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三、解答题(共 35 分)
14. (10 分)分解因式。
(1)$x^3 - x$。
(2)$2a^2 - 4a + 2$。
(3)$5x^3 - 10x^2 + 5x$。
(4)$x^2(x - 2) - 16(x - 2)$。
14. (10 分)分解因式。
(1)$x^3 - x$。
(2)$2a^2 - 4a + 2$。
(3)$5x^3 - 10x^2 + 5x$。
(4)$x^2(x - 2) - 16(x - 2)$。
答案
14. 解：(1)原式 $ = x(x^{2} - 1) = x(x + 1)(x - 1) $。
(2)原式 $ = 2(a^{2} - 2a + 1) = 2(a - 1)^{2} $。
(3)原式 $ = 5x(x - 1)^{2} $。
(4)原式 $ = (x - 2)(x - 4)(x + 4) $。
(2)原式 $ = 2(a^{2} - 2a + 1) = 2(a - 1)^{2} $。
(3)原式 $ = 5x(x - 1)^{2} $。
(4)原式 $ = (x - 2)(x - 4)(x + 4) $。
解析
【分析】
分解因式需遵循“先提公因式，再用公式”的步骤，直到因式不能再分解为止。
(1) 观察$x^3 - x$，各项有公因式$x$，先提取公因式得到$x(x^2 - 1)$，$x^2 - 1$符合平方差公式形式，可继续分解；
(2) $2a^2 - 4a + 2$各项公因式为2，提取后得到$2(a^2 - 2a + 1)$，剩余部分是完全平方形式，可进一步分解；
(3) $5x^3 - 10x^2 + 5x$先提取公因式$5x$，得到$5x(x^2 - 2x + 1)$，剩余部分为完全平方，继续分解即可；
(4) $x^2(x - 2) - 16(x - 2)$可把$(x-2)$看作整体提取公因式，得到$(x-2)(x^2 - 16)$，$x^2 - 16$是平方差形式，再分解彻底。
【解析】
(1) 原式$=x(x^2 - 1)$
$=x(x + 1)(x - 1)$；
(2) 原式$=2(a^2 - 2a + 1)$
$=2(a - 1)^2$；
(3) 原式$=5x(x^2 - 2x + 1)$
$=5x(x - 1)^2$；
(4) 原式$=(x - 2)(x^2 - 16)$
$=(x - 2)(x - 4)(x + 4)$。
【答案】
(1)$x(x + 1)(x - 1)$；
(2)$2(a - 1)^2$；
(3)$5x(x - 1)^2$；
(4)$(x - 2)(x - 4)(x + 4)$。
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题是因式分解基础题型，核心是掌握“先提公因式，再用公式”的分解步骤，确保每一个因式都分解到不能再分解。这类题目是因式分解的入门训练，有助于巩固对基本分解方法的理解与应用。
【难度系数】
0.8
分解因式需遵循“先提公因式，再用公式”的步骤，直到因式不能再分解为止。
(1) 观察$x^3 - x$，各项有公因式$x$，先提取公因式得到$x(x^2 - 1)$，$x^2 - 1$符合平方差公式形式，可继续分解；
(2) $2a^2 - 4a + 2$各项公因式为2，提取后得到$2(a^2 - 2a + 1)$，剩余部分是完全平方形式，可进一步分解；
(3) $5x^3 - 10x^2 + 5x$先提取公因式$5x$，得到$5x(x^2 - 2x + 1)$，剩余部分为完全平方，继续分解即可；
(4) $x^2(x - 2) - 16(x - 2)$可把$(x-2)$看作整体提取公因式，得到$(x-2)(x^2 - 16)$，$x^2 - 16$是平方差形式，再分解彻底。
【解析】
(1) 原式$=x(x^2 - 1)$
$=x(x + 1)(x - 1)$；
(2) 原式$=2(a^2 - 2a + 1)$
$=2(a - 1)^2$；
(3) 原式$=5x(x^2 - 2x + 1)$
$=5x(x - 1)^2$；
(4) 原式$=(x - 2)(x^2 - 16)$
$=(x - 2)(x - 4)(x + 4)$。
【答案】
(1)$x(x + 1)(x - 1)$；
(2)$2(a - 1)^2$；
(3)$5x(x - 1)^2$；
(4)$(x - 2)(x - 4)(x + 4)$。
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题是因式分解基础题型，核心是掌握“先提公因式，再用公式”的分解步骤，确保每一个因式都分解到不能再分解。这类题目是因式分解的入门训练，有助于巩固对基本分解方法的理解与应用。
【难度系数】
0.8
15. (12 分)(1)已知$y(2x + 1) - x(2y + 1) = -3$,求$6x^2 + 6y^2 - 12xy$的值。
(2)已知$a^2 - a - 1 = 0$,求$a^3 - 2a + 2025$的值。
(2)已知$a^2 - a - 1 = 0$,求$a^3 - 2a + 2025$的值。
答案
15. 解：(1)由已知得 $ 2xy + y - 2xy - x = - 3 $，
所以 $ x - y = 3 $。
所以 $ 6x^{2} + 6y^{2} - 12xy = 6(x^{2} + y^{2} - 2xy) = 6(x - y)^{2} = 54 $。
(2)因为 $ a^{2} - a - 1 = 0 $，所以 $ a^{2} = a + 1 $。
所以 $ a^{3} - 2a + 2025 = a^{3} - a - a - 1 + 2026 $
$ = a(a^{2} - 1) - (a + 1) + 2026 $
$ = a(a + 1 - 1) - a^{2} + 2026 = 2026 $。
所以 $ x - y = 3 $。
所以 $ 6x^{2} + 6y^{2} - 12xy = 6(x^{2} + y^{2} - 2xy) = 6(x - y)^{2} = 54 $。
(2)因为 $ a^{2} - a - 1 = 0 $，所以 $ a^{2} = a + 1 $。
所以 $ a^{3} - 2a + 2025 = a^{3} - a - a - 1 + 2026 $
$ = a(a^{2} - 1) - (a + 1) + 2026 $
$ = a(a + 1 - 1) - a^{2} + 2026 = 2026 $。
解析
【分析】
对于第(1)题，首先需化简已知等式，通过去括号、合并同类项得到x与y的关系式x-y=3；再观察所求代数式，发现可提取公因式并利用完全平方公式因式分解，转化为含(x-y)²的形式，最后代入x-y的值计算即可。
对于第(2)题，已知条件无法直接求出a的值，因此采用降次思想，由a² - a - 1=0得到a²=a+1，将高次幂a³转化为a·a²，再代入a²=a+1进行降次，逐步化简所求式子，最终整体代入计算结果。
【解析】
(1) 化简已知等式：
$\begin{aligned}y(2x + 1) - x(2y + 1) &= -3\\2xy + y - 2xy - x &= -3\\y - x &= -3\\x - y &= 3\end{aligned}$
化简所求代数式并代入计算：
$\begin{aligned}6x^2 + 6y^2 - 12xy &= 6(x^2 + y^2 - 2xy)\\&= 6(x - y)^2\\&= 6×3^2\\&= 6×9\\&= 54\end{aligned}$
(2) 由$a^2 - a - 1 = 0$，得$a^2 = a + 1$，对$a^3 - 2a + 2025$降次化简：
$\begin{aligned}a^3 - 2a + 2025 &= a· a^2 - 2a + 2025\\&= a(a + 1) - 2a + 2025\\&= a^2 + a - 2a + 2025\\&= a^2 - a + 2025\end{aligned}$
因为$a^2 - a = 1$，代入得：
$1 + 2025 = 2026$
【答案】
(1) $\boldsymbol{54}$；(2) $\boldsymbol{2026}$
【知识点】
1. 完全平方公式因式分解
2. 代数式降次求值
3. 整体代入思想
【点评】
本题考查代数式化简求值的综合应用，第(1)题核心是通过因式分解实现式子的转化，第(2)题重点运用降次思想将高次幂转化为低次幂，两道题均体现了整体代入思想在代数运算中的重要性，有助于提升学生的代数变形能力。
【难度系数】
0.6
对于第(1)题，首先需化简已知等式，通过去括号、合并同类项得到x与y的关系式x-y=3；再观察所求代数式，发现可提取公因式并利用完全平方公式因式分解，转化为含(x-y)²的形式，最后代入x-y的值计算即可。
对于第(2)题，已知条件无法直接求出a的值，因此采用降次思想，由a² - a - 1=0得到a²=a+1，将高次幂a³转化为a·a²，再代入a²=a+1进行降次，逐步化简所求式子，最终整体代入计算结果。
【解析】
(1) 化简已知等式：
$\begin{aligned}y(2x + 1) - x(2y + 1) &= -3\\2xy + y - 2xy - x &= -3\\y - x &= -3\\x - y &= 3\end{aligned}$
化简所求代数式并代入计算：
$\begin{aligned}6x^2 + 6y^2 - 12xy &= 6(x^2 + y^2 - 2xy)\\&= 6(x - y)^2\\&= 6×3^2\\&= 6×9\\&= 54\end{aligned}$
(2) 由$a^2 - a - 1 = 0$，得$a^2 = a + 1$，对$a^3 - 2a + 2025$降次化简：
$\begin{aligned}a^3 - 2a + 2025 &= a· a^2 - 2a + 2025\\&= a(a + 1) - 2a + 2025\\&= a^2 + a - 2a + 2025\\&= a^2 - a + 2025\end{aligned}$
因为$a^2 - a = 1$，代入得：
$1 + 2025 = 2026$
【答案】
(1) $\boldsymbol{54}$；(2) $\boldsymbol{2026}$
【知识点】
1. 完全平方公式因式分解
2. 代数式降次求值
3. 整体代入思想
【点评】
本题考查代数式化简求值的综合应用，第(1)题核心是通过因式分解实现式子的转化，第(2)题重点运用降次思想将高次幂转化为低次幂，两道题均体现了整体代入思想在代数运算中的重要性，有助于提升学生的代数变形能力。
【难度系数】
0.6
16. (13 分)阅读理解:
对于二次三项式$x^2 + 2ax + a^2$,能直接用公式法进行因式分解,得到$x^2 + 2ax + a^2 = (x + a)^2$,但对于二次三项式$x^2 + 2ax - 8a^2$,就不能直接用公式法了。
我们可以采用这样的方法:在二次三项式$x^2 + 2ax - 8a^2$中先加上一项$a^2$,使其成为完全平方式,再减去$a^2$这项,使整个式子的值不变,于是:
$x^2 + 2ax - 8a^2$
$= x^2 + 2ax - 8a^2 + a^2 - a^2$
$= x^2 + 2ax + a^2 - 8a^2 - a^2$
$= (x^2 + 2ax + a^2) - (8a^2 + a^2)$
$= (x + a)^2 - 9a^2$
$= (x + a + 3a)(x + a - 3a)$
$= (x + 4a)(x - 2a)$。
像这样把二次三项式分解因式的方法叫作添(拆)项法。
(1)问题解决:请用上述方法将二次三项式$x^2 + 2ax - 3a^2$分解因式。
(2)拓展应用:二次三项式$x^2 - 4x + 5$有最小值或最大值吗? 如果有,请你求出来并说明理由。
对于二次三项式$x^2 + 2ax + a^2$,能直接用公式法进行因式分解,得到$x^2 + 2ax + a^2 = (x + a)^2$,但对于二次三项式$x^2 + 2ax - 8a^2$,就不能直接用公式法了。
我们可以采用这样的方法:在二次三项式$x^2 + 2ax - 8a^2$中先加上一项$a^2$,使其成为完全平方式,再减去$a^2$这项,使整个式子的值不变,于是:
$x^2 + 2ax - 8a^2$
$= x^2 + 2ax - 8a^2 + a^2 - a^2$
$= x^2 + 2ax + a^2 - 8a^2 - a^2$
$= (x^2 + 2ax + a^2) - (8a^2 + a^2)$
$= (x + a)^2 - 9a^2$
$= (x + a + 3a)(x + a - 3a)$
$= (x + 4a)(x - 2a)$。
像这样把二次三项式分解因式的方法叫作添(拆)项法。
(1)问题解决:请用上述方法将二次三项式$x^2 + 2ax - 3a^2$分解因式。
(2)拓展应用:二次三项式$x^2 - 4x + 5$有最小值或最大值吗? 如果有,请你求出来并说明理由。
答案
16. 解：(1)$ x^{2} + 2ax - 3a^{2} $
$ = x^{2} + 2ax - 3a^{2} + a^{2} - a^{2} $
$ = x^{2} + 2ax + a^{2} - 3a^{2} - a^{2} $
$ = (x + a)^{2} - 4a^{2} $
$ = (x + a)^{2} - (2a)^{2} $
$ = (x + a + 2a)(x + a - 2a) $
$ = (x + 3a)(x - a) $。
(2)有最小值。理由如下：
$ x^{2} - 4x + 5 = x^{2} - 4x + 4 + 1 = (x - 2)^{2} + 1 $。
因为 $ (x - 2)^{2} ≥ 0 $，所以 $ (x - 2)^{2} + 1 ≥ 1 $，
所以二次三项式 $ x^{2} - 4x + 5 $ 有最小值，最小值为 1。
$ = x^{2} + 2ax - 3a^{2} + a^{2} - a^{2} $
$ = x^{2} + 2ax + a^{2} - 3a^{2} - a^{2} $
$ = (x + a)^{2} - 4a^{2} $
$ = (x + a)^{2} - (2a)^{2} $
$ = (x + a + 2a)(x + a - 2a) $
$ = (x + 3a)(x - a) $。
(2)有最小值。理由如下：
$ x^{2} - 4x + 5 = x^{2} - 4x + 4 + 1 = (x - 2)^{2} + 1 $。
因为 $ (x - 2)^{2} ≥ 0 $，所以 $ (x - 2)^{2} + 1 ≥ 1 $，
所以二次三项式 $ x^{2} - 4x + 5 $ 有最小值，最小值为 1。
解析
【分析】
（1）第一问可模仿题目给出的添项法思路：先在二次三项式中添加合适的项凑成完全平方式，再减去该项保证式子值不变，将式子转化为“完全平方-平方”的形式，最后利用平方差公式完成因式分解。具体来看，$x^2 + 2ax$可凑成$(x+a)^2$，所以添加$a^2$再减去$a^2$即可实现转化。
（2）第二问判断二次三项式的最值，可采用配方法将式子转化为“完全平方+常数”的形式，利用完全平方的非负性，即平方数大于等于0，来判断式子的最值情况，进而求出具体的最值。
【解析】
(1) $x^{2} + 2ax - 3a^{2} $
$ = x^{2} + 2ax - 3a^{2} + a^{2} - a^{2} $
$ = x^{2} + 2ax + a^{2} - 3a^{2} - a^{2} $
$ = (x + a)^{2} - 4a^{2} $
$ = (x + a)^{2} - (2a)^{2} $
$ = (x + a + 2a)(x + a - 2a) $
$ = (x + 3a)(x - a) $。
(2) 有最小值。理由如下：
$ x^{2} - 4x + 5 = x^{2} - 4x + 4 + 1 = (x - 2)^{2} + 1 $。
因为 $ (x - 2)^{2} ≥ 0 $，所以 $ (x - 2)^{2} + 1 ≥ 1 $，
所以二次三项式 $ x^{2} - 4x + 5 $ 有最小值，最小值为 1。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(x + 3a)(x - a)}$；(2) 有最小值，最小值为$\boldsymbol{1}$。
【知识点】
添项法因式分解、配方法求最值、平方差公式
【点评】
本题以阅读理解形式引入新方法，既考查了学生对新方法的理解与迁移应用能力，又巩固了配方法、平方差公式的运用，要求学生熟练掌握完全平方公式和平方差公式的结构特征，提升代数变形与分析问题的能力。
【难度系数】
0.6
（1）第一问可模仿题目给出的添项法思路：先在二次三项式中添加合适的项凑成完全平方式，再减去该项保证式子值不变，将式子转化为“完全平方-平方”的形式，最后利用平方差公式完成因式分解。具体来看，$x^2 + 2ax$可凑成$(x+a)^2$，所以添加$a^2$再减去$a^2$即可实现转化。
（2）第二问判断二次三项式的最值，可采用配方法将式子转化为“完全平方+常数”的形式，利用完全平方的非负性，即平方数大于等于0，来判断式子的最值情况，进而求出具体的最值。
【解析】
(1) $x^{2} + 2ax - 3a^{2} $
$ = x^{2} + 2ax - 3a^{2} + a^{2} - a^{2} $
$ = x^{2} + 2ax + a^{2} - 3a^{2} - a^{2} $
$ = (x + a)^{2} - 4a^{2} $
$ = (x + a)^{2} - (2a)^{2} $
$ = (x + a + 2a)(x + a - 2a) $
$ = (x + 3a)(x - a) $。
(2) 有最小值。理由如下：
$ x^{2} - 4x + 5 = x^{2} - 4x + 4 + 1 = (x - 2)^{2} + 1 $。
因为 $ (x - 2)^{2} ≥ 0 $，所以 $ (x - 2)^{2} + 1 ≥ 1 $，
所以二次三项式 $ x^{2} - 4x + 5 $ 有最小值，最小值为 1。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(x + 3a)(x - a)}$；(2) 有最小值，最小值为$\boldsymbol{1}$。
【知识点】
添项法因式分解、配方法求最值、平方差公式
【点评】
本题以阅读理解形式引入新方法，既考查了学生对新方法的理解与迁移应用能力，又巩固了配方法、平方差公式的运用，要求学生熟练掌握完全平方公式和平方差公式的结构特征，提升代数变形与分析问题的能力。
【难度系数】
0.6
