例2 （2024·安徽）如图①，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，点M，N分别在边AD，BC上，且AM=CN，E，F分别是BD与AN，CM的交点.
（1）求证：OE=OF；
（2）连接BM交AC于点H，连接HE，HF.
①如图②，若HE//AB，求证：HF//AD；
②如图③，若▱ABCD为菱形，且MD=2AM，∠EHF=60°，求$\dfrac{AC}{BD}$的值.

分析 （1）由条件可得四边形AMCN是平行四边形，得AN//MC，从而∠NAC=∠MCA，证得△AOE≌△COF即可；
（2）①要证HF//AD，只需证明∠OHF=∠OAD，即证明△OHF∽△OAD，再从条件HE//AB出发证明即可；
②将$\dfrac{AC}{BD}$转化为$\dfrac{OA}{OB}$，由条件可求得OA=2OH，OB=5OE，OH=$\sqrt{3}$OE，则$\dfrac{OA}{OB}=\dfrac{2\sqrt{3}}{5}$.

（1）OE=OF；（2）①HF//AD；②$\frac{2\sqrt{3}}{5}$。

（1）证明：
∵▱ABCD，∴AD//BC，AD=BC，OA=OC。
∵AM=CN，∴AD-AM=BC-CN，即MD=BN，
∴四边形AMCN为平行四边形，∴AN//MC，
∴∠OAE=∠OCF。
在△AOE和△COF中，
$\{\begin{array}{l}∠OAE=∠OCF\\OA=OC\\∠AOE=∠COF\end{array} $，
∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE=OF。
（2）①证明：
∵HE//AB，∴△OHE∽△OAB，∴$\frac{OH}{OA}=\frac{OE}{OB}$。
∵OE=OF，∴$\frac{OH}{OA}=\frac{OF}{OD}$。
又∠HOF=∠AOD，∴△OHF∽△OAD，
∴∠OHF=∠OAD，∴HF//AD。
②解：设AM=a，MD=2a，则AD=3a，CN=a，BN=2a。
∵▱ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD。
由△AMH∽△CBH，得$\frac{AH}{HC}=\frac{AM}{CB}=\frac{1}{3}$，设AH=k，HC=3k，OA=2k，OH=OA-AH=k。
∵AN//MC，OE=OF，设OE=OF=x，∠EHF=60°，HE=HF，△EHF为等边三角形，HE=2x。
在Rt△OEH中，HE²=OH²+OE²，$(2x)^2=k^2+x^2$，得$k=\sqrt{3}x$，OA=2k=2$\sqrt{3}x$。
由△AEM∽△NEB，$\frac{AE}{EN}=\frac{AM}{BN}=\frac{1}{2}$，得E为OB五等分点，OB=5x。
∴$\frac{AC}{BD}=\frac{2OA}{2OB}=\frac{OA}{OB}=\frac{2\sqrt{3}x}{5x}=\frac{2\sqrt{3}}{5}$。