【例 1】计算。
(1)$(-3)^{2025}+(-3)^{2026}$。
(2)$9^{2}+11^{2}+9×22$。

解:(1)原式$=(-3)^{2025}×(-3+1)=2×3^{2025}$。
(2)原式$=9^{2}+11^{2}+2×9×11=(9+11)^{2}=20^{2}=400$。

【分析】
第(1)题：观察式子发现两项都含有公因式$(-3)^{2025}$，先提取公因式，再计算括号内的部分，最后根据负数的奇次幂、偶次幂的性质化简结果；
第(2)题：先把$9×22$变形为$2×9×11$，此时式子符合完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$的形式，直接套用公式进行简便计算即可。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(-3)^{2025}+(-3)^{2025}×(-3)\\&=(-3)^{2025}×(1 + (-3))\\&=(-3)^{2025}×(-2)\\&=2×3^{2025}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=9^{2}+11^{2}+2×9×11\\&=(9+11)^{2}\\&=20^{2}\\&=400\end{aligned}$
【答案】
(1)$2×3^{2025}$；(2)$400$
【知识点】
提公因式法、完全平方公式、幂的运算性质
【点评】
这两道题均考查整式的简便运算，解题关键是观察式子结构，通过提取公因式或变形构造公式的形式，将复杂运算转化为简单运算，提升计算效率。
【难度系数】
0.6

【例 2】教材中的探究启发我们：通过用不同的方法计算同一图形的面积，可以探求出计算多项式乘法或分解因式的新途径。例如，选取图 1 中的正方形、长方形硬纸片共 6 张，拼出一个如图 2 所示的长方形，计算它的面积可以得到相应的等式：$a^{2}+3ab+2b^{2}=(a+2b)(a+b)$或$(a+2b)(a+b)=a^{2}+3ab+2b^{2}$。

(1)请根据图 3 写出代数恒等式，并根据所写恒等式计算$(x-2y-3)^{2}$。
(2)若$x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$，$xy+yz+xz=3$，求$x+y+z$的值。
(3)试借助图 1 的硬纸片，利用拼图的方法把二次多项式$3a^{2}+7ab+2b^{2}$分解因式，并把所拼的图形画在虚线方框内。

解:(1)由题意,得$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac$,则$(x-2y-3)^{2}=x^{2}+4y^{2}+9-4xy-6x+12y$。
(2)同(1),得$(x+y+z)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2yz+2xz$。把$x^{2}+y^{2}+z^{2}=3,xy+yz+xz=3$代入,得$(x+y+z)^{2}=3+2×3=9$,所以$x+y+z=\pm 3$。
(3)所拼的图形如下图所示。

$3a^{2}+7ab+2b^{2}=(3a+b)(a+2b)$。

【分析】
1. 对于第(1)问：观察图3，大正方形的边长为$a+b+c$，其面积可表示为$(a+b+c)^2$；同时大正方形可拆分为3个小正方形（面积分别为$a^2$、$b^2$、$c^2$）和6个长方形（面积分别为$ab$、$ac$、$ab$、$bc$、$ac$、$bc$），将这些小图形面积相加得到总面积，从而推导出代数恒等式。再将$x-2y-3$看作$x+(-2y)+(-3)$，代入恒等式展开计算即可。
2. 对于第(2)问：利用第(1)问得到的恒等式$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz$，把已知的$x^2+y^2+z^2=3$，$xy+yz+xz=3$代入式子，先求出$(x+y+z)^2$的值，再通过开平方得到$x+y+z$的值。
3. 对于第(3)问：分析$3a^2+7ab+2b^2$的组成，$3a^2$对应3个边长为$a$的正方形，$7ab$对应7个长为$b$、宽为$a$的长方形，$2b^2$对应2个边长为$b$的正方形，将这些图形拼接成一个大长方形，大长方形的长和宽就是因式分解后的两个因式，从而得到分解结果。
【解析】
(1) 观察图3，大正方形的面积可表示为$(a+b+c)^2$，同时也等于各小图形面积之和：$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$，因此得到代数恒等式：
$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$
将$x-2y-3$转化为$x+(-2y)+(-3)$，代入上述恒等式：
$\begin{aligned}(x-2y-3)^2&=x^2+(-2y)^2+(-3)^2+2· x·(-2y)+2·(-2y)·(-3)+2· x·(-3)\\&=x^2+4y^2+9-4xy+12y-6x\end{aligned}$
(2) 根据(1)中的恒等式，可得$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)$，将$x^2+y^2+z^2=3$，$xy+yz+xz=3$代入：
$(x+y+z)^2=3+2×3=9$
对等式两边开平方，得$x+y+z=\pm3$
(3) 用图1的硬纸片拼图：取3个边长为$a$的正方形，7个长$b$宽$a$的长方形，2个边长为$b$的正方形，拼接成一个长为$3a+b$，宽为$a+2b$的长方形（图形如下）：
因此因式分解得：$3a^2+7ab+2b^2=(3a+b)(a+2b)$
【答案】
(1) 代数恒等式为$\boldsymbol{(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}$，$\boldsymbol{(x-2y-3)^2=x^2+4y^2+9-4xy-6x+12y}$；
(2) $\boldsymbol{x+y+z=\pm3}$；
(3) 拼图如上述所示，$\boldsymbol{3a^2+7ab+2b^2=(3a+b)(a+2b)}$。
【知识点】
1. 完全平方公式推广
2. 因式分解（拼图法）
3. 代数式求值
【点评】
本题通过“数形结合”的思想，利用图形面积的不同表示方法推导代数恒等式，既考察了完全平方公式的拓展应用，又训练了利用拼图进行因式分解的能力，同时需要灵活运用代数式代入求值的方法，综合性较强，有助于加深对代数与几何联系的理解。
【难度系数】
0.6

【例 3】已知$4m+n=40$，$2m-3n=5$，求$(m+2n)^{2}-(3m-n)^{2}$的值。

解:$(m+2n)^{2}-(3m-n)^{2}=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)=(4m+n)(3n-2m)=-(4m+n)(2m-3n)$,当$4m+n=40,2m-3n=5$时,原式$=-40×5=-200$。

【分析】
首先观察所求代数式的形式，它是两个平方的差，符合平方差公式的结构，优先考虑用平方差公式因式分解，将代数式转化为含有已知条件中$4m+n$和$2m-3n$的形式，避免求解方程组得到m、n的值，利用整体代入法简化计算。具体思路为：先对$(m+2n)^2-(3m-n)^2$运用平方差公式分解，再整理分解后的式子，使其与已知条件建立联系，最后代入已知数值计算结果。
【解析】
$\begin{aligned}&(m+2n)^{2}-(3m-n)^{2}\\=&(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)\\=&(4m+n)(3n-2m)\\=&-(4m+n)(2m-3n)\end{aligned}$
当$4m+n=40$，$2m-3n=5$时，代入得：
原式$=-40×5=-200$
【答案】
-200
【知识点】
平方差公式、代数式求值
【点评】
本题考查平方差公式的应用及整体代入思想，通过因式分解将所求代数式转化为含已知条件的形式，无需求解方程组，简化了计算过程，提醒同学们遇到此类问题时优先考虑整体代入法，避免繁琐计算。
【难度系数】
0.6

【变式】已知$2m^{2}-3m=5$，则$4m^{4}-12m^{3}+9m^{2}+1$的值为。

26【解析】因为$2m^{2}-3m=5$,所以$4m^{4}-12m^{3}+9m^{2}+1=(2m^{2}-3m)^{2}+1=5^{2}+1=25+1=26$。

【分析】
首先观察所求代数式的结构，发现前三项$4m^{4}-12m^{3}+9m^{2}$可变形为完全平方形式。已知条件给出$2m^{2}-3m=5$，我们可以将所求式子中的前三项转化为$(2m^{2}-3m)^2$，利用整体代入思想直接代入已知数值计算，避免求解$m$的具体值，简化运算步骤。具体思考流程：先寻找所求式与已知式的关联，通过完全平方公式变形，再整体代入求值。
【解析】
已知$2m^{2}-3m=5$，对所求式子进行变形：
$\begin{aligned}4m^{4}-12m^{3}+9m^{2}+1&=(2m^{2}-3m)^{2}+1\\&=5^{2}+1\\&=25+1\\&=26\end{aligned}$
【答案】
26
【知识点】
完全平方公式，整体代入思想
【点评】
本题重点考查完全平方公式的应用和整体代入的数学思想。通过观察代数式结构，将所求式子转化为含已知条件的形式，无需求解$m$的值即可快速得到结果，既简化了运算，又考查了学生对公式的掌握与灵活运用能力。
【难度系数】
0.7