3. 化简$\frac{x^2}{x - 1} + \frac{1}{1 - x}$的结果是()。

A.$x + 1$
B.$x - 1$
C.$x^2 - 1$
D.$\frac{x^2 + 1}{x - 1}$

A

原式$= \frac{x^2}{x - 1} - \frac{1}{x - 1}$ （因为$\frac{1}{1 - x} = - \frac{1}{x - 1}$）
$= \frac{x^2 - 1}{x - 1}$
$= \frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1}$
$= x + 1$

4. 若$\frac{3 - 2x}{x - 1} =\_\_\_\_\_+ \frac{1}{x - 1}$，则上的数是()。

A.$-1$
B.$-2$
C.$-3$
D.任意实数

B

根据题意设空处为$A$，即$\frac{3 - 2x}{x - 1} = A + \frac{1}{x - 1}$，
等式两边同时乘以$x - 1$得：$3 - 2x = A(x - 1) + 1$，
将等式右边展开：$3 - 2x = Ax - A + 1$，
整理得：$3 - 2x = Ax - (A - 1)$，
比较两边对应项的系数，可以得到：$A = -2$，
验证：将$A = -2$代入原式，等式成立。
所以，空处的数为$-2$。

5. 计算：
(1)$\frac{5a + 6b}{3a^2bc} + \frac{3b - 4a}{3ba^2c} - \frac{a + 3b}{3cba^2}$；
(2)$\frac{2x + y}{x - y} - \frac{x + 2y}{x - y}$。

(1) 原式$=\frac{5a + 6b}{3a^2bc} + \frac{3b - 4a}{3a^2bc} - \frac{a + 3b}{3a^2bc}$
$=\frac{(5a + 6b) + (3b - 4a) - (a + 3b)}{3a^2bc}$
$=\frac{5a + 6b + 3b - 4a - a - 3b}{3a^2bc}$
$=\frac{(5a - 4a - a) + (6b + 3b - 3b)}{3a^2bc}$
$=\frac{6b}{3a^2bc}$
$=\frac{2}{a^2c}$
(2) 原式$=\frac{(2x + y) - (x + 2y)}{x - y}$
$=\frac{2x + y - x - 2y}{x - y}$
$=\frac{x - y}{x - y}$
$=1$

6. 计算：$\frac{3m - n}{(m - n)^2} - \frac{m + n}{(n - m)^2} =$()。


A.$\frac{2m + 2n^2}{(m - n)^2}$
B.$\frac{2m}{(m - n)^2}$
C.$\frac{4m}{(m - n)^2}$
D.$\frac{2}{m - n}$

D

因为$(n - m)^2 = (m - n)^2$，所以原式可化为$\frac{3m - n}{(m - n)^2} - \frac{m + n}{(m - n)^2} = \frac{(3m - n) - (m + n)}{(m - n)^2} = \frac{3m - n - m - n}{(m - n)^2} = \frac{2m - 2n}{(m - n)^2} = \frac{2(m - n)}{(m - n)^2} = \frac{2}{m - n}$

7. 【数学应用】随着农业技术的现代化，节水型滴灌得到逐步推广，使用传统的漫灌灌溉$a$亩土地需要用水$20t$，滴灌比漫灌节水$30\%$，滴灌比漫灌平均每亩可以节约用水$t$。($1$亩≈$666.7m^2$)

传统的漫灌灌溉$a$亩土地需要的用水量为$20t$，则漫灌每亩用水量为：$\frac{20}{a}t$，
滴灌比漫灌节水$30\%$，因此滴灌每亩用水量为：$\frac{20}{a} × (1 - 30\%) = \frac{20}{a} × 0.7 = \frac{14}{a}t$，
滴灌比漫灌平均每亩可以节约的用水量为：
$\frac{20}{a} - \frac{14}{a} = \frac{6}{a}t$。
故答案为：$\frac{6}{a}$。

8. 武警官兵某小队接到命令后第一时间赶往相距$30km$的灾区救援。原计划每小时步行$a km$，实际步行速度是原计划的$1.2$倍，那么实际比原计划提前了$h$到达。

原计划到达灾区所需的时间为：$t_{1} = \frac{30}{a}h$，
实际步行速度为原计划的$1.2$倍，即$1.2a km/h$，
所以实际到达灾区所需的时间为：$t_{2} = \frac{30}{1.2a} \ h$，
实际比原计划提前的时间为：
$\Delta t = t_{1} - t_{2}$
$= \frac{30}{a} - \frac{30}{1.2a}$
$= \frac{5}{a} \ (h)$，
故答案为：$\frac{5}{a}$。

9. 先化简，再求值：
(1)$\frac{x^2}{x^2 + 2xy} - \frac{1}{x - 1} ÷ \frac{x + 2y}{x^2 - 2x + 1}$，其中$2x + 4y - 1 = 0$；

(2)$(\frac{3x + y}{x^2 - y^2} + \frac{2x}{y^2 - x^2}) ÷ \frac{2}{x^2y - xy^2}$，其中$y = \sqrt{3 - x} + \sqrt{3x - 9} - 2$。

(1) 2；(2) -3。

(1) 原式$=\frac{x^2}{x(x + 2y)} - \frac{1}{x - 1} · \frac{(x - 1)^2}{x + 2y}$
$=\frac{x}{x + 2y} - \frac{x - 1}{x + 2y}$
$=\frac{x - (x - 1)}{x + 2y}$
$=\frac{1}{x + 2y}$。
由$2x + 4y - 1 = 0$，得$x + 2y = \frac{1}{2}$，代入得$\frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$。
(2) 原式$=(\frac{3x + y}{x^2 - y^2} - \frac{2x}{x^2 - y^2}) ÷ \frac{2}{xy(x - y)}$
$=\frac{x + y}{(x + y)(x - y)} · \frac{xy(x - y)}{2}$
$=\frac{xy}{2}$。
由$\begin{cases}3 - x ≥ 0 \\ 3x - 9 ≥ 0\end{cases}$，得$x = 3$，则$y = 0 + 0 - 2 = -2$。
代入得$\frac{3 × (-2)}{2} = -3$。