1. 如图所示的是一个几何体的表面展开图,则该几何体是( )

A.三棱锥
B.四棱锥
C.四棱柱
D.圆锥

B

【分析】
解题时先观察展开图的组成图形，再结合常见几何体的展开图特征逐一排除错误选项即可。第一步先识别展开图的图形构成：该展开图包含1个四边形和4个三角形；第二步回忆各类几何体展开图的特点：棱锥的侧面都是三角形，底面是几边形就对应几棱锥，棱柱侧面是长方形，圆锥侧面是扇形，据此即可对应判断。
【解析】
观察该展开图，由1个四边形和4个三角形组成，逐一分析选项：
选项A：三棱锥的展开图由4个三角形组成，不含四边形，不符合特征，排除；
选项B：四棱锥的底面是四边形，侧面是4个三角形，和展开图特征完全匹配，符合要求；
选项C：四棱柱的展开图侧面为长方形，不含三角形，不符合特征，排除；
选项D：圆锥的展开图由1个扇形和1个圆组成，不符合特征，排除。
因此该几何体是四棱锥。
【答案】
B
【知识点】
几何体展开图；棱锥结构特征
【点评】
本题考查几何体展开图的识别，解题核心是牢记常见立体图形对应的展开图组成特点，根据组成图形的形状、数量即可快速判断，属于对基础概念的考查。
【难度系数】
0.8

2. 已知线段AB,点P在直线AB上,直线AB上共有三条线段：AB,PA和PB. 若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍,则称P为线段AB的“奇妙点”,那么线段AB的“奇妙点”的个数是( )

A.3
B.6
C.9
D.12

C

【分析】
首先明确“奇妙点”的定义：直线AB上的点P，满足AB、PA、PB三条线段中，一条长度是另一条的2倍。解题时需分类讨论点P的所有可能位置：①点P在线段AB上；②点P在AB的延长线上（点B远离A的一侧）；③点P在BA的延长线上（点A远离B的一侧）。每类位置下再根据线段倍长关系找出所有符合条件的点，最后汇总个数即可。
【解析】
我们分三类情况讨论：
1. 当点P在线段AB上时：
① 若$PA=2PB$：此时P靠近点B，存在1个符合条件的点；
② 若$AB=2PA$（即P为AB中点，此时$AB=2PB$）：存在1个符合条件的点；
③ 若$PB=2PA$：此时P靠近点A，存在1个符合条件的点；
本类共3个奇妙点。
2. 当点P在AB的延长线上（位于点B远离A的一侧）时：
① 若$PA=2AB$：此时$PB=AB$，符合条件，存在1个点；
② 若$AB=2PB$：此时PB长度为AB的一半，符合条件，存在1个点；
③ 若$PB=2AB$：此时$PA=3AB$，符合条件，存在1个点；
本类共3个奇妙点。
3. 当点P在BA的延长线上（位于点A远离B的一侧）时，和第二类对称：
① 若$PB=2AB$：此时$PA=AB$，符合条件，存在1个点；
② 若$AB=2PA$：此时PA长度为AB的一半，符合条件，存在1个点；
③ 若$PA=2AB$：此时$PB=3AB$，符合条件，存在1个点；
本类共3个奇妙点。
综上，总共有$3+3+3=9$个奇妙点。
【答案】
C
【知识点】
线段和差计算，新定义问题，分类讨论思想
【点评】
本题核心考查分类讨论的数学思想，解题时要注意点P是在直线AB上，不要局限于线段AB上的点，只要按照位置分类逐一梳理倍长关系，就能避免漏数、多数的问题。
【难度系数】
0.55

3. (2024·青岛)下面图形经过折叠能围成棱柱的有( )

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

B

【分析】要判断图形能否折叠成棱柱，需先明确棱柱展开图的核心特征：n棱柱的展开图由2个全等的n边形（底面）和n个长方形（侧面）组成，且2个底面需分别位于侧面组合图形的两侧，折叠时不会出现面重叠、缺面的问题。我们逐个分析4个图形：
①第一个图形：属于四棱柱展开图，有4个长方形侧面，上下两侧各有1个长方形底面，符合四棱柱展开图的要求，可以围成棱柱。
②第二个图形：属于三棱柱展开图，有3个长方形侧面，两侧各有1个三角形底面，符合三棱柱展开图的要求，可以围成棱柱。
③第三个图形：由6个正方形组成，排列方式不符合正方体展开图的特征，折叠时会出现面重叠的问题，不能围成四棱柱（正方体）。
④第四个图形：有6个长方形侧面，但2个六边形底面都在侧面的同一侧，折叠后两个底面重叠，另一侧缺少底面，不能围成六棱柱。
综上可得能围成棱柱的图形共有2个。
【解析】根据棱柱展开图的判定规则逐一判断：
1. 第一个图形：4个侧面为长方形，上下各1个四边形底面，位置正确，可围成四棱柱；
2. 第二个图形：3个侧面为长方形，两侧各1个三角形底面，位置正确，可围成三棱柱；
3. 第三个图形：6个正方形的排列存在折叠重叠问题，不能围成正方体（四棱柱）；
4. 第四个图形：2个六边形底面在侧面同侧，折叠后底面重叠、缺底面，不能围成六棱柱。
因此能围成棱柱的有2个，答案选B。
【答案】B
【知识点】棱柱的展开图；展开图折叠成几何体；正方体展开图
【点评】本题主要考查几何体展开图的识别，解题的关键是熟练掌握常见棱柱展开图的特征，能准确排除底面同侧、折叠重叠的错误情况，侧重考查基础的空间想象能力。
【难度系数】0.7

4. 如图所示,观察图形,下列结论中不正确的是( )

A.直线BA和直线AB是同一条直线
B.图中有5条线段
C.$ AB + BD ＞ AD $
D.射线AC和射线AD是同一条射线

B

【分析】
本题为几何概念类选非题，解题时需逐一分析每个选项：
1. 分析A选项：根据直线的表示规则，直线用其上任意两点命名时无顺序要求，即可判断正误；
2. 分析B选项：按顺序枚举所有线段计数，注意做到不重不漏，即可判断正误；
3. 分析C选项：根据“两点之间，线段最短”的性质，即可判断正误；
4. 分析D选项：根据射线的判定规则，两条射线端点相同、延伸方向一致则为同一条射线，即可判断正误。
最终选出错误的选项即可。
【解析】
我们逐个判断选项：
A. 直线的表示不区分两点的顺序，因此直线BA和直线AB是同一条直线，该选项结论正确，不符合题意；
B. 图中的点有A、B、C、D共4个，枚举所有线段：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6条，不是5条，该选项结论错误，符合题意；
C. 两点之间线段最短，从A到D的路径中，线段AD是最短路径，因此$AB + BD ＞ AD$，该选项结论正确，不符合题意；
D. 射线AC和射线AD的端点都是A，且延伸方向均为沿直线AD向右，因此是同一条射线，该选项结论正确，不符合题意。
综上，不正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
直线射线线段的概念；两点之间线段最短；线段计数
【点评】
本题考查基础几何概念的应用，易错点为线段计数时出现漏数、重复计数的问题，以及判断射线是否相同时忽略端点或延伸方向的匹配，熟练掌握基础定义和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7

5. 如图所示的是从不同方向看立体图形所得到的平面图形,则该立体图形是( )

C

【分析】
要解决这类根据三视图判断立体图形的题目，我们可以按照两步思路走：第一步，先看主视图和左视图的形状，确定立体图形的大类：如果两个视图都是长方形，说明是柱体；如果都是三角形，说明是锥体；如果都是圆，说明是球体。第二步，再看俯视图的形状，确定柱体/锥体的底面形状，就能锁定具体的立体图形，匹配对应选项即可。
【解析】
首先观察该立体图形的主视图和左视图，均为长方形，可判断该图形属于柱体范畴，由此可排除锥体、球体等不符合特征的选项；再观察俯视图为圆形，说明该柱体的底面是圆形，因此该立体图形为圆柱，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
由三视图判断几何体；常见几何体的三视图
【点评】
本题属于三视图的基础考查题，重点考察对常见立体图形三视图特征的掌握，按照“先定大类，再定细节”的顺序判断即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8

6. 如图所示,C点是线段AB的中点,$ AD = \frac{1}{3}AB $,$ BE = \frac{1}{3}CB $,下列结论正确的是( )


A.若$ AB = a $,则$ CE = \frac{2}{3}a $
B.若$ CD = a $,则$ AB = 5a $
C.若$ CD = a $,则$ DE = 2a $
D.若$ AB = a $,则$ CD = BE = \frac{1}{6}a $

D

【分析】
解题时先梳理已知条件：C是线段AB的中点，可得AC=CB=1/2 AB，再结合题目给出的AD与AB、BE与CB的比例关系，将所有涉及的线段都统一用AB的长度表示，再依次验证每个选项的正误即可，注意结合点的排列顺序（A-D-C-E-B）计算线段和差，避免出错。
【解析】
首先根据已知条件推导各线段与AB的关系：
∵ C是AB的中点，
∴ $AC=CB=\frac{1}{2}AB$
∵ $AD=\frac{1}{3}AB$，$BE=\frac{1}{3}CB$，
∴ $BE=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}AB=\frac{1}{6}AB$
接下来逐个验证选项：
选项A：若$AB=a$，则$CE=CB-BE=\frac{1}{2}a - \frac{1}{6}a=\frac{1}{3}a≠\frac{2}{3}a$，A错误；
选项B：$CD=AC-AD=\frac{1}{2}AB - \frac{1}{3}AB=\frac{1}{6}AB$，若$CD=a$，则$AB=6a≠5a$，B错误；
选项C：若$CD=a$，由上述推导得$AB=6a$，则$DE=AB-AD-BE=6a - \frac{1}{3}×6a - \frac{1}{6}×6a=6a-2a-a=3a≠2a$，C错误；
选项D：若$AB=a$，则$CD=\frac{1}{2}a - \frac{1}{3}a=\frac{1}{6}a$，$BE=\frac{1}{6}a$，即$CD=BE=\frac{1}{6}a$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
线段中点定义；线段和差计算；线段比例换算
【点评】
本题是线段计算的基础题型，核心是把所有线段换算为同一基准线段（如AB）的表达式，再逐一核对选项，只要理清各点顺序、掌握线段和差及比例的计算方法就能顺利求解。
【难度系数】
0.7

7. 如图所示,你从图中看到哪几种熟悉的平面图形？请把它们写出来：______.

长方形、正方形、三角形、圆形

【分析】
解题时先回忆已学的常见平面图形的特征，再按从外到内、从上到下的顺序逐一观察图形的各个组成部分，将观察到的图形和对应的特征匹配即可得到答案。首先观察整体外框，对应长方形；再观察内部的两个小四边形，对应正方形；接着观察右侧的两个封闭图形，对应三角形；最后观察下方的两个轮子形状的图形，对应圆形。
【解析】
我们逐个分析图中的组成部分：
1. 图形最外侧的大封闭图形，对边相等、四个角均为直角，符合长方形的特征；
2. 长方形内部的两个小四边形，四条边长度相等、四个角均为直角，符合正方形的特征；
3. 长方形右侧的两个封闭图形，均由三条线段首尾顺次连接围成，符合三角形的特征；
4. 长方形下方的两个封闭图形，由曲线围成，且曲线上任意一点到中心的距离相等，符合圆形的特征。
因此可得出图中包含的平面图形。
【答案】
长方形、正方形、三角形、圆形
【知识点】
平面图形识别、基本几何图形特征
【点评】
本题考查对常见平面图形的辨识能力，属于基础类题目，只要熟练掌握各类基本平面图形的特征，按顺序观察图形各组成部分即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

8. (跨学科—语文)诗人张协在《杂诗十首》中用“腾云似涌烟,密雨如散丝”描写雨的细密. 其中“密雨如散丝”表现的数学原理是______.

点动成线

【分析】
解题时要先把诗句描述的场景和几何基础知识点结合思考：单个雨滴体积很小，可抽象为几何中的“点”，雨滴从高空下落是点的运动过程，大量下落的雨滴视觉上像散开的丝线，“丝线”对应几何中的“线”，由此就能对应到点运动形成线的相关原理，推出答案。
【解析】
我们可以把每一滴雨滴抽象为几何中的一个点，雨滴从空中下落的过程属于点的运动，大量持续下落的雨滴在视觉上呈现出类似散丝的线状形态，这一现象对应的数学原理是点动成线。
【答案】
点动成线
【知识点】
点动成线；几何图形的形成
【点评】
本题将古诗词描写的自然现象和数学几何知识相结合，属于跨学科题型，考查对基础几何原理的理解和结合实际场景的应用能力，立意新颖。
【难度系数】
0.8

9. 如图所示,把一根绳子对折成线段AB,点P在线段AB上,从点P处把绳子剪断,且$ AP:BP = 2:3 $. 若剪断后的各段绳子中最长的一段为60 cm,则绳子的原长为______.

100 cm或150 cm

【分析】
本题需要考虑绳子对折后折点的两种不同情况，避免漏解。首先根据AP与BP的比例关系设未知数，表示出对折后半段绳子的长度和绳子原长，再分别分析两种折点情况下剪断后的最长段对应的长度，结合最长段为60cm列方程求解即可。
【解析】
设$AP=2x\ \mathrm{cm}$，$BP=3x\ \mathrm{cm}$，则对折后的线段$AB$长为$2x+3x=5x\ \mathrm{cm}$，绳子原长为$2×5x=10x\ \mathrm{cm}$，分两种情况讨论：
1. 若对折时B为折点（折痕在B处，A为两个绳头重合的端点）：从P处剪断后，和折点B相连的段展开后长度为$2× BP=6x\ \mathrm{cm}$，另外两段长度均为$AP=2x\ \mathrm{cm}$，此时最长段为$6x\ \mathrm{cm}$。
由题意得$6x=60$，解得$x=10$，因此绳子原长为$10x=10×10=100\ \mathrm{cm}$。
2. 若对折时A为折点（折痕在A处，B为两个绳头重合的端点）：从P处剪断后，和折点A相连的段展开后长度为$2× AP=4x\ \mathrm{cm}$，另外两段长度均为$BP=3x\ \mathrm{cm}$，此时最长段为$4x\ \mathrm{cm}$。
由题意得$4x=60$，解得$x=15$，因此绳子原长为$10x=10×15=150\ \mathrm{cm}$。
综上，绳子原长为100cm或150cm。
【答案】
100 cm或150 cm
【知识点】
线段和差计算，分类讨论思想，比例的应用
【点评】
本题的易错点是容易忽略对折时折点的两种可能情况，导致漏解，解题时先通过比例设未知数简化计算，再分情况分析最长段的对应长度即可顺利求解。
【难度系数】
0.6

10. (2024·南充)有一个正六面体骰(tóu)子放在桌面上,将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动,每滚动$ 90^{\circ} $算一次,则滚动第2024次后,骰子朝下一面的点数是______.

3

【分析】
这是一道结合正方体特征的周期规律题，解题思路如下：首先明确标准骰子相对面的点数之和为7，然后依次计算前几次滚动后骰子朝下一面的点数，找到滚动的周期规律，最后用总滚动次数除以周期，根据余数即可判断第2024次滚动后朝下的点数。
【解析】
标准正六面体骰子的相对面点数之和为7，观察滚动过程可得：
1. 列出前4次滚动后朝下的点数：
第1次滚动后，朝下点数为5；
第2次滚动后，朝下点数为4；
第3次滚动后，朝下点数为2；
第4次滚动后，朝下点数为3；
第5次滚动后朝下点数回到5，可知滚动的周期为4。
2. 计算总次数对应的周期位置：
$2024÷4=506$，没有余数，说明第2024次滚动后朝下的点数和周期中第4次的结果相同。
【答案】
3
【知识点】
周期规律，正方体特征，找规律
【点评】
本题将立体图形特征和周期规律结合考查，解题核心是准确观察出滚动的周期，再通过除法运算确定对应位置的结果，需要学生具备一定的观察归纳能力。
【难度系数】
0.65