例1 (2024·盐城)如图①，E，F，G，H分别是▱ABCD各边的中点，连接AF，CE交于点M，连接AG，CH交于点N，将四边形AMCN称为▱ABCD的中顶点四边形.
(1)求证：中顶点四边形AMCN为平行四边形；
(2)如图②，连接AC，BD交于点O，可得M，N两点都在BD上，当▱ABCD满足时，中顶点四边形AMCN是菱形；
(3)如图③，矩形AMCN为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形.(不写作法，保留作图痕迹)

分析 (1)根据平行四边形的性质，线段的中点平分线段，推出四边形AECG和四边形AFCH均为平行四边形，进而得到AM//CN，AN//CM即可；
(2)根据菱形的性质结合图形求解即可；
(3)连接AC，作直线MN，交于点O，然后作ND=2ON，MB=2OM，然后连接AB，BC，CD，DA，即可得出点M，N分别为△ABC，△ADC的重心，据此作图即可.

(1) 证明：
∵E，F，G，H是▱ABCD各边中点，
∴AE=CG，且AE//CG（AB//CD），故四边形AECG是平行四边形，∴AG//CE（AN//CM）。
同理，AH=CF，且AH//CF（AD//BC），故四边形AFCH是平行四边形，∴AF//CH（AM//CN）。
∵AN//CM且AM//CN，∴四边形AMCN是平行四边形。
(2) AC⊥BD
(3) 作图步骤：
①连接AC，MN交于点O；
②延长MO至B，使MB=2OM；
③延长NO至D，使ND=2ON；
④连接AB，BC，CD，DA。
（图形痕迹：AC，MN交于O，延长MO得B，延长NO得D，连接四边）