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5. 已知$\sqrt{(1 - x)^{2}}$是二次根式，则x的取值范围为
x为任意实数
.答案
5. x为任意实数
解析
【解析】
因为二次根式的定义是形如$\sqrt{a}(a≥0)$的式子，对于$\sqrt{(1 - x)^{2}}$，由于任何实数的平方都大于等于$0$，即$(1 - x)^{2}≥0$恒成立，所以$x$为任意实数。
【答案】
$x$为任意实数
【知识点】
二次根式的定义
【点评】
本题考查二次根式的定义，根据二次根式中被开方数是非负数这一性质求解。
【难度系数】
$0.8$
因为二次根式的定义是形如$\sqrt{a}(a≥0)$的式子，对于$\sqrt{(1 - x)^{2}}$，由于任何实数的平方都大于等于$0$，即$(1 - x)^{2}≥0$恒成立，所以$x$为任意实数。
【答案】
$x$为任意实数
【知识点】
二次根式的定义
【点评】
本题考查二次根式的定义，根据二次根式中被开方数是非负数这一性质求解。
【难度系数】
$0.8$
6. 若M=$\sqrt{(a^{2} + 4)^{4}}$，则$\sqrt{M}$=(
A.a²+4
B.a²+2
C.(a²+2)²
D.(a²+4)²
A
)A.a²+4
B.a²+2
C.(a²+2)²
D.(a²+4)²
答案
6. A
解析
【解析】
因为$M = \sqrt{(a^{2}+4)^{4}}=(a^{2}+4)^{2}$，所以$\sqrt{M}=\sqrt{(a^{2}+4)^{2}} = a^{2}+4$。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质
【点评】
本题考查二次根式的化简，关键是掌握二次根式的性质$\sqrt{a^{2}}=\vert a\vert$，当$a≥0$时，$\sqrt{a^{2}} = a$。
【难度系数】
0.6
因为$M = \sqrt{(a^{2}+4)^{4}}=(a^{2}+4)^{2}$，所以$\sqrt{M}=\sqrt{(a^{2}+4)^{2}} = a^{2}+4$。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质
【点评】
本题考查二次根式的化简，关键是掌握二次根式的性质$\sqrt{a^{2}}=\vert a\vert$，当$a≥0$时，$\sqrt{a^{2}} = a$。
【难度系数】
0.6
7. 若a≥0，则$\sqrt{a^{2}}$化简后为(
A.a
B.-a
C.2a
D.$a\sqrt{a}$
A
)A.a
B.-a
C.2a
D.$a\sqrt{a}$
答案
7. A
解析
【解析】
根据二次根式的性质$\sqrt{x^{2}}=\vert x\vert$，当$a≥0$时，$\vert a\vert = a$，所以$\sqrt{a^{2}}=\vert a\vert=a$。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质
【点评】
本题考查二次根式的化简，关键是掌握二次根式$\sqrt{x^{2}}=\vert x\vert$的性质，根据$a$的取值范围确定$\vert a\vert$的值。
【难度系数】
0.8
根据二次根式的性质$\sqrt{x^{2}}=\vert x\vert$，当$a≥0$时，$\vert a\vert = a$，所以$\sqrt{a^{2}}=\vert a\vert=a$。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质
【点评】
本题考查二次根式的化简，关键是掌握二次根式$\sqrt{x^{2}}=\vert x\vert$的性质，根据$a$的取值范围确定$\vert a\vert$的值。
【难度系数】
0.8
8. 已知n是正整数，$\sqrt{20n}$是整数，则n的最小值为(
A.2
B.3
C.4
D.5
D
)A.2
B.3
C.4
D.5
答案
8. D
解析
【解析】
因为$\sqrt{20n}=\sqrt{4×5n}=2\sqrt{5n}$，且$\sqrt{20n}$是整数，所以$\sqrt{5n}$必须是整数。
又因为$n$是正整数，所以当$n = 5$时，$\sqrt{5n}=\sqrt{25}=5$是整数。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的化简、算术平方根
【点评】
本题通过对二次根式的化简，结合整数的条件来确定$n$的值，考查了对二次根式性质的理解和运用。
【难度系数】
0.6
因为$\sqrt{20n}=\sqrt{4×5n}=2\sqrt{5n}$，且$\sqrt{20n}$是整数，所以$\sqrt{5n}$必须是整数。
又因为$n$是正整数，所以当$n = 5$时，$\sqrt{5n}=\sqrt{25}=5$是整数。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的化简、算术平方根
【点评】
本题通过对二次根式的化简，结合整数的条件来确定$n$的值，考查了对二次根式性质的理解和运用。
【难度系数】
0.6
9. 已知$\sqrt{3x - 6}$+$\sqrt{6 - 3x}$+y=2025，则$\sqrt{2025y}$的值为
2025
.答案
9. 2025
解析
【解析】
要使$\sqrt{3x - 6}$与$\sqrt{6 - 3x}$有意义，则$3x - 6≥0$且$6 - 3x≥0$。
解$3x - 6≥0$得$x≥2$；解$6 - 3x≥0$得$x≤2$。
所以$x = 2$。
将$x = 2$代入$\sqrt{3x - 6}+\sqrt{6 - 3x}+y = 2025$，可得$0 + 0 + y = 2025$，即$y = 2025$。
则$\sqrt{2025y}=\sqrt{2025×2025}=2025$。
【答案】
2025
【知识点】
二次根式有意义的条件、代数式求值
【点评】
本题先根据二次根式有意义的条件求出$x$的值，再代入求出$y$的值，最后计算$\sqrt{2025y}$，考查了对二次根式性质的理解和运用。
【难度系数】
0.3
要使$\sqrt{3x - 6}$与$\sqrt{6 - 3x}$有意义，则$3x - 6≥0$且$6 - 3x≥0$。
解$3x - 6≥0$得$x≥2$；解$6 - 3x≥0$得$x≤2$。
所以$x = 2$。
将$x = 2$代入$\sqrt{3x - 6}+\sqrt{6 - 3x}+y = 2025$，可得$0 + 0 + y = 2025$，即$y = 2025$。
则$\sqrt{2025y}=\sqrt{2025×2025}=2025$。
【答案】
2025
【知识点】
二次根式有意义的条件、代数式求值
【点评】
本题先根据二次根式有意义的条件求出$x$的值，再代入求出$y$的值，最后计算$\sqrt{2025y}$，考查了对二次根式性质的理解和运用。
【难度系数】
0.3
10. 若x，y分别为$\sqrt{11}$的整数部分和小数部分，则2y+x=
2√11 - 3
.答案
10. 2√11 - 3
解析
【解析】
因为$9＜11＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{11}＜4$。
则$\sqrt{11}$的整数部分$x = 3$，小数部分$y=\sqrt{11}-3$。
将$x = 3$，$y=\sqrt{11}-3$代入$2y + x$可得：
$2(\sqrt{11}-3)+3$
$=2\sqrt{11}-6 + 3$
$=2\sqrt{11}-3$
【答案】
$2\sqrt{11}-3$
【知识点】
估算无理数的大小、代数式求值
【点评】
本题先通过比较$11$与$9$、$16$的大小来估算$\sqrt{11}$的整数部分，再求出小数部分，最后代入求值，考查了对估算无理数大小和代数式求值知识点的掌握。
【难度系数】
$0.6$
因为$9＜11＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{11}＜4$。
则$\sqrt{11}$的整数部分$x = 3$，小数部分$y=\sqrt{11}-3$。
将$x = 3$，$y=\sqrt{11}-3$代入$2y + x$可得：
$2(\sqrt{11}-3)+3$
$=2\sqrt{11}-6 + 3$
$=2\sqrt{11}-3$
【答案】
$2\sqrt{11}-3$
【知识点】
估算无理数的大小、代数式求值
【点评】
本题先通过比较$11$与$9$、$16$的大小来估算$\sqrt{11}$的整数部分，再求出小数部分，最后代入求值，考查了对估算无理数大小和代数式求值知识点的掌握。
【难度系数】
$0.6$
11. (1) 已知y=$\sqrt{2x - 5}$+$\sqrt{5 - 2x}$+6，求4x + y的平方根.
(2) 已知m²+4+$\sqrt{n - 4}$=4m，求mn的值.
(2) 已知m²+4+$\sqrt{n - 4}$=4m，求mn的值.
答案
11. 解：(1) 已知y = √(2x - 5) + √(5 - 2x) + 6，
∵2x - 5≥0，5 - 2x≥0，
∴2x = 5，解得x = 2.5，则y = 0 + 0 + 6 = 6，那么4x + y = 10 + 6 = 16，其平方根为±√16 = ±4。(2) 已知m² + 4 + √(n - 4) = 4m，则m² - 4m + 4 + √(n - 4) = 0，即(m - 2)² + √(n - 4) = 0，那么m - 2 = 0，n - 4 = 0，解得m = 2，n = 4，因此mn = 2×4 = 8。
∵2x - 5≥0，5 - 2x≥0，
∴2x = 5，解得x = 2.5，则y = 0 + 0 + 6 = 6，那么4x + y = 10 + 6 = 16，其平方根为±√16 = ±4。(2) 已知m² + 4 + √(n - 4) = 4m，则m² - 4m + 4 + √(n - 4) = 0，即(m - 2)² + √(n - 4) = 0，那么m - 2 = 0，n - 4 = 0，解得m = 2，n = 4，因此mn = 2×4 = 8。
解析
【解析】
(1) 已知$y = \sqrt{2x - 5} + \sqrt{5 - 2x} + 6$，
因为二次根式中被开方数须是非负数，所以$2x - 5≥0$，$5 - 2x≥0$，
解$2x - 5≥0$得$2x≥5$，即$x≥\frac{5}{2}$；
解$5 - 2x≥0$得$-2x≥ - 5$，即$x≤\frac{5}{2}$；
所以$2x = 5$，解得$x = 2.5$，
则$y = 0 + 0 + 6 = 6$，
那么$4x + y = 4×2.5 + 6 = 10 + 6 = 16$，
$16$的平方根为$\pm\sqrt{16} = \pm4$。
(2) 已知$m^{2}+4+\sqrt{n - 4}=4m$，
移项可得$m^{2}-4m + 4+\sqrt{n - 4}=0$，
根据完全平方公式$(a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2$，这里$a = m$，$b = 2$，则$m^{2}-4m + 4=(m - 2)^{2}$，
所以$(m - 2)^{2}+\sqrt{n - 4}=0$，
因为一个数的平方是非负数，一个数的算术平方根也是非负数，
要使两个非负数的和为$0$，则这两个数都为$0$，
所以$m - 2 = 0$，解得$m = 2$；
$n - 4 = 0$，解得$n = 4$，
因此$mn = 2×4 = 8$。
【答案】
(1) $\pm4$；(2) $8$
【知识点】
二次根式有意义的条件、平方根、非负数的性质
【点评】
本题考查二次根式有意义的条件、平方根以及非负数的性质。（1）题通过二次根式有意义的条件求出$x$的值，进而求出$y$的值，再求$4x + y$的平方根；（2）题通过对等式变形，利用完全平方公式和非负数的性质求出$m$、$n$的值，再求$mn$的值。
【难度系数】
0.3
(1) 已知$y = \sqrt{2x - 5} + \sqrt{5 - 2x} + 6$，
因为二次根式中被开方数须是非负数，所以$2x - 5≥0$，$5 - 2x≥0$，
解$2x - 5≥0$得$2x≥5$，即$x≥\frac{5}{2}$；
解$5 - 2x≥0$得$-2x≥ - 5$，即$x≤\frac{5}{2}$；
所以$2x = 5$，解得$x = 2.5$，
则$y = 0 + 0 + 6 = 6$，
那么$4x + y = 4×2.5 + 6 = 10 + 6 = 16$，
$16$的平方根为$\pm\sqrt{16} = \pm4$。
(2) 已知$m^{2}+4+\sqrt{n - 4}=4m$，
移项可得$m^{2}-4m + 4+\sqrt{n - 4}=0$，
根据完全平方公式$(a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2$，这里$a = m$，$b = 2$，则$m^{2}-4m + 4=(m - 2)^{2}$，
所以$(m - 2)^{2}+\sqrt{n - 4}=0$，
因为一个数的平方是非负数，一个数的算术平方根也是非负数，
要使两个非负数的和为$0$，则这两个数都为$0$，
所以$m - 2 = 0$，解得$m = 2$；
$n - 4 = 0$，解得$n = 4$，
因此$mn = 2×4 = 8$。
【答案】
(1) $\pm4$；(2) $8$
【知识点】
二次根式有意义的条件、平方根、非负数的性质
【点评】
本题考查二次根式有意义的条件、平方根以及非负数的性质。（1）题通过二次根式有意义的条件求出$x$的值，进而求出$y$的值，再求$4x + y$的平方根；（2）题通过对等式变形，利用完全平方公式和非负数的性质求出$m$、$n$的值，再求$mn$的值。
【难度系数】
0.3
12. 当-4＜x＜1时，化简$\sqrt{x^{2} + 8x + 16}$-2$\sqrt{x^{2} - 2x + 1}$.
答案
12. 解：原式$ = √((x + 4)^2) - 2√((x - 1)^2) = $|x + 4| - 2|x - 1|。
∵ - 4 ＜ x ＜ 1，
∴x + 4 ＞ 0，x - 1 ＜ 0，
∴原式 = x + 4 + 2x - 2 = 3x + 2。
∵ - 4 ＜ x ＜ 1，
∴x + 4 ＞ 0，x - 1 ＜ 0，
∴原式 = x + 4 + 2x - 2 = 3x + 2。
解析
【解析】
原式$=\sqrt{(x + 4)^2}-2\sqrt{(x - 1)^2}=|x + 4|-2|x - 1|$。
因为$-4＜ x＜1$，所以$x + 4＞0$，$x - 1＜0$。
则原式$=x + 4+2(x - 1)=x + 4+2x - 2=3x + 2$。
【答案】
$3x + 2$
【知识点】
二次根式化简、绝对值性质、整式运算
【点评】
本题先利用完全平方公式将根号下式子变形，再根据$x$取值范围判断绝对值内式子正负，进而化简，考查对二次根式和绝对值知识综合运用。
【难度系数】
0.6
原式$=\sqrt{(x + 4)^2}-2\sqrt{(x - 1)^2}=|x + 4|-2|x - 1|$。
因为$-4＜ x＜1$，所以$x + 4＞0$，$x - 1＜0$。
则原式$=x + 4+2(x - 1)=x + 4+2x - 2=3x + 2$。
【答案】
$3x + 2$
【知识点】
二次根式化简、绝对值性质、整式运算
【点评】
本题先利用完全平方公式将根号下式子变形，再根据$x$取值范围判断绝对值内式子正负，进而化简，考查对二次根式和绝对值知识综合运用。
【难度系数】
0.6
