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8. 如图，在 $△ ABC$ 中，$∠ B = 45^{\circ}$，$AB$ 的垂直平分线交 $AB$ 于点 $D$，交 $BC$ 于点 $E(BE＞CE)$，$F$ 是 $AC$ 的中点，连接 $AE$，$EF$，若 $BC = 7$，$AC = 5$，则 $CE=$
3
。答案
8. 3
解析
解：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE。
设CE=x，
∵BC=7，
∴BE=AE=7-x。
∵F是AC的中点，AC=5，
∴AF=FC=$\frac{5}{2}$。
在△AEC中，F是AC中点，无法直接用中位线，考虑用其他方法。
在△ABC中，∠B=45°，AE=BE，
∴∠BAE=∠B=45°，
∴∠AEB=180°-45°-45°=90°，
∴∠AEC=90°。
在Rt△AEC中，AE²+CE²=AC²，
即(7-x)²+x²=5²，
49-14x+x²+x²=25，
2x²-14x+24=0，
x²-7x+12=0，
(x-3)(x-4)=0，
解得x=3或x=4。
∵BE＞CE，BE=7-x，CE=x，
∴7-x＞x，即x＜$\frac{7}{2}$=3.5，
∴x=3，即CE=3。
3
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE。
设CE=x，
∵BC=7，
∴BE=AE=7-x。
∵F是AC的中点，AC=5，
∴AF=FC=$\frac{5}{2}$。
在△AEC中，F是AC中点，无法直接用中位线，考虑用其他方法。
在△ABC中，∠B=45°，AE=BE，
∴∠BAE=∠B=45°，
∴∠AEB=180°-45°-45°=90°，
∴∠AEC=90°。
在Rt△AEC中，AE²+CE²=AC²，
即(7-x)²+x²=5²，
49-14x+x²+x²=25，
2x²-14x+24=0，
x²-7x+12=0，
(x-3)(x-4)=0，
解得x=3或x=4。
∵BE＞CE，BE=7-x，CE=x，
∴7-x＞x，即x＜$\frac{7}{2}$=3.5，
∴x=3，即CE=3。
3
9. 如图，在网格图中(每个小正方形的边长为 $1$)，点 $A$，$B$，$C$，$D$ 均为格点，给出下列四个命题：
① 点 $B$ 到点 $C$ 的最短距离为 $\sqrt{26}$；
② 点 $A$ 到直线 $CD$ 的距离为 $\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
③ 直线 $AB$，$CD$ 所交的锐角为 $45^{\circ}$；
④ 四边形 $ABCD$ 的面积为 $11$。
其中，所有正确命题的序号为
① 点 $B$ 到点 $C$ 的最短距离为 $\sqrt{26}$；
② 点 $A$ 到直线 $CD$ 的距离为 $\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
③ 直线 $AB$，$CD$ 所交的锐角为 $45^{\circ}$；
④ 四边形 $ABCD$ 的面积为 $11$。
其中，所有正确命题的序号为
①③
。答案
9. ①③
解析
解：①由图可知，点$B$坐标为$(1,1)$，点$C$坐标为$(6,3)$，则$BC=\sqrt{(6 - 1)^2+(3 - 1)^2}=\sqrt{25 + 4}=\sqrt{29}$，故①错误；
②设直线$CD$的解析式为$y=kx + b$，点$C(6,3)$，$D(4,4)$，代入得$\begin{cases}6k + b=3\\4k + b=4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{2}\\b=6\end{cases}$，直线$CD$：$y=-\dfrac{1}{2}x + 6$，即$x + 2y - 12=0$，点$A(2,5)$到直线$CD$的距离为$\dfrac{|2 + 2×5 - 12|}{\sqrt{1^2 + 2^2}}=\dfrac{0}{\sqrt{5}}=0$，故②错误；
③直线$AB$的斜率$k_{AB}=\dfrac{5 - 1}{2 - 1}=4$，直线$CD$的斜率$k_{CD}=-\dfrac{1}{2}$，设两直线所交锐角为$θ$，则$\tanθ=\left|\dfrac{k_{AB}-k_{CD}}{1 + k_{AB}k_{CD}}\right|=\left|\dfrac{4 - (-\dfrac{1}{2})}{1 + 4×(-\dfrac{1}{2})}\right|=\left|\dfrac{\dfrac{9}{2}}{-1}\right|=\dfrac{9}{2}≠1$，故③错误；
④四边形$ABCD$的面积可通过矩形面积减去周围三角形面积计算，以$A(2,5)$，$B(1,1)$，$C(6,3)$，$D(4,4)$为顶点，矩形长为$6 - 1=5$，宽为$5 - 1=4$，面积为$5×4 = 20$，减去三个三角形面积：$\dfrac{1}{2}×1×4=2$，$\dfrac{1}{2}×5×2=5$，$\dfrac{1}{2}×2×1=1$，$\dfrac{1}{2}×2×1=1$，剩余面积为$20 - 2 - 5 - 1 - 1=11$，故④正确。
1
②设直线$CD$的解析式为$y=kx + b$，点$C(6,3)$，$D(4,4)$，代入得$\begin{cases}6k + b=3\\4k + b=4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{2}\\b=6\end{cases}$，直线$CD$：$y=-\dfrac{1}{2}x + 6$，即$x + 2y - 12=0$，点$A(2,5)$到直线$CD$的距离为$\dfrac{|2 + 2×5 - 12|}{\sqrt{1^2 + 2^2}}=\dfrac{0}{\sqrt{5}}=0$，故②错误；
③直线$AB$的斜率$k_{AB}=\dfrac{5 - 1}{2 - 1}=4$，直线$CD$的斜率$k_{CD}=-\dfrac{1}{2}$，设两直线所交锐角为$θ$，则$\tanθ=\left|\dfrac{k_{AB}-k_{CD}}{1 + k_{AB}k_{CD}}\right|=\left|\dfrac{4 - (-\dfrac{1}{2})}{1 + 4×(-\dfrac{1}{2})}\right|=\left|\dfrac{\dfrac{9}{2}}{-1}\right|=\dfrac{9}{2}≠1$，故③错误；
④四边形$ABCD$的面积可通过矩形面积减去周围三角形面积计算，以$A(2,5)$，$B(1,1)$，$C(6,3)$，$D(4,4)$为顶点，矩形长为$6 - 1=5$，宽为$5 - 1=4$，面积为$5×4 = 20$，减去三个三角形面积：$\dfrac{1}{2}×1×4=2$，$\dfrac{1}{2}×5×2=5$，$\dfrac{1}{2}×2×1=1$，$\dfrac{1}{2}×2×1=1$，剩余面积为$20 - 2 - 5 - 1 - 1=11$，故④正确。
1
10. 如图，在 $△ ABC$ 中，$AB = BC$，$BE⊥ AC$ 于点 $E$，$AD⊥ BC$ 于点 $D$，$∠ BAD = 45^{\circ}$，$AD$ 与 $BE$ 交于点 $F$，连接 $CF$。
（1）求证：$BF = 2AE$；
（2）若 $CD = 3$，求 $AD$ 的长。
（1）求证：$BF = 2AE$；
（2）若 $CD = 3$，求 $AD$ 的长。
答案
10. (1) 证明:
∵AD⊥BC,∠BAD=45°,
∴△ABD是等腰直角三角形,
∴AD=BD.
∵BE⊥AC,AD⊥BC,
∴∠ADC=∠ADB=90°,
∴∠CAD+∠ACD=90°,∠CBE+∠ACD=90°,
∴∠CAD=∠CBE.在△ADC和△BDF中,{∠CAD=∠CBE,AD=BD,∠ADC=∠BDF=90°},
∴△ADC≌△BDF(ASA),
∴BF=AC.
∵AB=BC,BE⊥AC,
∴AC=2AE,
∴BF=2AE. (2) 解:
∵△ADC≌△BDF,
∴DF=CD=3.在Rt△CDF中,CF=$\sqrt{DF²+CD²}$=$\sqrt{3²+3²}$=3$\sqrt{2}$.
∵BE⊥AC,AE=EC,
∴AF=CF=3$\sqrt{2}$,
∴AD=AF+DF=3$\sqrt{2}$+3.
∵AD⊥BC,∠BAD=45°,
∴△ABD是等腰直角三角形,
∴AD=BD.
∵BE⊥AC,AD⊥BC,
∴∠ADC=∠ADB=90°,
∴∠CAD+∠ACD=90°,∠CBE+∠ACD=90°,
∴∠CAD=∠CBE.在△ADC和△BDF中,{∠CAD=∠CBE,AD=BD,∠ADC=∠BDF=90°},
∴△ADC≌△BDF(ASA),
∴BF=AC.
∵AB=BC,BE⊥AC,
∴AC=2AE,
∴BF=2AE. (2) 解:
∵△ADC≌△BDF,
∴DF=CD=3.在Rt△CDF中,CF=$\sqrt{DF²+CD²}$=$\sqrt{3²+3²}$=3$\sqrt{2}$.
∵BE⊥AC,AE=EC,
∴AF=CF=3$\sqrt{2}$,
∴AD=AF+DF=3$\sqrt{2}$+3.
