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11. (16分)如图所示的是由棱长都为1 cm的6个小正方体组成的简单几何体.
(1)请在方格中画出该几何体从前面、左面、上面所看到的形状图；
(2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体,并保持从前面和从左面看到的形状图不变,则最多可以再添加______个小正方体.
(1)请在方格中画出该几何体从前面、左面、上面所看到的形状图；
(2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体,并保持从前面和从左面看到的形状图不变,则最多可以再添加______个小正方体.
答案
解:
(1)如图所示.
(2)2
解析
【分析】
(1) 绘制三视图时，首先明确观察方向：从前面看即主视图，反映几何体的长和高，需确定列数和每列的最大层数；从左面看即左视图，反映几何体的宽和高，同样确定列数和每列最大层数；从上面看即俯视图，反映几何体的长和宽，确定底层小正方体的分布位置，按对应行列的小正方形数量绘制即可。
(2) 要保持主视图和左视图不变，需满足：主视图每一列的最大高度不能改变，左视图每一列（对应几何体的前后行）的最大高度不能改变。先排除不能加小正方体的位置（高度已经到最大值的区域），再统计剩余可添加的位置数量即可得到最多添加的个数。
【解析】
(1) 根据三视图绘制规则：
① 从前面看：共有3列，从左到右每列小正方形的个数依次为2、2、1，按此画出对应图形；
② 从左面看：共有3列，从左到右每列小正方形的个数依次为2、2、1，按此画出对应图形；
③ 从上面看：共有3列，从左到右每列小正方形的个数依次为1、2、1，按此画出对应图形，绘制结果如图所示。
(2) 由主视图可知：几何体左列最高2层，中列最高2层，右列最高1层，因此右列所有位置不能再添加小正方体；
由左视图可知：几何体后排最高2层，中排最高2层，前排最高1层，因此前排所有位置不能再添加小正方体；
剩余可添加小正方体的位置仅有左列中排、中列后排2个位置，每个位置可添加1个，因此最多可以再添加2个小正方体。
【答案】
(1)如图所示。
(2)2
【知识点】
三视图的绘制，根据三视图求最值
【点评】
本题主要考查几何体三视图的画法以及空间想象能力，解决添加小正方体的最值问题时，要明确两个视图分别对几何体的列高、行高的限制，避免遗漏或者多算可添加的位置。
【难度系数】
0.6
(1) 绘制三视图时，首先明确观察方向：从前面看即主视图，反映几何体的长和高，需确定列数和每列的最大层数；从左面看即左视图，反映几何体的宽和高，同样确定列数和每列最大层数；从上面看即俯视图，反映几何体的长和宽，确定底层小正方体的分布位置，按对应行列的小正方形数量绘制即可。
(2) 要保持主视图和左视图不变，需满足：主视图每一列的最大高度不能改变，左视图每一列（对应几何体的前后行）的最大高度不能改变。先排除不能加小正方体的位置（高度已经到最大值的区域），再统计剩余可添加的位置数量即可得到最多添加的个数。
【解析】
(1) 根据三视图绘制规则：
① 从前面看：共有3列，从左到右每列小正方形的个数依次为2、2、1，按此画出对应图形；
② 从左面看：共有3列，从左到右每列小正方形的个数依次为2、2、1，按此画出对应图形；
③ 从上面看：共有3列，从左到右每列小正方形的个数依次为1、2、1，按此画出对应图形，绘制结果如图所示。
(2) 由主视图可知：几何体左列最高2层，中列最高2层，右列最高1层，因此右列所有位置不能再添加小正方体；
由左视图可知：几何体后排最高2层，中排最高2层，前排最高1层，因此前排所有位置不能再添加小正方体；
剩余可添加小正方体的位置仅有左列中排、中列后排2个位置，每个位置可添加1个，因此最多可以再添加2个小正方体。
【答案】
(1)如图所示。
(2)2
【知识点】
三视图的绘制，根据三视图求最值
【点评】
本题主要考查几何体三视图的画法以及空间想象能力，解决添加小正方体的最值问题时，要明确两个视图分别对几何体的列高、行高的限制，避免遗漏或者多算可添加的位置。
【难度系数】
0.6
12. (20分)如图所示的是一张长方形纸片,长方形的长为10 cm,宽为6 cm. 若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周,得到一个几何体.
(1)这个几何体的名称是______,这个现象用数学知识解释为______(选填“点动成线”“线动成面”或“面动成体”)；
(2)求得到的这个几何体的体积(结果保留π).
(1)这个几何体的名称是______,这个现象用数学知识解释为______(选填“点动成线”“线动成面”或“面动成体”)；
(2)求得到的这个几何体的体积(结果保留π).
答案
解:
(1)圆柱 面动成体
(2)情况①:绕长方形的宽所在直线旋转一周，
V=π×10²×6=600π(cm³);
情况②:绕长方形的长所在直线旋转一周，
V=π×6²×10=360π(cm³).
故形成的几何体的体积是600π cm³或360π cm³.
(1)圆柱 面动成体
(2)情况①:绕长方形的宽所在直线旋转一周，
V=π×10²×6=600π(cm³);
情况②:绕长方形的长所在直线旋转一周，
V=π×6²×10=360π(cm³).
故形成的几何体的体积是600π cm³或360π cm³.
解析
【分析】
(1) 首先回忆点、线、面、体的关系：长方形是平面图形，绕它的一条边旋转后会形成立体图形，这个立体图形是圆柱，对应“面动成体”的几何原理。
(2) 由于旋转轴可以选择长方形的长，也可以选择长方形的宽，两种情况得到的圆柱底面半径和高均不同，体积也会不同，因此需要分类讨论。结合圆柱体积公式$V=π r^2h$，分别确定两种场景下的底面半径$r$和高$h$，代入公式计算即可。
【解析】
(1) 长方形属于平面，绕一边所在直线旋转后得到立体的圆柱，因此该几何体名称是圆柱，对应的数学原理为面动成体。
(2) 分两种情况计算体积：
① 绕长方形的宽所在直线旋转一周：此时圆柱的底面半径为长方形的长10cm，高为长方形的宽6cm，代入圆柱体积公式：
$V=π×10^2×6=600π\ \mathrm{cm}^3$
② 绕长方形的长所在直线旋转一周：此时圆柱的底面半径为长方形的宽6cm，高为长方形的长10cm，代入圆柱体积公式：
$V=π×6^2×10=360π\ \mathrm{cm}^3$
因此得到的几何体体积为$600π\ \mathrm{cm}^3$或$360π\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】
(1) 圆柱；面动成体
(2) $600π\ \mathrm{cm}^3$或$360π\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
面动成体；圆柱体积计算；分类讨论思想
【点评】
本题主要考查空间想象能力和分类讨论的解题意识，解题时要注意旋转轴的不同会导致圆柱的底面半径、高不同，避免漏解，掌握圆柱体积公式和面动成体的原理即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 首先回忆点、线、面、体的关系：长方形是平面图形，绕它的一条边旋转后会形成立体图形，这个立体图形是圆柱，对应“面动成体”的几何原理。
(2) 由于旋转轴可以选择长方形的长，也可以选择长方形的宽，两种情况得到的圆柱底面半径和高均不同，体积也会不同，因此需要分类讨论。结合圆柱体积公式$V=π r^2h$，分别确定两种场景下的底面半径$r$和高$h$，代入公式计算即可。
【解析】
(1) 长方形属于平面，绕一边所在直线旋转后得到立体的圆柱，因此该几何体名称是圆柱，对应的数学原理为面动成体。
(2) 分两种情况计算体积：
① 绕长方形的宽所在直线旋转一周：此时圆柱的底面半径为长方形的长10cm，高为长方形的宽6cm，代入圆柱体积公式：
$V=π×10^2×6=600π\ \mathrm{cm}^3$
② 绕长方形的长所在直线旋转一周：此时圆柱的底面半径为长方形的宽6cm，高为长方形的长10cm，代入圆柱体积公式：
$V=π×6^2×10=360π\ \mathrm{cm}^3$
因此得到的几何体体积为$600π\ \mathrm{cm}^3$或$360π\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】
(1) 圆柱；面动成体
(2) $600π\ \mathrm{cm}^3$或$360π\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
面动成体；圆柱体积计算；分类讨论思想
【点评】
本题主要考查空间想象能力和分类讨论的解题意识，解题时要注意旋转轴的不同会导致圆柱的底面半径、高不同，避免漏解，掌握圆柱体积公式和面动成体的原理即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
13. (24分)(2025·芜湖)如图所示,已知线段a和线段AB,点C在线段AB的延长线上,且$ BC = AB $,点D在线段BC上,且$ CD = a $.
(1)用尺规作图在图中补全图形(不写作法,保留作图痕迹).
(2)若$ AC = 4 $,$ CD = 1 $.
①点D是线段BC的中点吗？请说明理由；
②点E在线段AD上,若$ AE:DE = 3:2 $,求BE的长.(写出必要的推理和计算的过程)
(1)用尺规作图在图中补全图形(不写作法,保留作图痕迹).
(2)若$ AC = 4 $,$ CD = 1 $.
①点D是线段BC的中点吗？请说明理由；
②点E在线段AD上,若$ AE:DE = 3:2 $,求BE的长.(写出必要的推理和计算的过程)
答案
解:
(1)如图所示，即为所作.
(2)①点D是BC的中点，理由如下:因为BC=AB，AB + BC=AC=4.
所以BC=$\frac{1}{2}$AC=2.
又因为CD=1=$\frac{1}{2}$BC，所以D为BC的中点.
②因为AD=AC−CD=4−1=3，AE:DE=3:2，
所以AE=$\frac{3}{5}$AD=$\frac{9}{5}$.
所以BE=AB−AE=2−$\frac{9}{5}$=$\frac{1}{5}$.
解析
【分析】
(1) 尺规作图思路：首先延长线段AB，用圆规量取AB的长度，以点B为圆心、AB长为半径画弧，与AB的延长线交点即为点C，满足BC=AB；再用圆规量取已知线段a的长度，以点C为圆心、a长为半径画弧，与线段BC的交点即为点D，即可完成补图。
(2) ① 要判断点D是否为BC的中点，只需验证CD是否等于BC的一半：先根据BC=AB、AC=4求出BC的长度，再和CD的长度对比即可得出结论。
② 要求BE的长度，已知AB长度可求，只需先求出AE的长度：先通过线段和差求出AD的总长度，再根据AE:DE=3:2按比例分配求出AE的长度，最后用AB长度减去AE长度即可得到BE的长。
【解析】
(1) 补全图形如下：
(2) ① 点D是BC的中点，理由如下：
∵ BC=AB，且AB + BC = AC = 4，
∴ BC = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$×4 = 2，
又
∵ CD=1，即CD = $\frac{1}{2}$BC，
∴ D为BC的中点。
② 由线段和差可得：AD = AC - CD = 4 - 1 = 3，
∵ AE:DE = 3:2，
∴ AE = $\frac{3}{3+2}$×AD = $\frac{3}{5}$×3 = $\frac{9}{5}$，
又
∵ AB = BC = 2，
∴ BE = AB - AE = 2 - $\frac{9}{5}$ = $\frac{1}{5}$。
【答案】
(1)
(2) ① 点D是线段BC的中点，理由见解析；② BE的长为$\frac{1}{5}$。
【知识点】
1. 尺规作图作相等线段
2. 线段的和差计算
3. 线段中点的判定
【点评】
本题综合考查了尺规作图和线段的相关运算，侧重对基础概念的理解和基本运算能力的考查，解题的关键是熟练掌握线段中点、比例线段的性质，灵活运用线段的和差关系进行计算。
【难度系数】
0.7
(1) 尺规作图思路：首先延长线段AB，用圆规量取AB的长度，以点B为圆心、AB长为半径画弧，与AB的延长线交点即为点C，满足BC=AB；再用圆规量取已知线段a的长度，以点C为圆心、a长为半径画弧，与线段BC的交点即为点D，即可完成补图。
(2) ① 要判断点D是否为BC的中点，只需验证CD是否等于BC的一半：先根据BC=AB、AC=4求出BC的长度，再和CD的长度对比即可得出结论。
② 要求BE的长度，已知AB长度可求，只需先求出AE的长度：先通过线段和差求出AD的总长度，再根据AE:DE=3:2按比例分配求出AE的长度，最后用AB长度减去AE长度即可得到BE的长。
【解析】
(1) 补全图形如下：
(2) ① 点D是BC的中点，理由如下：
∵ BC=AB，且AB + BC = AC = 4，
∴ BC = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$×4 = 2，
又
∵ CD=1，即CD = $\frac{1}{2}$BC，
∴ D为BC的中点。
② 由线段和差可得：AD = AC - CD = 4 - 1 = 3，
∵ AE:DE = 3:2，
∴ AE = $\frac{3}{3+2}$×AD = $\frac{3}{5}$×3 = $\frac{9}{5}$，
又
∵ AB = BC = 2，
∴ BE = AB - AE = 2 - $\frac{9}{5}$ = $\frac{1}{5}$。
【答案】
(1)
(2) ① 点D是线段BC的中点，理由见解析；② BE的长为$\frac{1}{5}$。
【知识点】
1. 尺规作图作相等线段
2. 线段的和差计算
3. 线段中点的判定
【点评】
本题综合考查了尺规作图和线段的相关运算，侧重对基础概念的理解和基本运算能力的考查，解题的关键是熟练掌握线段中点、比例线段的性质，灵活运用线段的和差关系进行计算。
【难度系数】
0.7
