【知识点1】平行四边形的定义
两组对边分别的四边形叫作平行四边形。平行四边形用“□”表示。
如图21.2-1，在平行四边形ABCD中，∠A=125°，则∠D的度数为。

【知识点1】平行 55°

【解析】
根据平行四边形的定义，两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。
在平行四边形$ABCD$中，$AB// CD$，根据两直线平行，同旁内角互补，可得$∠ A+∠ D = 180°$。
已知$∠ A = 125°$，则$∠ D=180°-∠ A = 180°-125°=55°$。
【答案】
平行；$55°$
【知识点】
平行四边形的定义、平行线的性质
【点评】
本题考查平行四边形的定义及平行线的性质，平行四边形定义是基础，利用平行线性质求角度是重点，整体难度适中，需准确理解和运用相关知识。
【难度系数】
0.6

【知识点2】平行四边形的性质
平行四边形的性质：平行四边形的相等；平行四边形的相等。
平行四边形的对角线。

【知识点2】对边 对角 互相平分

【解析】
本题考查平行四边形的性质，直接根据平行四边形的性质进行填空即可。
平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分。
【答案】
对边；对角；互相平分
【知识点】
平行四边形的性质
【点评】
本题考查平行四边形性质的简单填空，属于基础题。
【难度系数】
0.9

1. 若平行四边形中两个内角的度数比为$1:2$，则其中较大的内角是()

A.$45°$
B.$60°$
C.$90°$
D.$120°$

1. D

【解析】
设平行四边形中两个内角分别为$x$，$2x$。
因为平行四边形邻角互补，所以$x + 2x = 180°$，
$3x = 180°$，
解得$x = 60°$，
则$2x = 120°$，所以较大内角是$120°$。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质、邻角互补、角度计算
【点评】
本题考查平行四边形邻角互补的性质，通过设未知数建立方程求解，思路清晰。
【难度系数】
0.6

2. 在平行四边形$ABCD$中，$AB = 2\ \mathrm{cm}$，$BC = 3\ \mathrm{cm}$，则平行四边形$ABCD$的周长为()

A.$10\ \mathrm{cm}$
B.$8\ \mathrm{cm}$
C.$6\ \mathrm{cm}$
D.$5\ \mathrm{cm}$

2. A

【解析】
因为平行四边形的对边相等，所以$AB = CD = 2\ \mathrm{cm}$，$BC = AD = 3\ \mathrm{cm}$。
平行四边形$ABCD$的周长为$AB + BC + CD + AD = 2 + 3 + 2 + 3 = 10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质、周长计算
【点评】
本题考查平行四边形的性质及周长计算，难度较低，关键是掌握平行四边形对边相等这一性质。
【难度系数】
0.8

3. 如图21.2-2，在平行四边形$ABCD$中，对角线$AC$与$BD$相交于点$O$，则下列结论错误的是()

A. $ AB\overset{//}{=}CD $
B.$OB = OD$
C.$AB = AD$
D.$∠ ABC = ∠ ADC$

3. C

【解析】
- 选项A：根据平行四边形的性质，平行四边形的对边平行且相等，所以$AB\overset{//}{=}CD$，该选项正确。
- 选项B：平行四边形的对角线互相平分，所以$OB = OD$，该选项正确。
- 选项C：平行四边形的邻边不一定相等，即$AB$不一定等于$AD$，该选项错误。
- 选项D：平行四边形的对角相等，所以$∠ ABC=∠ ADC$，该选项正确。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质
【点评】
本题考查平行四边形的性质，需要对平行四边形的对边、对角线、对角的性质有清晰的认识。
【难度系数】
0.8

【例1】如图21.2-3，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$AC ⊥ BC$，$AB = 10$，$BC = 8$，则$OB$的长为()

A.$\sqrt{73}$
B.$6$
C.$7$
D.$\sqrt{58}$

【点拨】根据平行四边形对角线互相平分及勾股定理求解。

【例1】A

【解析】
- 因为$AC⊥BC$，$AB = 10$，$BC = 8$，根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=\sqrt{100 - 64}=\sqrt{36}=6$。
- 由于四边形$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分，所以$OC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6 = 3$。
- 在$Rt△ BOC$中，$BC = 8$，$OC = 3$，再根据勾股定理$OB=\sqrt{BC^{2}+OC^{2}}=\sqrt{8^{2}+3^{2}}=\sqrt{64 + 9}=\sqrt{73}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理、平行四边形的性质
【点评】
本题先利用勾股定理求出$AC$的长度，再根据平行四边形对角线互相平分的性质得到$OC$的长度，最后再次利用勾股定理求出$OB$的长度，考查了对勾股定理和平行四边形性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.3

【例2】如图21.2-4，在平行四边形$EFGH$中，$EM ⊥ FH$，$GN ⊥ FH$，求证：$EM = NG$。
【点拨】由平行四边形的性质得$EF = GH$，$EF // GH$，由$\mathrm{AAS}$可判定$△ EMF ≌ △ GNH$，再由全等三角形的性质即可得证。

【例2】证明：
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴EF=GH，EF//GH，
∴∠EFM=∠GHN.
∵EM⊥FH，GN⊥FH，
∴∠EMF=∠GNH=90°. 在△EMF和△GNH中，
$\begin{cases}∠EFM=∠GHN, \\∠EMF=∠GNH, \\EF=GH,\end{cases}$
∴△EMF≌△GNH（AAS），
∴EM=NG.

【解析】
证明：
∵四边形$EFGH$是平行四边形，
∴$EF = GH$，$EF// GH$，
∴$∠ EFM=∠ GHN$。
∵$EM⊥ FH$，$GN⊥ FH$，
∴$∠ EMF=∠ GNH = 90°$。
在$△ EMF$和$△ GNH$中，
$\begin{cases}∠ EFM=∠ GHN \\ ∠ EMF=∠ GNH \\ EF = GH\end{cases}$
∴$△ EMF≌△ GNH(AAS)$，
∴$EM = NG$。
【答案】
证明：
∵四边形$EFGH$是平行四边形，
∴$EF = GH$，$EF// GH$，
∴$∠ EFM=∠ GHN$。
∵$EM⊥ FH$，$GN⊥ FH$，
∴$∠ EMF=∠ GNH = 90°$。
在$△ EMF$和$△ GNH$中，
$\begin{cases}∠ EFM=∠ GHN \\ ∠ EMF=∠ GNH \\ EF = GH\end{cases}$
∴$△ EMF≌△ GNH(AAS)$，
∴$EM = NG$。
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题通过平行四边形性质得到边和角的关系，再利用全等三角形判定和性质证明线段相等，考查知识综合运用。
【难度系数】
0.6