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【知识点】算术平方根的意义
$\sqrt{a}$
$(\sqrt{a})^{2}$=
$\sqrt{3^{2}}$=
$\sqrt{a}$
≥
0（a≥0
）.$(\sqrt{a})^{2}$=
a
（a≥0
）；$\sqrt{a^{2}}$=a(a≥0)
.$\sqrt{3^{2}}$=
3
；$(\sqrt{3})^{2}$=3
；$\sqrt{(-3)^{2}}$=3
.答案
【知识点】≥ a≥0 a a≥0 a(a≥0) 3 3 3
解析
【解析】
本题主要考查算术平方根的相关性质。
- 对于$\sqrt{a}$，根据算术平方根的非负性可知$\sqrt{a}≥0$，且$a≥0$。
- 对于$(\sqrt{a})^{2}$，根据算术平方根的运算性质可得$(\sqrt{a})^{2}=a$（$a≥0$）。
- 对于$\sqrt{a^{2}}$，当$a≥0$时，$\sqrt{a^{2}}=a$。
- 计算$\sqrt{3^{2}}$，因为$3≥0$，所以$\sqrt{3^{2}} = 3$。
- 计算$(\sqrt{3})^{2}$，因为$3≥0$，所以$(\sqrt{3})^{2} = 3$。
- 计算$\sqrt{(-3)^{2}}$，先计算$(-3)^{2}=9$，再计算$\sqrt{9}=3$。
【答案】
$≥$，$a≥0$，$a$，$a≥0$，$a(a≥0)$，$3$，$3$，$3$
【知识点】
算术平方根的非负性、算术平方根的运算性质、平方运算
【点评】
本题考查算术平方根的基本概念和运算，是算术平方根知识的基础内容。
【难度系数】
0.8
本题主要考查算术平方根的相关性质。
- 对于$\sqrt{a}$，根据算术平方根的非负性可知$\sqrt{a}≥0$，且$a≥0$。
- 对于$(\sqrt{a})^{2}$，根据算术平方根的运算性质可得$(\sqrt{a})^{2}=a$（$a≥0$）。
- 对于$\sqrt{a^{2}}$，当$a≥0$时，$\sqrt{a^{2}}=a$。
- 计算$\sqrt{3^{2}}$，因为$3≥0$，所以$\sqrt{3^{2}} = 3$。
- 计算$(\sqrt{3})^{2}$，因为$3≥0$，所以$(\sqrt{3})^{2} = 3$。
- 计算$\sqrt{(-3)^{2}}$，先计算$(-3)^{2}=9$，再计算$\sqrt{9}=3$。
【答案】
$≥$，$a≥0$，$a$，$a≥0$，$a(a≥0)$，$3$，$3$，$3$
【知识点】
算术平方根的非负性、算术平方根的运算性质、平方运算
【点评】
本题考查算术平方根的基本概念和运算，是算术平方根知识的基础内容。
【难度系数】
0.8
【例】已知$\sqrt{(2a - 1)^{2}}$=1 - 2a，求a的取值范围.
【点拨】此题考查的是平方和算术平方根的非负性.$\sqrt{(2a - 1)^{2}}$=|2a - 1|=1 - 2a，根据绝对值的意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，可以判断1 - 2a是一个非负数.
【点拨】此题考查的是平方和算术平方根的非负性.$\sqrt{(2a - 1)^{2}}$=|2a - 1|=1 - 2a，根据绝对值的意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，可以判断1 - 2a是一个非负数.
答案
【例】解：
∵$√((2a - 1)^2) = $|2a - 1| = 1 - 2a，
∴2a - 1≤0，解得a≤1/2。
∵$√((2a - 1)^2) = $|2a - 1| = 1 - 2a，
∴2a - 1≤0，解得a≤1/2。
解析
【解析】
解：
∵$\sqrt{(2a - 1)^{2}} = |2a - 1| = 1 - 2a$，
根据绝对值的性质：若$|x|=-x$，则$x≤0$。
在这里$x = 2a - 1$，所以$2a - 1≤0$，
移项可得$2a≤1$，
两边同时除以$2$，解得$a≤\frac{1}{2}$。
【答案】
$a≤\frac{1}{2}$
【知识点】
算术平方根、绝对值的性质、不等式求解
【点评】
本题通过算术平方根与绝对值的关系建立不等式求解，关键在于理解绝对值的非负性及对应等式关系，考查学生对基本概念的运用能力。
【难度系数】
0.3
解：
∵$\sqrt{(2a - 1)^{2}} = |2a - 1| = 1 - 2a$，
根据绝对值的性质：若$|x|=-x$，则$x≤0$。
在这里$x = 2a - 1$，所以$2a - 1≤0$，
移项可得$2a≤1$，
两边同时除以$2$，解得$a≤\frac{1}{2}$。
【答案】
$a≤\frac{1}{2}$
【知识点】
算术平方根、绝对值的性质、不等式求解
【点评】
本题通过算术平方根与绝对值的关系建立不等式求解，关键在于理解绝对值的非负性及对应等式关系，考查学生对基本概念的运用能力。
【难度系数】
0.3
1. 下列各式中正确的是(
A.$(\sqrt{2})^{2}$=4
B.$\sqrt{9}$=±3
C.$\sqrt{(-7)^{2}}$=7
D.$\sqrt{-1}$=-1
C
)A.$(\sqrt{2})^{2}$=4
B.$\sqrt{9}$=±3
C.$\sqrt{(-7)^{2}}$=7
D.$\sqrt{-1}$=-1
答案
C
解析
【解析】
- 选项A：
根据二次根式的性质$(\sqrt{a})^{2}=a(a≥0)$，对于$(\sqrt{2})^{2}$，这里$a = 2$，则$(\sqrt{2})^{2}=2≠4$，所以选项A错误。
- 选项B：
根据算术平方根的定义，若$x^{2}=a(a≥0)$，则$x=\pm\sqrt{a}$，其中$\sqrt{a}$表示$a$的算术平方根（非负）。
对于$\sqrt{9}$，因为$3^{2}=9$，所以$\sqrt{9}=3$（算术平方根是非负的），而不是$\pm3$，所以选项B错误。
- 选项C：
先计算$(-7)^{2}=49$，再根据算术平方根的定义，$\sqrt{49}$，因为$7^{2}=49$，所以$\sqrt{(-7)^{2}}=\sqrt{49}=7$，选项C正确。
- 选项D：
在实数范围内，二次根式中被开方数$a$须满足$a≥0$，对于$\sqrt{-1}$，被开方数$-1＜0$，$\sqrt{-1}$在实数范围内无意义，所以选项D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的性质、算术平方根的定义、二次根式有意义的条件
【点评】
本题主要考查二次根式的相关性质和定义，需要准确理解每个概念来判断式子的正确性。
【难度系数】
0.7
- 选项A：
根据二次根式的性质$(\sqrt{a})^{2}=a(a≥0)$，对于$(\sqrt{2})^{2}$，这里$a = 2$，则$(\sqrt{2})^{2}=2≠4$，所以选项A错误。
- 选项B：
根据算术平方根的定义，若$x^{2}=a(a≥0)$，则$x=\pm\sqrt{a}$，其中$\sqrt{a}$表示$a$的算术平方根（非负）。
对于$\sqrt{9}$，因为$3^{2}=9$，所以$\sqrt{9}=3$（算术平方根是非负的），而不是$\pm3$，所以选项B错误。
- 选项C：
先计算$(-7)^{2}=49$，再根据算术平方根的定义，$\sqrt{49}$，因为$7^{2}=49$，所以$\sqrt{(-7)^{2}}=\sqrt{49}=7$，选项C正确。
- 选项D：
在实数范围内，二次根式中被开方数$a$须满足$a≥0$，对于$\sqrt{-1}$，被开方数$-1＜0$，$\sqrt{-1}$在实数范围内无意义，所以选项D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的性质、算术平方根的定义、二次根式有意义的条件
【点评】
本题主要考查二次根式的相关性质和定义，需要准确理解每个概念来判断式子的正确性。
【难度系数】
0.7
2. 式子$(\sqrt{a - 1})^{2}$=a - 1成立的条件是(
A.a≠1
B.a≥1
C.a＜1
D.a≤1
B
)A.a≠1
B.a≥1
C.a＜1
D.a≤1
答案
2. B
解析
【解析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数。
在$(\sqrt{a - 1})^{2}$中，被开方数$a - 1≥0$，
解得$a≥1$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件
【点评】
本题考查二次根式有意义的条件，关键是明确被开方数是非负数。
【难度系数】
0.7
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数。
在$(\sqrt{a - 1})^{2}$中，被开方数$a - 1≥0$，
解得$a≥1$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件
【点评】
本题考查二次根式有意义的条件，关键是明确被开方数是非负数。
【难度系数】
0.7
3. 无论x取任何实数，代数式$\sqrt{x^{2} - 6x + m}$都有意义，则m的取值范围是(
A.m≥6
B.m≥8
C.m≥9
D.m≥12
C
)A.m≥6
B.m≥8
C.m≥9
D.m≥12
答案
3. C
解析
【解析】
要使代数式$\sqrt{x^{2}-6x + m}$无论$x$取何实数都有意义，则$x^{2}-6x + m≥0$恒成立。
对$x^{2}-6x + m$进行配方：
$\begin{aligned}x^{2}-6x + m&=x^{2}-6x+9 + m - 9\\&=(x - 3)^{2}+m - 9\end{aligned}$
因为$(x - 3)^{2}≥0$，所以$(x - 3)^{2}+m - 9≥ m - 9$。
要使$(x - 3)^{2}+m - 9≥0$恒成立，则$m - 9≥0$，即$m≥9$。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件、完全平方公式、不等式恒成立
【点评】
本题通过配方将代数式变形，利用完全平方的非负性求解$m$的取值范围，考查了对二次根式性质和完全平方公式的运用。
【难度系数】
0.3
要使代数式$\sqrt{x^{2}-6x + m}$无论$x$取何实数都有意义，则$x^{2}-6x + m≥0$恒成立。
对$x^{2}-6x + m$进行配方：
$\begin{aligned}x^{2}-6x + m&=x^{2}-6x+9 + m - 9\\&=(x - 3)^{2}+m - 9\end{aligned}$
因为$(x - 3)^{2}≥0$，所以$(x - 3)^{2}+m - 9≥ m - 9$。
要使$(x - 3)^{2}+m - 9≥0$恒成立，则$m - 9≥0$，即$m≥9$。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件、完全平方公式、不等式恒成立
【点评】
本题通过配方将代数式变形，利用完全平方的非负性求解$m$的取值范围，考查了对二次根式性质和完全平方公式的运用。
【难度系数】
0.3
4. 计算：
(1) $(\sqrt{3})^{2}$；
(2) $(\sqrt{\dfrac{2}{5}})^{2}$；
(3) $(2\sqrt{7})^{2}$；
(4) $\sqrt{(-9)^{2}}$；
(5) $(-\sqrt{0.4})^{2}$；
(6) $-\sqrt{(-\dfrac{3}{5})^{2}}$.
(1) $(\sqrt{3})^{2}$；
(2) $(\sqrt{\dfrac{2}{5}})^{2}$；
(3) $(2\sqrt{7})^{2}$；
(4) $\sqrt{(-9)^{2}}$；
(5) $(-\sqrt{0.4})^{2}$；
(6) $-\sqrt{(-\dfrac{3}{5})^{2}}$.
答案
4. (1) 3 (2) 2/5 (3) 28 (4) 9 (5) 0.4 (6) -3/5
解析
【解析】
（1）$(\sqrt{3})^{2}=3$
（2）$(\sqrt{\dfrac{2}{5}})^{2}=\dfrac{2}{5}$
（3）$(2\sqrt{7})^{2}=2^{2}×(\sqrt{7})^{2}=4×7 = 28$
（4）$\sqrt{(-9)^{2}}=\sqrt{81}=9$
（5）$(-\sqrt{0.4})^{2}=(\sqrt{0.4})^{2}=0.4$
（6）$-\sqrt{(-\dfrac{3}{5})^{2}}=-\sqrt{\dfrac{9}{25}}=-\dfrac{3}{5}$
【答案】
（1）$3$；（2）$\dfrac{2}{5}$；（3）$28$；（4）$9$；（5）$0.4$；（6）$-\dfrac{3}{5}$
【知识点】
二次根式的性质、幂的运算、算术平方根
【点评】
本题主要考查二次根式的相关运算，需要熟练掌握二次根式的性质$(\sqrt{a})^{2}=a(a≥0)$，$\sqrt{a^{2}}=\vert a\vert$等知识，通过对不同形式的二次根式进行计算，巩固对二次根式运算规则的理解和运用。
【难度系数】
$0.6$
（1）$(\sqrt{3})^{2}=3$
（2）$(\sqrt{\dfrac{2}{5}})^{2}=\dfrac{2}{5}$
（3）$(2\sqrt{7})^{2}=2^{2}×(\sqrt{7})^{2}=4×7 = 28$
（4）$\sqrt{(-9)^{2}}=\sqrt{81}=9$
（5）$(-\sqrt{0.4})^{2}=(\sqrt{0.4})^{2}=0.4$
（6）$-\sqrt{(-\dfrac{3}{5})^{2}}=-\sqrt{\dfrac{9}{25}}=-\dfrac{3}{5}$
【答案】
（1）$3$；（2）$\dfrac{2}{5}$；（3）$28$；（4）$9$；（5）$0.4$；（6）$-\dfrac{3}{5}$
【知识点】
二次根式的性质、幂的运算、算术平方根
【点评】
本题主要考查二次根式的相关运算，需要熟练掌握二次根式的性质$(\sqrt{a})^{2}=a(a≥0)$，$\sqrt{a^{2}}=\vert a\vert$等知识，通过对不同形式的二次根式进行计算，巩固对二次根式运算规则的理解和运用。
【难度系数】
$0.6$
