$。
将两个不等式的解集合并，得到不等式组的解集为 $4.5 ＜ x ≤ a$。
由题意知，不等式组恰有3个整数解，即 $x = 5, 6, 7$。
因此，必须有 $a ≥ 7$ 以包含整数解7，同时 $a ＜ 8$ 以排除整数解8。
综上，实数 $a$ 的取值范围是 $7 ≤ a ＜ 8$。
首先解第一个不等式 $2x + 3 ＞ 12$，移项得 $2x ＞ 9$，进一步得到 $x ＞ \frac{9}{2}$，即 $x ＞ 4.5$。
然后解第二个不等式 $x - a ≤ 0$，得到 $x ≤ a$。
将两个不等式的解集合并，得到不等式组的解集为 $4.5 ＜ x ≤ a$。
由题意知，不等式组恰有3个整数解，即 $x = 5, 6, 7$。
因此，必须有 $a ≥ 7$ 以包含整数解7，同时 $a ＜ 8$ 以排除整数解8。
综上，实数 $a$ 的取值范围是 $7 ≤ a ＜ 8$。
三、解答题
9. 已知关于 $ x $ 的不等式 $ \frac{1}{2}x - a ＞ 3 $ 的解集是 $ x ＞ 4 $，求关于 $ x $ 的不等式 $ ax - 2 ＜ -1 $ 的解集。
9. 已知关于 $ x $ 的不等式 $ \frac{1}{2}x - a ＞ 3 $ 的解集是 $ x ＞ 4 $，求关于 $ x $ 的不等式 $ ax - 2 ＜ -1 $ 的解集。
答案
$x ＞ - 1$（这里按题目要求以解集形式呈现答案相关关键信息，若题目是选选项则按规则填ABCD，本题无选项所以按解集表述）
解析
由题意，关于 $x$ 的不等式 $\frac{1}{2}x - a ＞ 3$，移项可得 $\frac{1}{2}x＞ 3 + a$，
两边同时乘以$2$，解得$x＞ 6 + 2a$。
因为关于$x$的不等式$\frac{1}{2}x - a ＞ 3$的解集是$x ＞ 4$，所以$6 + 2a = 4$，
移项可得$2a=4 - 6$，即$2a=-2$，
两边同时除以$2$，解得$a = - 1$。
将$a = - 1$代入不等式$ax - 2 ＜ - 1$，可得$-x - 2 ＜ - 1$，
移项可得$-x＜ - 1 + 2$，即$-x＜ 1$，
两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，解得$x ＞ - 1$。
两边同时乘以$2$，解得$x＞ 6 + 2a$。
因为关于$x$的不等式$\frac{1}{2}x - a ＞ 3$的解集是$x ＞ 4$，所以$6 + 2a = 4$，
移项可得$2a=4 - 6$，即$2a=-2$，
两边同时除以$2$，解得$a = - 1$。
将$a = - 1$代入不等式$ax - 2 ＜ - 1$，可得$-x - 2 ＜ - 1$，
移项可得$-x＜ - 1 + 2$，即$-x＜ 1$，
两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，解得$x ＞ - 1$。
10. 已知方程组 $ \begin{cases} x + y = -9 - m, \\ x - y = 1 + 3m \end{cases} $ 的解满足 $ x $ 为非正数，$ y $ 为负数，求 $ m $ 的取值范围。
答案
$-\frac{5}{2} ＜ m ≤ 4$
解析
解方程组$\begin{cases}x + y = -9 - m \\ x - y = 1 + 3m\end{cases}$，
(1)+(2)得：$2x=2m - 8$，解得$x=m - 4$；
(1)-(2)得：$2y=-4m - 10$，解得$y=-2m - 5$。
由题意得$\begin{cases}m - 4 ≤ 0 \\ -2m - 5 ＜ 0\end{cases}$，
解$m - 4 ≤ 0$得$m ≤ 4$；
解$-2m - 5 ＜ 0$得$-2m ＜ 5$，$m ＞ -\frac{5}{2}$。
综上，$-\frac{5}{2} ＜ m ≤ 4$。
(1)+(2)得：$2x=2m - 8$，解得$x=m - 4$；
(1)-(2)得：$2y=-4m - 10$，解得$y=-2m - 5$。
由题意得$\begin{cases}m - 4 ≤ 0 \\ -2m - 5 ＜ 0\end{cases}$，
解$m - 4 ≤ 0$得$m ≤ 4$；
解$-2m - 5 ＜ 0$得$-2m ＜ 5$，$m ＞ -\frac{5}{2}$。
综上，$-\frac{5}{2} ＜ m ≤ 4$。
