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1. 下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是(
A.$ m(a - 2) = am - 2m $
B.$ (x + 3)(x - 3) = x^2 - 9 $
C.$ x^2 + 3x - 5 = x(x + 3) - 5 $
D.$ 4x^2 - 1 = (2x + 1)(2x - 1) $
D
)A.$ m(a - 2) = am - 2m $
B.$ (x + 3)(x - 3) = x^2 - 9 $
C.$ x^2 + 3x - 5 = x(x + 3) - 5 $
D.$ 4x^2 - 1 = (2x + 1)(2x - 1) $
答案
1. D
解析
【分析】
要判断等式变形是否属于因式分解，首先需明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，核心是看变形后是否为“几个整式的乘积形式”。接下来逐个分析选项：
1. 选项A和B都是从整式的乘积形式转化为多项式，属于整式乘法，与因式分解的变形方向相反；
2. 选项C的右边是多项式与常数的差，不是整式的乘积形式，不符合定义；
3. 选项D是把多项式转化成了两个整式的乘积，符合因式分解的定义。
【解析】
根据因式分解的定义，对各选项逐一分析：
选项A：$ m(a - 2) = am - 2m $，是将整式的积展开为多项式，属于整式乘法，不是因式分解；
选项B：$ (x + 3)(x - 3) = x^2 - 9 $，是利用平方差公式进行整式乘法运算，将积转化为多项式，不属于因式分解；
选项C：$ x^2 + 3x - 5 = x(x + 3) - 5 $，右边是$ x(x + 3) $与$-5$的差，不是几个整式的乘积形式，不符合因式分解的定义；
选项D：$ 4x^2 - 1 = (2x + 1)(2x - 1) $，将多项式$ 4x^2 - 1 $转化为两个整式$(2x+1)$和$(2x-1)$的乘积形式，符合因式分解的定义。
因此，属于因式分解的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题主要考查对因式分解定义的理解，解题的关键是区分因式分解与整式乘法：因式分解是“和差化积”，整式乘法是“积化和差”，需准确把握两者的变形方向。
【难度系数】
0.8
要判断等式变形是否属于因式分解，首先需明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，核心是看变形后是否为“几个整式的乘积形式”。接下来逐个分析选项：
1. 选项A和B都是从整式的乘积形式转化为多项式，属于整式乘法，与因式分解的变形方向相反；
2. 选项C的右边是多项式与常数的差，不是整式的乘积形式，不符合定义；
3. 选项D是把多项式转化成了两个整式的乘积，符合因式分解的定义。
【解析】
根据因式分解的定义，对各选项逐一分析：
选项A：$ m(a - 2) = am - 2m $，是将整式的积展开为多项式，属于整式乘法，不是因式分解；
选项B：$ (x + 3)(x - 3) = x^2 - 9 $，是利用平方差公式进行整式乘法运算，将积转化为多项式，不属于因式分解；
选项C：$ x^2 + 3x - 5 = x(x + 3) - 5 $，右边是$ x(x + 3) $与$-5$的差，不是几个整式的乘积形式，不符合因式分解的定义；
选项D：$ 4x^2 - 1 = (2x + 1)(2x - 1) $，将多项式$ 4x^2 - 1 $转化为两个整式$(2x+1)$和$(2x-1)$的乘积形式，符合因式分解的定义。
因此，属于因式分解的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题主要考查对因式分解定义的理解，解题的关键是区分因式分解与整式乘法：因式分解是“和差化积”，整式乘法是“积化和差”，需准确把握两者的变形方向。
【难度系数】
0.8
2. 下列各式中,不能用平方差公式分解因式的是(
A.$ y^2 - 49x^2 $
B.$ -\frac{1}{49} - x^4 $
C.$ \frac{1}{4}(p + q)^2 - 9 $
D.$ -m^4 + n^2 $
B
)A.$ y^2 - 49x^2 $
B.$ -\frac{1}{49} - x^4 $
C.$ \frac{1}{4}(p + q)^2 - 9 $
D.$ -m^4 + n^2 $
答案
2. B
解析
【分析】
要判断哪个式子不能用平方差公式分解因式，首先需明确平方差公式分解因式的核心条件：多项式必须能转化为两个数（或整式）的平方的差的形式，即$a^2 - b^2$（其中$a$、$b$可为单项式、多项式或常数）。接下来逐个分析选项：
1. 选项A中，$49x^2$可转化为$(7x)^2$，式子变为$y^2 - (7x)^2$，符合平方差形式；
2. 选项B中，式子变形为$-(\frac{1}{49} + x^4)$，是两个平方项的和，不满足“差”的要求；
3. 选项C中，$\frac{1}{4}(p+q)^2$可写成$[\frac{1}{2}(p+q)]^2$，9是$3^2$，式子符合$a^2 - b^2$的形式；
4. 选项D中，可变形为$n^2 - (m^2)^2$，同样是两个平方项的差，符合条件。
综上，只有选项B不符合平方差公式的使用条件。
【解析】
平方差公式分解因式的形式为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，需满足多项式为两个平方项的差：
选项A：$y^2 - 49x^2 = y^2 - (7x)^2$，符合$a^2 - b^2$的形式，能用平方差公式分解；
选项B：$-\frac{1}{49} - x^4 = -(\frac{1}{7^2} + x^4)$，是两个平方项的和，不符合平方差公式的形式，不能用平方差公式分解；
选项C：$\frac{1}{4}(p + q)^2 - 9 = [\frac{1}{2}(p+q)]^2 - 3^2$，符合$a^2 - b^2$的形式，能用平方差公式分解；
选项D：$-m^4 + n^2 = n^2 - (m^2)^2$，符合$a^2 - b^2$的形式，能用平方差公式分解。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式分解因式
【点评】
本题主要考查对平方差公式结构特征的理解与应用，解题关键是准确识别式子是否为两个平方项的差，同时要注意对式子进行适当的变形（如符号调整、幂的转化）来判断是否符合公式形式，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
要判断哪个式子不能用平方差公式分解因式，首先需明确平方差公式分解因式的核心条件：多项式必须能转化为两个数（或整式）的平方的差的形式，即$a^2 - b^2$（其中$a$、$b$可为单项式、多项式或常数）。接下来逐个分析选项：
1. 选项A中，$49x^2$可转化为$(7x)^2$，式子变为$y^2 - (7x)^2$，符合平方差形式；
2. 选项B中，式子变形为$-(\frac{1}{49} + x^4)$，是两个平方项的和，不满足“差”的要求；
3. 选项C中，$\frac{1}{4}(p+q)^2$可写成$[\frac{1}{2}(p+q)]^2$，9是$3^2$，式子符合$a^2 - b^2$的形式；
4. 选项D中，可变形为$n^2 - (m^2)^2$，同样是两个平方项的差，符合条件。
综上，只有选项B不符合平方差公式的使用条件。
【解析】
平方差公式分解因式的形式为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，需满足多项式为两个平方项的差：
选项A：$y^2 - 49x^2 = y^2 - (7x)^2$，符合$a^2 - b^2$的形式，能用平方差公式分解；
选项B：$-\frac{1}{49} - x^4 = -(\frac{1}{7^2} + x^4)$，是两个平方项的和，不符合平方差公式的形式，不能用平方差公式分解；
选项C：$\frac{1}{4}(p + q)^2 - 9 = [\frac{1}{2}(p+q)]^2 - 3^2$，符合$a^2 - b^2$的形式，能用平方差公式分解；
选项D：$-m^4 + n^2 = n^2 - (m^2)^2$，符合$a^2 - b^2$的形式，能用平方差公式分解。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式分解因式
【点评】
本题主要考查对平方差公式结构特征的理解与应用，解题关键是准确识别式子是否为两个平方项的差，同时要注意对式子进行适当的变形（如符号调整、幂的转化）来判断是否符合公式形式，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 下列因式分解中正确的是(
A.$ x^2 + 9 = (x + 3)^2 $
B.$ x^2 + y^2 = (x + y)(x - y) $
C.$ 2a^2 + a - 6 = a(2a + 1) - 6 $
D.$ m^2 + 4m + 4 = (m + 2)^2 $
D
)A.$ x^2 + 9 = (x + 3)^2 $
B.$ x^2 + y^2 = (x + y)(x - y) $
C.$ 2a^2 + a - 6 = a(2a + 1) - 6 $
D.$ m^2 + 4m + 4 = (m + 2)^2 $
答案
3. D
解析
【分析】
要判断每个选项的因式分解是否正确，需紧扣因式分解的定义（把多项式化为几个整式积的形式），同时结合平方差公式、完全平方公式的特征逐一分析：
1. 分析选项A：完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(x+3)^2$展开后为$x^2+6x+9$，与原式$x^2+9$不符，且$x^2+9$是平方和，无法分解，故A错误。
2. 分析选项B：平方差公式适用于平方差形式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，而$x^2+y^2$是平方和，不能用该公式分解，故B错误。
3. 分析选项C：因式分解要求结果是几个整式的积的形式，$a(2a+1)-6$是整式的和差形式，不符合因式分解定义，故C错误。
4. 分析选项D：$m^2+4m+4$符合完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的形式，其中$a=m$，$b=2$，$2ab=4m$，可分解为$(m+2)^2$，符合要求，故D正确。
【解析】
逐一验证各选项：
选项A：$(x+3)^2=x^2+6x+9≠ x^2+9$，且$x^2+9$无法因式分解，A错误；
选项B：$(x+y)(x-y)=x^2-y^2≠ x^2+y^2$，平方和不能用平方差公式分解，B错误；
选项C：$a(2a+1)-6$不是整式积的形式，不符合因式分解的定义，C错误；
选项D：$m^2+4m+4=(m+2)^2$，符合完全平方公式，因式分解正确，D正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解定义、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题主要考查因式分解的概念和常用公式的应用，解题关键是准确掌握因式分解的定义（结果必须是整式积的形式）以及平方差公式、完全平方公式的适用条件，避免混淆公式或错误理解因式分解的要求。
【难度系数】
0.7
要判断每个选项的因式分解是否正确，需紧扣因式分解的定义（把多项式化为几个整式积的形式），同时结合平方差公式、完全平方公式的特征逐一分析：
1. 分析选项A：完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(x+3)^2$展开后为$x^2+6x+9$，与原式$x^2+9$不符，且$x^2+9$是平方和，无法分解，故A错误。
2. 分析选项B：平方差公式适用于平方差形式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，而$x^2+y^2$是平方和，不能用该公式分解，故B错误。
3. 分析选项C：因式分解要求结果是几个整式的积的形式，$a(2a+1)-6$是整式的和差形式，不符合因式分解定义，故C错误。
4. 分析选项D：$m^2+4m+4$符合完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的形式，其中$a=m$，$b=2$，$2ab=4m$，可分解为$(m+2)^2$，符合要求，故D正确。
【解析】
逐一验证各选项：
选项A：$(x+3)^2=x^2+6x+9≠ x^2+9$，且$x^2+9$无法因式分解，A错误；
选项B：$(x+y)(x-y)=x^2-y^2≠ x^2+y^2$，平方和不能用平方差公式分解，B错误；
选项C：$a(2a+1)-6$不是整式积的形式，不符合因式分解的定义，C错误；
选项D：$m^2+4m+4=(m+2)^2$，符合完全平方公式，因式分解正确，D正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解定义、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题主要考查因式分解的概念和常用公式的应用，解题关键是准确掌握因式分解的定义（结果必须是整式积的形式）以及平方差公式、完全平方公式的适用条件，避免混淆公式或错误理解因式分解的要求。
【难度系数】
0.7
4. 将下列多项式分解因式,结果中不含有因式$(a + 1)$的是(
A.$ a^2 - 1 $
B.$ a^2 + a $
C.$ a^2 - 2a + 1 $
D.$ (a + 2)^2 - 2(a + 2) + 1 $
C
)A.$ a^2 - 1 $
B.$ a^2 + a $
C.$ a^2 - 2a + 1 $
D.$ (a + 2)^2 - 2(a + 2) + 1 $
答案
4. C
解析
【分析】
要解决这道题，我们的思路是对每个选项中的多项式进行因式分解，然后检查分解结果是否含有因式$(a + 1)$，从而找出符合要求的选项。具体思考步骤如下：
1. 选项A是平方差形式，可利用平方差公式分解；
2. 选项B的两项有公因式$a$，优先用提公因式法分解；
3. 选项C是完全平方的形式，用完全平方公式分解；
4. 选项D可把$(a + 2)$看作一个整体，再用完全平方公式分解，之后化简判断是否含$(a + 1)$。
通过逐一分解并判断，即可确定不含$(a + 1)$的选项。
【解析】
对各选项分别进行因式分解：
选项A：根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，可得$a^2 - 1=(a + 1)(a - 1)$，含有因式$(a + 1)$；
选项B：提取公因式$a$，可得$a^2 + a=a(a + 1)$，含有因式$(a + 1)$；
选项C：根据完全平方公式$a^2 - 2ab + b^2=(a - b)^2$，可得$a^2 - 2a + 1=(a - 1)^2$，不含因式$(a + 1)$；
选项D：设$x=a + 2$，则原式转化为$x^2 - 2x + 1$，由完全平方公式得$(x - 1)^2$，将$x=a + 2$代回，得$(a + 2 - 1)^2=(a + 1)^2$，含有因式$(a + 1)$。
综上，结果中不含有因式$(a + 1)$的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式因式分解、平方差公式因式分解、提公因式法因式分解
【点评】
本题考查因式分解的基本方法，涵盖提公因式法和公式法，要求学生熟练掌握常见的因式分解公式，通过逐一分解判断的方式解题，注重对基础知识点的应用，有助于巩固因式分解的核心内容。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们的思路是对每个选项中的多项式进行因式分解，然后检查分解结果是否含有因式$(a + 1)$，从而找出符合要求的选项。具体思考步骤如下：
1. 选项A是平方差形式，可利用平方差公式分解；
2. 选项B的两项有公因式$a$，优先用提公因式法分解；
3. 选项C是完全平方的形式，用完全平方公式分解；
4. 选项D可把$(a + 2)$看作一个整体，再用完全平方公式分解，之后化简判断是否含$(a + 1)$。
通过逐一分解并判断，即可确定不含$(a + 1)$的选项。
【解析】
对各选项分别进行因式分解：
选项A：根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，可得$a^2 - 1=(a + 1)(a - 1)$，含有因式$(a + 1)$；
选项B：提取公因式$a$，可得$a^2 + a=a(a + 1)$，含有因式$(a + 1)$；
选项C：根据完全平方公式$a^2 - 2ab + b^2=(a - b)^2$，可得$a^2 - 2a + 1=(a - 1)^2$，不含因式$(a + 1)$；
选项D：设$x=a + 2$，则原式转化为$x^2 - 2x + 1$，由完全平方公式得$(x - 1)^2$，将$x=a + 2$代回，得$(a + 2 - 1)^2=(a + 1)^2$，含有因式$(a + 1)$。
综上，结果中不含有因式$(a + 1)$的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式因式分解、平方差公式因式分解、提公因式法因式分解
【点评】
本题考查因式分解的基本方法，涵盖提公因式法和公式法，要求学生熟练掌握常见的因式分解公式，通过逐一分解判断的方式解题，注重对基础知识点的应用，有助于巩固因式分解的核心内容。
【难度系数】
0.8
5. 化简$-(-2)^{2025} - 2^{2026}$,结果为(
A.$-2$
B.$0$
C.$-2^{2025}$
D.$2^{2025}$
C
)A.$-2$
B.$0$
C.$-2^{2025}$
D.$2^{2025}$
答案
5. C
解析
【分析】
首先要明确负数乘方的符号规律：当底数为负数，指数为奇数时，乘方结果为负；指数为偶数时，结果为正。接下来分两步处理原式：第一步，先计算$-(-2)^{2025}$，利用上述规律得出$(-2)^{2025}=-2^{2025}$，再去括号得到这一项的结果；第二步，将$2^{2026}$转化为$2×2^{2025}$，使两项含有相同因式$2^{2025}$，最后提取公因式合并计算，即可得到化简结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}-(-2)^{2025} - 2^{2026}&=-[(-2)^{2025}] - 2^{2026}\\&=-(-2^{2025}) - 2×2^{2025}&\mathrm{（因为2025是奇数，所以}(-2)^{2025}=-2^{2025}\mathrm{）}\\&=2^{2025} - 2×2^{2025}\\&=2^{2025}×(1 - 2)\\&=2^{2025}×(-1)\\&=-2^{2025}\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
有理数的乘方，合并同类项，符号运算规则
【点评】
本题重点考查有理数乘方的符号运算及同类项的合并技巧，解题关键是准确判断负数奇次幂的符号，并将高次幂转化为与低次幂同底数的形式，便于提取公因式计算，需要学生熟练掌握乘方运算规则，避免符号错误。
【难度系数】
0.6
首先要明确负数乘方的符号规律：当底数为负数，指数为奇数时，乘方结果为负；指数为偶数时，结果为正。接下来分两步处理原式：第一步，先计算$-(-2)^{2025}$，利用上述规律得出$(-2)^{2025}=-2^{2025}$，再去括号得到这一项的结果；第二步，将$2^{2026}$转化为$2×2^{2025}$，使两项含有相同因式$2^{2025}$，最后提取公因式合并计算，即可得到化简结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}-(-2)^{2025} - 2^{2026}&=-[(-2)^{2025}] - 2^{2026}\\&=-(-2^{2025}) - 2×2^{2025}&\mathrm{（因为2025是奇数，所以}(-2)^{2025}=-2^{2025}\mathrm{）}\\&=2^{2025} - 2×2^{2025}\\&=2^{2025}×(1 - 2)\\&=2^{2025}×(-1)\\&=-2^{2025}\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
有理数的乘方，合并同类项，符号运算规则
【点评】
本题重点考查有理数乘方的符号运算及同类项的合并技巧，解题关键是准确判断负数奇次幂的符号，并将高次幂转化为与低次幂同底数的形式，便于提取公因式计算，需要学生熟练掌握乘方运算规则，避免符号错误。
【难度系数】
0.6
6. 已知甲、乙、丙均为含$x$的整式,且其一次项的系数都是正整数.若甲与乙相乘的积为$x^2 - 4$,乙与丙相乘的积为$x^2 - 2x$,则甲与丙相乘的积为(
A.$2x + 2$
B.$x^2 + 2x$
C.$2x - 2$
D.$x^2 - 2x$
B
)A.$2x + 2$
B.$x^2 + 2x$
C.$2x - 2$
D.$x^2 - 2x$
答案
6. B
解析
【分析】
要解决本题，我们可以通过因式分解找到甲、乙、丙的公共因式乙，再分别求出甲和丙，最后计算两者的乘积。具体思路如下：首先对已知的两个乘积式进行因式分解，根据“甲、乙、丙一次项系数均为正整数”的条件确定乙的表达式；接着用甲与乙的积除以乙得到甲，用乙与丙的积除以乙得到丙；最后将甲和丙相乘，得到结果后匹配选项即可。
【解析】
1. 对已知乘积式进行因式分解：
$x^2 - 4$ 利用平方差公式分解，得 $x^2 - 4=(x+2)(x-2)$；
$x^2 - 2x$ 提取公因式 $x$，得 $x^2 - 2x=x(x-2)$。
2. 确定乙的表达式：
因为甲、乙、丙均为含$x$的整式，且一次项系数为正整数，对比两个分解结果，公因式为$x-2$，若乙为$x$，则甲$=\frac{x^2 - 4}{x}=x-\frac{4}{x}$不是整式，不符合条件，故乙$=x-2$。
3. 求出甲和丙：
甲$=\frac{x^2 - 4}{乙}=\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=x+2$（$x≠2$，整式运算中可约去公因式）；
丙$=\frac{x^2 - 2x}{乙}=\frac{x(x-2)}{x-2}=x$（$x≠2$，整式运算中可约去公因式）。
4. 计算甲与丙的乘积：
甲×丙$=(x+2)×x=x^2 + 2x$。
【答案】
B
【知识点】
因式分解，整式乘除运算
【点评】
本题重点考查因式分解的应用及整式的乘除运算，解题关键是通过因式分解确定公共因式乙，需结合整式的定义和一次项系数为正整数的条件排除错误情况，整体逻辑清晰，注重对基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.6
要解决本题，我们可以通过因式分解找到甲、乙、丙的公共因式乙，再分别求出甲和丙，最后计算两者的乘积。具体思路如下：首先对已知的两个乘积式进行因式分解，根据“甲、乙、丙一次项系数均为正整数”的条件确定乙的表达式；接着用甲与乙的积除以乙得到甲，用乙与丙的积除以乙得到丙；最后将甲和丙相乘，得到结果后匹配选项即可。
【解析】
1. 对已知乘积式进行因式分解：
$x^2 - 4$ 利用平方差公式分解，得 $x^2 - 4=(x+2)(x-2)$；
$x^2 - 2x$ 提取公因式 $x$，得 $x^2 - 2x=x(x-2)$。
2. 确定乙的表达式：
因为甲、乙、丙均为含$x$的整式，且一次项系数为正整数，对比两个分解结果，公因式为$x-2$，若乙为$x$，则甲$=\frac{x^2 - 4}{x}=x-\frac{4}{x}$不是整式，不符合条件，故乙$=x-2$。
3. 求出甲和丙：
甲$=\frac{x^2 - 4}{乙}=\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=x+2$（$x≠2$，整式运算中可约去公因式）；
丙$=\frac{x^2 - 2x}{乙}=\frac{x(x-2)}{x-2}=x$（$x≠2$，整式运算中可约去公因式）。
4. 计算甲与丙的乘积：
甲×丙$=(x+2)×x=x^2 + 2x$。
【答案】
B
【知识点】
因式分解，整式乘除运算
【点评】
本题重点考查因式分解的应用及整式的乘除运算，解题关键是通过因式分解确定公共因式乙，需结合整式的定义和一次项系数为正整数的条件排除错误情况，整体逻辑清晰，注重对基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.6
7. 已知$(x + a)(x + b) = x^2 + mx + 24$,其中$a,b$为整数,则整数$m$可能的取值的个数是(
A.$2$
B.$4$
C.$6$
D.$8$
D
)A.$2$
B.$4$
C.$6$
D.$8$
答案
7. D
解析
【分析】
要解决这道题，可按以下思路思考：
1. 先利用多项式乘多项式法则展开等式左边，将其转化为与右边同形式的多项式；
2. 根据两个多项式相等时对应项系数相等的性质，建立a、b、m之间的关系式；
3. 由于a、b是整数，需找出所有乘积为24的整数因数对，计算每对因数的和得到m的所有可能取值，最后统计m的不同取值个数。
【解析】
1. 展开等式左边：
根据多项式乘多项式法则，$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$。
2. 对应系数相等：
已知$(x+a)(x+b)=x^2+mx+24$，对比等式两边多项式的对应项，可得：
$\begin{cases}ab=24\\m=a+b\end{cases}$
3. 枚举整数因数对并计算m：
因为a、b为整数且$ab=24$，列出所有整数因数对及对应m值：
正因数对：$(1,24)$，$m=1+24=25$；$(2,12)$，$m=2+12=14$；$(3,8)$，$m=3+8=11$；$(4,6)$，$m=4+6=10$；
负因数对：$(-1,-24)$，$m=-1+(-24)=-25$；$(-2,-12)$，$m=-2+(-12)=-14$；$(-3,-8)$，$m=-3+(-8)=-11$；$(-4,-6)$，$m=-4+(-6)=-10$。
4. 统计m的不同取值：
m的可能取值为$\pm25,\pm14,\pm11,\pm10$，共8个不同整数。
【答案】
D
【知识点】
多项式乘多项式法则，整数因数分解，多项式相等的条件
【点评】
本题重点考查多项式乘法的应用与整数因数的枚举，解题关键是全面考虑正负因数组合，避免遗漏，培养分类讨论的数学思想，同时强化对多项式相等性质的理解。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，可按以下思路思考：
1. 先利用多项式乘多项式法则展开等式左边，将其转化为与右边同形式的多项式；
2. 根据两个多项式相等时对应项系数相等的性质，建立a、b、m之间的关系式；
3. 由于a、b是整数，需找出所有乘积为24的整数因数对，计算每对因数的和得到m的所有可能取值，最后统计m的不同取值个数。
【解析】
1. 展开等式左边：
根据多项式乘多项式法则，$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$。
2. 对应系数相等：
已知$(x+a)(x+b)=x^2+mx+24$，对比等式两边多项式的对应项，可得：
$\begin{cases}ab=24\\m=a+b\end{cases}$
3. 枚举整数因数对并计算m：
因为a、b为整数且$ab=24$，列出所有整数因数对及对应m值：
正因数对：$(1,24)$，$m=1+24=25$；$(2,12)$，$m=2+12=14$；$(3,8)$，$m=3+8=11$；$(4,6)$，$m=4+6=10$；
负因数对：$(-1,-24)$，$m=-1+(-24)=-25$；$(-2,-12)$，$m=-2+(-12)=-14$；$(-3,-8)$，$m=-3+(-8)=-11$；$(-4,-6)$，$m=-4+(-6)=-10$。
4. 统计m的不同取值：
m的可能取值为$\pm25,\pm14,\pm11,\pm10$，共8个不同整数。
【答案】
D
【知识点】
多项式乘多项式法则，整数因数分解，多项式相等的条件
【点评】
本题重点考查多项式乘法的应用与整数因数的枚举，解题关键是全面考虑正负因数组合，避免遗漏，培养分类讨论的数学思想，同时强化对多项式相等性质的理解。
【难度系数】
0.5
8. 给多项式$x^2 + 1$再添加一项,使其成为一个完全平方式,则下列式子中可添加的有(
①$-2x$;②$2x$;③$-1$;④$-x^2$;⑤$\frac{1}{4}x^4$。
A.$2$个
B.$3$个
C.$4$个
D.$5$个
D
)①$-2x$;②$2x$;③$-1$;④$-x^2$;⑤$\frac{1}{4}x^4$。
A.$2$个
B.$3$个
C.$4$个
D.$5$个
答案
8. D
解析
【分析】
要解决这个问题，需紧扣完全平方式的结构$(a\pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$，分多种情况讨论可添加的项：
1. 若将$x^2$看作$a^2$、$1$看作$b^2$，则需添加中间项$\pm2ab=\pm2x$，对应①和②；
2. 若将$x^2$看作$2ab$、$1$看作$b^2$，可算出$a=\frac{1}{2}x^2$，进而得到需添加的$a^2=\frac{1}{4}x^4$，对应⑤；
3. 还需考虑添加项后多项式变为单项式平方的情况：添加$-1$可得到$x^2=(x)^2$，添加$-x^2$可得到$1=(1)^2$，对应③和④。
综合以上所有情况，五个选项均符合要求，应选D。
【解析】
根据完全平方式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，分情况分析：
1. 当$x^2=a^2$，$1=b^2$时，需添加的项为$\pm2ab=\pm2× x×1=\pm2x$，即①$-2x$、②$2x$符合条件；
2. 当$x^2=2ab$，$1=b^2$时，由$1=b^2$得$b=1$，代入$x^2=2ab$得$a=\frac{1}{2}x^2$，则$a^2=(\frac{1}{2}x^2)^2=\frac{1}{4}x^4$，即⑤符合条件；
3. 考虑添加后为单项式平方的情况：
添加$-1$，原式变为$x^2+1-1=x^2=(x)^2$，是完全平方式，③符合条件；
添加$-x^2$，原式变为$x^2+1-x^2=1=(1)^2$，是完全平方式，④符合条件。
综上，①②③④⑤这5个式子均可添加。
【答案】
D
【知识点】
完全平方式结构，整式变形
【点评】
本题考查完全平方式的灵活应用，需要全面考虑多种情况，既要关注三项式形式的完全平方式，也要注意添加项后转化为单项式平方的特殊情况，容易遗漏后两种情况，解题时需细心严谨。
【难度系数】
0.4
要解决这个问题，需紧扣完全平方式的结构$(a\pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$，分多种情况讨论可添加的项：
1. 若将$x^2$看作$a^2$、$1$看作$b^2$，则需添加中间项$\pm2ab=\pm2x$，对应①和②；
2. 若将$x^2$看作$2ab$、$1$看作$b^2$，可算出$a=\frac{1}{2}x^2$，进而得到需添加的$a^2=\frac{1}{4}x^4$，对应⑤；
3. 还需考虑添加项后多项式变为单项式平方的情况：添加$-1$可得到$x^2=(x)^2$，添加$-x^2$可得到$1=(1)^2$，对应③和④。
综合以上所有情况，五个选项均符合要求，应选D。
【解析】
根据完全平方式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，分情况分析：
1. 当$x^2=a^2$，$1=b^2$时，需添加的项为$\pm2ab=\pm2× x×1=\pm2x$，即①$-2x$、②$2x$符合条件；
2. 当$x^2=2ab$，$1=b^2$时，由$1=b^2$得$b=1$，代入$x^2=2ab$得$a=\frac{1}{2}x^2$，则$a^2=(\frac{1}{2}x^2)^2=\frac{1}{4}x^4$，即⑤符合条件；
3. 考虑添加后为单项式平方的情况：
添加$-1$，原式变为$x^2+1-1=x^2=(x)^2$，是完全平方式，③符合条件；
添加$-x^2$，原式变为$x^2+1-x^2=1=(1)^2$，是完全平方式，④符合条件。
综上，①②③④⑤这5个式子均可添加。
【答案】
D
【知识点】
完全平方式结构，整式变形
【点评】
本题考查完全平方式的灵活应用，需要全面考虑多种情况，既要关注三项式形式的完全平方式，也要注意添加项后转化为单项式平方的特殊情况，容易遗漏后两种情况，解题时需细心严谨。
【难度系数】
0.4
二、填空题(每小题 5 分,共 25 分)
9. 分解因式:$6a - 3ab =$
9. 分解因式:$6a - 3ab =$
$ 3a(2 - b) $
。答案
9. $ 3a(2 - b) $
解析
【分析】
要分解因式$6a - 3ab$，首先考虑提取公因式法。先观察式子中的两项：$6a$和$-3ab$，先找系数的最大公约数，6和3的最大公约数是3；再找相同的字母，两项都含有字母$a$，且$a$的最低次数是1，所以公因式是$3a$。接下来用原式的每一项分别除以公因式，得到对应的另一个因式，最后将公因式和这个因式相乘即可完成分解。
【解析】
第一步：确定公因式。观察$6a$和$-3ab$，系数的最大公约数是3，相同字母为$a$，且$a$的最低次数为1，因此公因式为$3a$。
第二步：提取公因式，将原式的每一项除以公因式：
$6a÷3a=2$，$-3ab÷3a=-b$
第三步：写成公因式与另一个因式相乘的形式：
$6a - 3ab = 3a(2 - b)$
【答案】
$3a(2 - b)$
【知识点】
提取公因式法分解因式
【点评】
本题考查提取公因式法分解因式，属于基础题型，解题关键是准确找出公因式，注意提取公因式后各项的符号变化，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.9
要分解因式$6a - 3ab$，首先考虑提取公因式法。先观察式子中的两项：$6a$和$-3ab$，先找系数的最大公约数，6和3的最大公约数是3；再找相同的字母，两项都含有字母$a$，且$a$的最低次数是1，所以公因式是$3a$。接下来用原式的每一项分别除以公因式，得到对应的另一个因式，最后将公因式和这个因式相乘即可完成分解。
【解析】
第一步：确定公因式。观察$6a$和$-3ab$，系数的最大公约数是3，相同字母为$a$，且$a$的最低次数为1，因此公因式为$3a$。
第二步：提取公因式，将原式的每一项除以公因式：
$6a÷3a=2$，$-3ab÷3a=-b$
第三步：写成公因式与另一个因式相乘的形式：
$6a - 3ab = 3a(2 - b)$
【答案】
$3a(2 - b)$
【知识点】
提取公因式法分解因式
【点评】
本题考查提取公因式法分解因式，属于基础题型，解题关键是准确找出公因式，注意提取公因式后各项的符号变化，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.9
10. 多项式$a(a - b - c) + b(c - a + b) + c(b + c - a)$提出公因式$a - b - c$后,另外一个因式为
$ a - b - c $
。答案
10. $ a - b - c $
解析
【分析】
要解决这个问题，核心思路是将原式中每一项转化为含有公因式$a - b - c$的形式，再提取公因式得到另一个因式。首先观察各项：第一项已直接含公因式$a - b - c$；第二项$b(c - a + b)$可变形为$b[-(a - b - c)]$，因为$c - a + b = -(a - b - c)$；第三项$c(b + c - a)$同理变形为$c[-(a - b - c)]$。变形后提取公因式，剩余部分即为所求因式。
【解析】
$\begin{aligned}&\mathrm{原式}=a(a - b - c) + b(c - a + b) + c(b + c - a)\\&=a(a - b - c) + b[-(a - b - c)] + c[-(a - b - c)]\\&=(a - b - c)(a - b - c)\end{aligned}$
因此，提出公因式$a - b - c$后，另外一个因式为$a - b - c$。
【答案】
$a - b - c$
【知识点】
提公因式法分解因式，多项式符号变形
【点评】
本题重点考查提公因式法的应用，解题关键是准确对多项式进行符号变形，将非标准形式的项转化为含有指定公因式的形式，过程中需注意符号变化，避免因符号处理错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，核心思路是将原式中每一项转化为含有公因式$a - b - c$的形式，再提取公因式得到另一个因式。首先观察各项：第一项已直接含公因式$a - b - c$；第二项$b(c - a + b)$可变形为$b[-(a - b - c)]$，因为$c - a + b = -(a - b - c)$；第三项$c(b + c - a)$同理变形为$c[-(a - b - c)]$。变形后提取公因式，剩余部分即为所求因式。
【解析】
$\begin{aligned}&\mathrm{原式}=a(a - b - c) + b(c - a + b) + c(b + c - a)\\&=a(a - b - c) + b[-(a - b - c)] + c[-(a - b - c)]\\&=(a - b - c)(a - b - c)\end{aligned}$
因此，提出公因式$a - b - c$后，另外一个因式为$a - b - c$。
【答案】
$a - b - c$
【知识点】
提公因式法分解因式，多项式符号变形
【点评】
本题重点考查提公因式法的应用，解题关键是准确对多项式进行符号变形，将非标准形式的项转化为含有指定公因式的形式，过程中需注意符号变化，避免因符号处理错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.6
11. 根据下面的拼图过程,写出一个多项式的因式分解:
$ x^{2} + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4) $
。答案
11. $ x^{2} + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4) $
解析
【分析】
我们可以通过图形面积的两种表示方法推导因式分解：
1. 先计算左侧四个图形的面积：边长为$x$的正方形面积是$x^2$，长$x$宽$2$的长方形面积是$2x$，长$4$宽$x$的长方形面积是$4x$，长$4$宽$2$的长方形面积是$8$；
2. 将四个图形面积相加，化简得到总面积对应的多项式：$x^2 + 2x + 4x + 8 = x^2 + 6x + 8$；
3. 观察右侧大长方形，其长为$(x+4)$，宽为$(x+2)$，面积可表示为$(x+2)(x+4)$；
4. 依据左右两侧总面积相等，即可得到多项式的因式分解式。
【解析】
第一步，计算左侧图形总面积：
$x^2 + 2x + 4x + 8 = x^2 + 6x + 8$
第二步，计算右侧大长方形面积：
右侧长方形的长为$x+4$，宽为$x+2$，面积为$(x+2)(x+4)$
第三步，根据面积相等建立等式：
$x^2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)$
【答案】
$x^{2} + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)$
【知识点】
1. 因式分解（十字相乘法）
2. 长方形（正方形）面积公式
【点评】
本题借助拼图的几何直观，将代数中的因式分解与几何图形面积相结合，体现了数形结合的思想，既帮助理解因式分解的几何意义，也考查了多项式化简与因式分解的基础应用。
【难度系数】
0.8
我们可以通过图形面积的两种表示方法推导因式分解：
1. 先计算左侧四个图形的面积：边长为$x$的正方形面积是$x^2$，长$x$宽$2$的长方形面积是$2x$，长$4$宽$x$的长方形面积是$4x$，长$4$宽$2$的长方形面积是$8$；
2. 将四个图形面积相加，化简得到总面积对应的多项式：$x^2 + 2x + 4x + 8 = x^2 + 6x + 8$；
3. 观察右侧大长方形，其长为$(x+4)$，宽为$(x+2)$，面积可表示为$(x+2)(x+4)$；
4. 依据左右两侧总面积相等，即可得到多项式的因式分解式。
【解析】
第一步，计算左侧图形总面积：
$x^2 + 2x + 4x + 8 = x^2 + 6x + 8$
第二步，计算右侧大长方形面积：
右侧长方形的长为$x+4$，宽为$x+2$，面积为$(x+2)(x+4)$
第三步，根据面积相等建立等式：
$x^2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)$
【答案】
$x^{2} + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)$
【知识点】
1. 因式分解（十字相乘法）
2. 长方形（正方形）面积公式
【点评】
本题借助拼图的几何直观，将代数中的因式分解与几何图形面积相结合，体现了数形结合的思想，既帮助理解因式分解的几何意义，也考查了多项式化简与因式分解的基础应用。
【难度系数】
0.8
12. 若$a + b = 4,a - b = 1$,则$(a + 1)^2 - (b - 1)^2$的值为
12
。答案
12. 12
解析
【分析】
观察所求式子的结构，它是两个平方的差，符合平方差公式的特征，因此优先考虑用平方差公式因式分解，将式子转化为含有已知条件$a+b$和$a-b$的形式，再代入已知值计算，这种方法比先求解$a$、$b$的值再代入更简便。具体步骤为：先把$(a+1)$和$(b-1)$看作平方差公式中的两个整体，展开后化简括号内的式子，得到包含$a+b$和$a-b$的表达式，最后代入已知数值计算结果。
【解析】
$\begin{aligned}(a + 1)^2 - (b - 1)^2&=[(a + 1) + (b - 1)][(a + 1) - (b - 1)]\\&=(a + 1 + b - 1)(a + 1 - b + 1)\\&=(a + b)(a - b + 2)\end{aligned}$
已知$a + b = 4$，$a - b = 1$，代入上式：
$\begin{aligned}&=4×(1 + 2)\\&=4×3\\&=12\end{aligned}$
【答案】
12
【知识点】
平方差公式应用、代数式化简求值
【点评】
本题考查平方差公式的灵活运用，通过因式分解将所求代数式转化为含已知条件的形式，运用整体代入思想简化计算，避免了求解$a$、$b$的繁琐步骤，提升了解题效率，属于基础题型，注重对公式应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
观察所求式子的结构，它是两个平方的差，符合平方差公式的特征，因此优先考虑用平方差公式因式分解，将式子转化为含有已知条件$a+b$和$a-b$的形式，再代入已知值计算，这种方法比先求解$a$、$b$的值再代入更简便。具体步骤为：先把$(a+1)$和$(b-1)$看作平方差公式中的两个整体，展开后化简括号内的式子，得到包含$a+b$和$a-b$的表达式，最后代入已知数值计算结果。
【解析】
$\begin{aligned}(a + 1)^2 - (b - 1)^2&=[(a + 1) + (b - 1)][(a + 1) - (b - 1)]\\&=(a + 1 + b - 1)(a + 1 - b + 1)\\&=(a + b)(a - b + 2)\end{aligned}$
已知$a + b = 4$，$a - b = 1$，代入上式：
$\begin{aligned}&=4×(1 + 2)\\&=4×3\\&=12\end{aligned}$
【答案】
12
【知识点】
平方差公式应用、代数式化简求值
【点评】
本题考查平方差公式的灵活运用，通过因式分解将所求代数式转化为含已知条件的形式，运用整体代入思想简化计算，避免了求解$a$、$b$的繁琐步骤，提升了解题效率，属于基础题型，注重对公式应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
13. 若$m^2 + m - 1 = 0$,则$m^3 + 2m^2 + 2026$的值为
2027
。答案
13. 2027 【解析】因为 $ m^{2} + m - 1 = 0 $，
所以 $ m^{2} + m = 1 $。
所以 $ m^{3} + 2m^{2} + 2026 = m(m^{2} + m) + m^{2} + 2026 $
$ = m + m^{2} + 2026 = 2027 $。
所以 $ m^{2} + m = 1 $。
所以 $ m^{3} + 2m^{2} + 2026 = m(m^{2} + m) + m^{2} + 2026 $
$ = m + m^{2} + 2026 = 2027 $。
解析
【分析】
首先观察题目，已知条件是二次方程，所求式子是三次多项式，直接求解m的值代入计算会比较繁琐，因此考虑用整体代入的思想来简化计算。先从已知等式$m^2 + m - 1 = 0$变形得到$m^2 + m = 1$，再将所求式子中的三次项$m^3$进行降次转化，把$m^3$拆成$m· m^2$，结合$m^2 + m = 1$，将$m^3 + 2m^2$变形为$m(m^2 + m) + m^2$，这样就能利用$m^2 + m = 1$进行整体代入，逐步化简即可求出结果。
【解析】
因为$m^2 + m - 1 = 0$，
所以$m^2 + m = 1$。
对$m^3 + 2m^2 + 2026$进行变形：
$m^3 + 2m^2 + 2026 = m(m^2 + m) + m^2 + 2026$
将$m^2 + m = 1$代入上式：
$= m×1 + m^2 + 2026$
$= m^2 + m + 2026$
再代入$m^2 + m = 1$：
$= 1 + 2026 = 2027$
【答案】
2027
【知识点】
整体代入法、代数式降次、整式变形
【点评】
本题主要考查整体思想在代数式求值中的应用，通过将高次代数式降次转化为已知的低次代数式，避免了直接求解m的复杂运算，既简化了计算过程，又提升了解题效率，需要熟练掌握代数式的变形技巧。
【难度系数】
0.7
首先观察题目，已知条件是二次方程，所求式子是三次多项式，直接求解m的值代入计算会比较繁琐，因此考虑用整体代入的思想来简化计算。先从已知等式$m^2 + m - 1 = 0$变形得到$m^2 + m = 1$，再将所求式子中的三次项$m^3$进行降次转化，把$m^3$拆成$m· m^2$，结合$m^2 + m = 1$，将$m^3 + 2m^2$变形为$m(m^2 + m) + m^2$，这样就能利用$m^2 + m = 1$进行整体代入，逐步化简即可求出结果。
【解析】
因为$m^2 + m - 1 = 0$，
所以$m^2 + m = 1$。
对$m^3 + 2m^2 + 2026$进行变形：
$m^3 + 2m^2 + 2026 = m(m^2 + m) + m^2 + 2026$
将$m^2 + m = 1$代入上式：
$= m×1 + m^2 + 2026$
$= m^2 + m + 2026$
再代入$m^2 + m = 1$：
$= 1 + 2026 = 2027$
【答案】
2027
【知识点】
整体代入法、代数式降次、整式变形
【点评】
本题主要考查整体思想在代数式求值中的应用，通过将高次代数式降次转化为已知的低次代数式，避免了直接求解m的复杂运算，既简化了计算过程，又提升了解题效率，需要熟练掌握代数式的变形技巧。
【难度系数】
0.7
