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7. 一个正$ n $边形的一个外角是$ 60° $，那么$ n = $
6
。答案
7. 6
解析
【解析】
因为多边形的外角和是$360°$，正$n$边形的每个外角都相等。
已知正$n$边形的一个外角是$60°$，则$n = 360÷60 = 6$。
【答案】
$6$
【知识点】
多边形外角和、正多边形性质
【点评】
本题考查多边形外角和与正多边形性质的简单应用，通过外角和除以一个外角的度数得到边数，思路清晰，计算简单。
【难度系数】
$0.8$
因为多边形的外角和是$360°$，正$n$边形的每个外角都相等。
已知正$n$边形的一个外角是$60°$，则$n = 360÷60 = 6$。
【答案】
$6$
【知识点】
多边形外角和、正多边形性质
【点评】
本题考查多边形外角和与正多边形性质的简单应用，通过外角和除以一个外角的度数得到边数，思路清晰，计算简单。
【难度系数】
$0.8$
8. 已知一个多边形的内角和比外角和的2倍少$ 180° $。
（1）求这个多边形的边数。
（2）若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和。
（1）求这个多边形的边数。
（2）若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和。
答案
8. 解: （1）设这个多边形的边数是n，由题意，得$(n - 2)×180° = 360°×2 - 180°$，解得n = 5。答: 这个多边形的边数是5。
（2）
∵截去一个角以后，多边形的边数可能减少了1，也可能不变，或者增加了1。
∴截完后所形成的新多边形的边数可能是4或5或6。
①当多边形为四边形时，其内角和为$(4 - 2)×180° = 360°$；
②当多边形为五边形时，其内角和为$(5 - 2)×180° = 540°$；
③当多边形为六边形时，其内角和为$(6 - 2)×180° = 720°$。
综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为$360°$或$540°$或$720°$。
（2）
∵截去一个角以后，多边形的边数可能减少了1，也可能不变，或者增加了1。
∴截完后所形成的新多边形的边数可能是4或5或6。
①当多边形为四边形时，其内角和为$(4 - 2)×180° = 360°$；
②当多边形为五边形时，其内角和为$(5 - 2)×180° = 540°$；
③当多边形为六边形时，其内角和为$(6 - 2)×180° = 720°$。
综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为$360°$或$540°$或$720°$。
解析
【解析】
（1）设这个多边形的边数是$n$，根据多边形内角和公式$(n - 2)×180°$（$n≥ 3$且$n$为整数）以及多边形外角和为$360°$，由题意可得方程$(n - 2)×180°=360°×2 - 180°$。
$\begin{aligned}(n - 2)×180°&=720°- 180°\\(n - 2)×180°&=540°\\n - 2&=540°÷180°\\n - 2&=3\\n&=3 + 2\\n&=5\end{aligned}$
（2）因为截去一个角以后，多边形的边数可能减少$1$，也可能不变，或者增加$1$。
所以截完后所形成的新多边形的边数可能是$4$或$5$或$6$。
①当多边形为四边形时，根据内角和公式$(n - 2)×180°$，其内角和为$(4 - 2)×180°=360°$；
②当多边形为五边形时，其内角和为$(5 - 2)×180°=540°$；
③当多边形为六边形时，其内角和为$(6 - 2)×180°=720°$。
【答案】
（1）这个多边形的边数是$5$。
（2）截完后所形成的新多边形的内角和为$360°$或$540°$或$720°$。
【知识点】
多边形内角和、多边形外角和、截角后多边形边数变化
【点评】
本题先通过内角和与外角和的关系求出原多边形边数，再根据截角后边数的不同情况求新多边形内角和，考查了对多边形相关知识的综合运用。
【难度系数】
0.6
（1）设这个多边形的边数是$n$，根据多边形内角和公式$(n - 2)×180°$（$n≥ 3$且$n$为整数）以及多边形外角和为$360°$，由题意可得方程$(n - 2)×180°=360°×2 - 180°$。
$\begin{aligned}(n - 2)×180°&=720°- 180°\\(n - 2)×180°&=540°\\n - 2&=540°÷180°\\n - 2&=3\\n&=3 + 2\\n&=5\end{aligned}$
（2）因为截去一个角以后，多边形的边数可能减少$1$，也可能不变，或者增加$1$。
所以截完后所形成的新多边形的边数可能是$4$或$5$或$6$。
①当多边形为四边形时，根据内角和公式$(n - 2)×180°$，其内角和为$(4 - 2)×180°=360°$；
②当多边形为五边形时，其内角和为$(5 - 2)×180°=540°$；
③当多边形为六边形时，其内角和为$(6 - 2)×180°=720°$。
【答案】
（1）这个多边形的边数是$5$。
（2）截完后所形成的新多边形的内角和为$360°$或$540°$或$720°$。
【知识点】
多边形内角和、多边形外角和、截角后多边形边数变化
【点评】
本题先通过内角和与外角和的关系求出原多边形边数，再根据截角后边数的不同情况求新多边形内角和，考查了对多边形相关知识的综合运用。
【难度系数】
0.6
9. 如图分别是正四边形、正五边形、正六边形，分别将它们相邻对角线的夹角记为$ α_4 $，$ α_5 $，$ α_6 $。
（1）求$ α_4 $，$ α_5 $，$ α_6 $的度数。
（2）猜想正$ n $边形相邻两条对角线的夹角$ α_n $的度数，并求正二十边形相邻两条对角线的夹角$ α_{20} $的度数。
（1）求$ α_4 $，$ α_5 $，$ α_6 $的度数。
（2）猜想正$ n $边形相邻两条对角线的夹角$ α_n $的度数，并求正二十边形相邻两条对角线的夹角$ α_{20} $的度数。
答案
9. 解: （1）①$α_{4} = ∠BCD = 90^{\circ}$，理由如下: 如图1，
∵四边形ABCD是正方形，$\therefore AB = BC = CD = AD$，$∠BCD = ∠ADC = 90^{\circ}$，$\therefore △ DCB ≌ △ ADC(SAS)$，$\therefore ∠1 = ∠3$，$\therefore α_{4} = ∠1 + ∠2 = ∠2 + ∠3 = ∠BCD = 90^{\circ}$。
②$α_{5} = ∠BCD = 108^{\circ}$，理由如下:
∵五边形ABCDE是正五边形，$\therefore BC = CD = DE$，$∠BCD = ∠CDE = \frac{(5 - 2)×180^{\circ}}{5} = 108^{\circ}$，$\therefore △ BCD ≌ △ CDE(SAS)$，$\therefore ∠1 = ∠3$，$\therefore α_{5} = ∠1 + ∠2 = ∠2 + ∠3 = ∠BCD = 108^{\circ}$。
③$α_{6} = ∠BCD = 120^{\circ}$，理由如下:
∵六边形ABCDEF是正六边形，$\therefore BC = CD = DE$，$∠BCD = ∠CDE = \frac{(6 - 2)×180^{\circ}}{6} = 120^{\circ}$，$\therefore △ BCD ≌ △ CDE(SAS)$，$\therefore ∠1 = ∠3$，$\therefore α_{6} = ∠1 + ∠2 = ∠2 + ∠3 = ∠BCD = 120^{\circ}$。答: $α_{4} = 90^{\circ}$，$α_{5} = 108^{\circ}$，$α_{6} = 120^{\circ}$。
（2）由（1）的规律，可知正n边形相邻两条对角线的夹角$α_{n}$的度数等于正n边形的一个内角的度数，即$α_{n} = \frac{(n - 2)×180^{\circ}}{n}$。当n = 20时，$α_{20} = \frac{(20 - 2)×180^{\circ}}{20} = 162^{\circ}$。
第9题答图10. (2025·北京)若一个六边形的每个内角都是$ x° $，则$ x $的值为(
A.60
B.90
C.120
D.150
C
)A.60
B.90
C.120
D.150
答案
10. C
解析
【解析】
根据多边形内角和公式：$(n - 2)×180°$（$n$为边数且$n≥ 3$且$n$为整数）。
对于六边形，$n = 6$，则内角和为$(6 - 2)×180°=720°$。
因为六边形每个内角都是$x°$，所以$6x = 720$，解得$x = 120$。
【答案】
C
【知识点】
多边形内角和公式
【点评】
本题考查多边形内角和公式的应用，通过公式求出六边形内角和，再根据每个内角相等求出$x$的值。
【难度系数】
0.6
根据多边形内角和公式：$(n - 2)×180°$（$n$为边数且$n≥ 3$且$n$为整数）。
对于六边形，$n = 6$，则内角和为$(6 - 2)×180°=720°$。
因为六边形每个内角都是$x°$，所以$6x = 720$，解得$x = 120$。
【答案】
C
【知识点】
多边形内角和公式
【点评】
本题考查多边形内角和公式的应用，通过公式求出六边形内角和，再根据每个内角相等求出$x$的值。
【难度系数】
0.6
11. (2025·遂宁)已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为(
A.10
B.11
C.12
D.13
A
)A.10
B.11
C.12
D.13
答案
11. A
解析
【解析】
设这个多边形的边数为$n$。
因为多边形的外角和是$360°$，内角和公式为$(n - 2)×180°$。
已知内角和是外角和的$4$倍，则$(n - 2)×180°=4×360°$。
$n - 2 = 4×360°÷180°$，$n - 2 = 8$，$n = 10$。
【答案】
A
【知识点】
多边形内角和、多边形外角和、方程求解
【点评】
本题通过设未知数，利用多边形内角和与外角和的关系建立方程求解，考查对多边形相关知识的掌握和运用方程解决问题的能力。
【难度系数】
0.6
设这个多边形的边数为$n$。
因为多边形的外角和是$360°$，内角和公式为$(n - 2)×180°$。
已知内角和是外角和的$4$倍，则$(n - 2)×180°=4×360°$。
$n - 2 = 4×360°÷180°$，$n - 2 = 8$，$n = 10$。
【答案】
A
【知识点】
多边形内角和、多边形外角和、方程求解
【点评】
本题通过设未知数，利用多边形内角和与外角和的关系建立方程求解，考查对多边形相关知识的掌握和运用方程解决问题的能力。
【难度系数】
0.6
12. (2025·广元)如图，在正八边形$ ABCDEFGH $中，对角线$ HB $，$ AC $交于点$ K $，则$ ∠ AKH = $(
A.$ 30° $
B.$ 35° $
C.$ 40° $
D.$ 45° $
D
)A.$ 30° $
B.$ 35° $
C.$ 40° $
D.$ 45° $
答案
12. D
解析
【解析】
连接$AH$，$BC$。
因为正八边形$ABCDEFGH$，所以$∠ HAB=∠ ABC = 135°$，$AB = BC$。
则$∠ BAC=∠ BCA=\frac{180°-135°}{2}=22.5°$。
又因为$AH// BC$（正八边形的性质），所以$∠ HAK=∠ BCA = 22.5°$。
$∠ HAB = 135°$，所以$∠ HAK+∠ BAC=22.5°+22.5°=45°$，即$∠ AKH = 45°$。
【答案】
D
【知识点】
正多边形的性质、三角形内角和定理、平行线的性质
【点评】
本题通过连接辅助线，利用正八边形的性质、三角形内角和定理以及平行线的性质求解角度，考查学生对几何图形性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.4
连接$AH$，$BC$。
因为正八边形$ABCDEFGH$，所以$∠ HAB=∠ ABC = 135°$，$AB = BC$。
则$∠ BAC=∠ BCA=\frac{180°-135°}{2}=22.5°$。
又因为$AH// BC$（正八边形的性质），所以$∠ HAK=∠ BCA = 22.5°$。
$∠ HAB = 135°$，所以$∠ HAK+∠ BAC=22.5°+22.5°=45°$，即$∠ AKH = 45°$。
【答案】
D
【知识点】
正多边形的性质、三角形内角和定理、平行线的性质
【点评】
本题通过连接辅助线，利用正八边形的性质、三角形内角和定理以及平行线的性质求解角度，考查学生对几何图形性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.4
