13. 如图①所示为一个长 $2m$、宽 $2n$ 的长方形，用剪刀沿图中虚线将大长方形剪成四个相同的小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形.
（1）图②中阴影部分的面积为______；
（2）通过观察图②，写出代数式 $(m + n)^{2}$，$(m - n)^{2}$，$mn$ 之间的等量关系：________________；
（3）根据（2）中的结论，若 $x + y=-6$，$xy = 2.75$，求 $x - y$ 的值；
（4）用图③中四个完全一样的直角三角形可以拼成图④中的大正方形，请利用图④中的面积关系，探究 $a$，$b$，$c$ 之间的等量关系.

13.(1)$(m - n)^{2}$　(2)$(m + n)^{2}=(m - n)^{2}+4mn$　(3)由(2)，得$(x + y)^{2}=(x - y)^{2}+4xy$，$\therefore (-6)^{2}=(x - y)^{2}+4\times2.75$，即$(x - y)^{2}=25$，$\therefore x - y = 5$或 -5　(4)$\because$大正方形的边长为$c$，$\therefore$大正方形的面积为$c^{2}$.又$\because$大正方形由四个直角边长分别为$a$，$b$的直角三角形和一个边长为$a - b$的小正方形组成，$\therefore$大正方形的面积也可以表示为$4\times\frac{1}{2}ab+(a - b)^{2}$，$\therefore 4\times\frac{1}{2}ab+(a - b)^{2}=c^{2}$，$\therefore (a - b)^{2}+2ab=c^{2}$，去括号、合并同类项，得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

14. （1）填空：
$(a - b)(a + b)=$______；
$(a - b)(a^{2}+ab + b^{2})=$______；
$(a - b)(a^{3}+a^{2}b + ab^{2}+b^{3})=$______；
$(a - b)(a^{2023}+a^{2022}b+\cdots+ab^{2022}+b^{2023})=$______.
（2）猜想：
$(a - b)(a^{n - 1}+a^{n - 2}b+\cdots+ab^{n - 2}+b^{n - 1})=$______（其中 $n$ 为正整数，且 $n\geq2$）.
（3）利用（2）中猜想的结论计算：$2^{9}-2^{8}+2^{7}-\cdots+2^{3}-2^{2}+2$.

14.(1)$a^{2}-b^{2}$　$a^{3}-b^{3}$　$a^{4}-b^{4}$　$a^{2024}-b^{2024}$　(2)$a^{n}-b^{n}$ (3)令$S = 2^{9}-2^{8}+2^{7}-\cdots+2^{3}-2^{2}+2$，则$S - 1 = 2^{9}-2^{8}+2^{7}-\cdots+2^{3}-2^{2}+2 - 1=\frac{1}{3}\times[2-(-1)]\times(2^{9}-2^{8}+2^{7}-\cdots+2^{3}-2^{2}+2 - 1)=\frac{1}{3}\times[2^{10}-(-1)^{10}]=\frac{1}{3}\times(1024 - 1)=341$，从而可得$S = 342$，即$2^{9}-2^{8}+2^{7}-\cdots+2^{3}-2^{2}+2 = 342$