2. 如图，在 $4× 4$ 的正方形网格中，每一格长度为 $1$，小正方形的顶点称为格点，点 $A$，$B$，$C$，$D$，$E$，$F$ 都在格点上，以线段 $AB$，$CD$，$EF$ 的长度为边能构成一个直角三角形，则点 $F$ 的位置有()

A.$1$ 处
B.$2$ 处
C.$3$ 处
D.$4$ 处

2. D

3. 如图，在边长为 $1$ 的小正方形网格中，$P$ 为 $CD$ 上任一点，$(PB + PA)(PB - PA)$ 的值为()

A.$6$
B.$8$
C.$10$
D.$12$

3. D

4. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是一根竹子，原来高一丈(一丈为十尺)，虫伤有病，一阵风将竹子折断，这根竹子的竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？()

A.$4$ 尺
B.$4.55$ 尺
C.$5$ 尺
D.$5.55$ 尺

4. B

设原处竹子高为$x$尺，则折断部分长为$(10 - x)$尺。
根据勾股定理，得$x^2 + 3^2=(10 - x)^2$
展开得$x^2 + 9=100 - 20x + x^2$
移项化简得$20x=91$
解得$x = \frac{91}{20}=4.55$
B

5. 如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地 $0.5m$，将它往前推 $3m$ 时，踏板离地 $1.5m$，此时秋千的绳索是拉直的，则秋千的长度是()

A.$3m$
B.$4m$
C.$5m$
D.$6m$

5. C

6. 对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 $ABCD$，对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$。若 $AD = 2$，$BC = 4$，则 $AB^{2}+CD^{2}=$。

6. 20

证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是“垂美”四边形，
∴ $AC ⊥ BD$，即 $∠ AOB = ∠ BOC = ∠ COD = ∠ DOA = 90°$。
在 $\mathrm{Rt}△ AOB$ 中，$AB^2 = AO^2 + BO^2$；
在 $\mathrm{Rt}△ COD$ 中，$CD^2 = CO^2 + DO^2$；
在 $\mathrm{Rt}△ AOD$ 中，$AD^2 = AO^2 + DO^2 = 2^2 = 4$；
在 $\mathrm{Rt}△ BOC$ 中，$BC^2 = BO^2 + CO^2 = 4^2 = 16$。
∴ $AB^2 + CD^2 = (AO^2 + BO^2) + (CO^2 + DO^2) = (AO^2 + DO^2) + (BO^2 + CO^2) = AD^2 + BC^2 = 4 + 16 = 20$。
20

7. 《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：“昨日丈量地回，记得长步整三十。广斜相并五十步，不知几亩及分厘。”其大意是：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为 $30$ 步，宽和对角线之和为 $50$ 步。不知该田的面积有多少？请帮他算一算，该田的面积为平方步。

7. 480

设长方形田的宽为$x$步，对角线为$y$步。
由题意得：$\begin{cases}x + y = 50 \\ y^2 = x^2 + 30^2\end{cases}$
由$x + y = 50$得$y = 50 - x$，代入$y^2 = x^2 + 900$，
$(50 - x)^2 = x^2 + 900$
$2500 - 100x + x^2 = x^2 + 900$
$-100x = -1600$
$x = 16$
面积为$30×16 = 480$平方步。
480