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直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半
，且将直角三角形分成两个等腰三角形. 反之，如果已知三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这条边所对的角是直角
.答案
一半 直角
1. 在直角三角形中，两条直角边边长分别为12和5，则斜边上中线的长是(
A.26
B.13
C.30
D.6.5
D
)A.26
B.13
C.30
D.6.5
答案
1. D
解析
在直角三角形中，根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{12^{2} + 5^{2}}=\sqrt{144 + 25}=\sqrt{169}=13$。
因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以斜边上中线的长是$\frac{13}{2}=6.5$。
D
因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以斜边上中线的长是$\frac{13}{2}=6.5$。
D
2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，D，E分别为AB，AC的中点. 则下列结论中错误的是(
A.CD = AD
B.∠B = ∠BCD
C.∠AED = 90°
D.AC = 2DE
D
)A.CD = AD
B.∠B = ∠BCD
C.∠AED = 90°
D.AC = 2DE
答案
2. D
解析
证明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AB，AC的中点。
对于A：CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，故CD=AD=BD，A正确。
对于B：由CD=BD，得∠B=∠BCD，B正确。
对于C：E为AC中点，D为AB中点，DE为△ABC中位线，DE//BC，∠AED=∠ACB=90°，C正确。
对于D：DE为△ABC中位线，BC=2DE，D错误。
结论：错误的是D。
D
对于A：CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，故CD=AD=BD，A正确。
对于B：由CD=BD，得∠B=∠BCD，B正确。
对于C：E为AC中点，D为AB中点，DE为△ABC中位线，DE//BC，∠AED=∠ACB=90°，C正确。
对于D：DE为△ABC中位线，BC=2DE，D错误。
结论：错误的是D。
D
3. 如图，给出下列说法：① 如果∠ACB = 90°，AD = BD，那么AD = BD = CD；② 如果∠ACB = 90°，AD = CD，那么AD = BD = CD；③ 如果∠ACB = 90°，BD = CD，那么AD = BD = CD；④ 如果AD = BD = CD，那么∠ACB = 90°. 其中正确的有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
3. D
解析
证明：
①
∵∠ACB=90°，AD=BD，
∴CD为Rt△ABC斜边AB中线，
∴AD=BD=CD，正确；
②
∵∠ACB=90°，AD=CD，
∴∠A=∠ACD，∠B=90°-∠A=90°-∠ACD=∠BCD，
∴BD=CD，故AD=BD=CD，正确；
③
∵∠ACB=90°，BD=CD，
∴∠B=∠BCD，∠A=90°-∠B=90°-∠BCD=∠ACD，
∴AD=CD，故AD=BD=CD，正确；
④
∵AD=BD=CD，
∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCD，
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACB=∠ACD+∠BCD，
∴2∠ACB=180°，∠ACB=90°，正确。
综上，①②③④均正确，答案为D。
①
∵∠ACB=90°，AD=BD，
∴CD为Rt△ABC斜边AB中线，
∴AD=BD=CD，正确；
②
∵∠ACB=90°，AD=CD，
∴∠A=∠ACD，∠B=90°-∠A=90°-∠ACD=∠BCD，
∴BD=CD，故AD=BD=CD，正确；
③
∵∠ACB=90°，BD=CD，
∴∠B=∠BCD，∠A=90°-∠B=90°-∠BCD=∠ACD，
∴AD=CD，故AD=BD=CD，正确；
④
∵AD=BD=CD，
∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCD，
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACB=∠ACD+∠BCD，
∴2∠ACB=180°，∠ACB=90°，正确。
综上，①②③④均正确，答案为D。
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，斜边AB上的中线CD = 1，△ABC的周长为2 + $\sqrt{6}$，则△ABC的面积为(
A.1
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{3}{4}$
B
)A.1
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{3}{4}$
答案
4. B
解析
证明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
∵CD=1，
∴AB=2CD=2×1=2。
设AC=b，BC=a，AB=c，则c=2。
∵△ABC的周长为2+√6，
∴a+b+c=2+√6，
∴a+b=2+√6 - c=2+√6 - 2=√6。
在Rt△ABC中，根据勾股定理得a² + b² = c²=4。
∵(a+b)² = a² + 2ab + b²，
∴(√6)²=4 + 2ab，
∴6=4 + 2ab，
∴2ab=2，
∴ab=1。
∴△ABC的面积S=1/2ab=1/2×1=1/2。
答案：B
∵CD=1，
∴AB=2CD=2×1=2。
设AC=b，BC=a，AB=c，则c=2。
∵△ABC的周长为2+√6，
∴a+b+c=2+√6，
∴a+b=2+√6 - c=2+√6 - 2=√6。
在Rt△ABC中，根据勾股定理得a² + b² = c²=4。
∵(a+b)² = a² + 2ab + b²，
∴(√6)²=4 + 2ab，
∴6=4 + 2ab，
∴2ab=2，
∴ab=1。
∴△ABC的面积S=1/2ab=1/2×1=1/2。
答案：B
5. 如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点，EF = 5，BC = 8，则△EFM的周长是(
A.13
B.18
C.15
D.21
A
)A.13
B.18
C.15
D.21
答案
5. A
解析
证明：
∵CF⊥AB，BE⊥AC，M为BC中点，
∴在Rt△BFC中，MF为斜边BC中线，故MF = $\frac{1}{2}$BC = 4；
在Rt△BEC中，ME为斜边BC中线，故ME = $\frac{1}{2}$BC = 4.
∵EF = 5，
∴△EFM的周长 = ME + MF + EF = 4 + 4 + 5 = 13.
答案：A
∵CF⊥AB，BE⊥AC，M为BC中点，
∴在Rt△BFC中，MF为斜边BC中线，故MF = $\frac{1}{2}$BC = 4；
在Rt△BEC中，ME为斜边BC中线，故ME = $\frac{1}{2}$BC = 4.
∵EF = 5，
∴△EFM的周长 = ME + MF + EF = 4 + 4 + 5 = 13.
答案：A
6. 如图，在Rt△ABC中，∠B = 90°，∠BAC = 78°，过点C作CF//AB，连接AF与BC相交于点G，若GF = 2AC，则∠BAG的度数是
26°
.答案
6. 26°
解析
解：设∠BAG = α，则∠GAC = 78° - α。
∵ CF//AB，∠B = 90°，
∴ ∠FCG = 90°。
延长AC至点D，使CD = AC，连接FD。
∵ AC = CD，∠ACG = ∠DCF，CG = CG（公共边），
∴ △ACG ≌ △DCF（SAS），
∴ AG = DF，∠GAC = ∠FDC = 78° - α。
∵ GF = 2AC，AC = CD，
∴ GF = AD。
又
∵ CF//AB，
∴ ∠AFD = ∠BAG = α。
在△AFD中，AD = GF = DF，
∴ △AFD为等腰三角形，∠FAD = ∠AFD = α。
∵ ∠FDC = ∠FAD + ∠AFD，
∴ 78° - α = α + α，
解得α = 26°。
故∠BAG的度数是26°。
∵ CF//AB，∠B = 90°，
∴ ∠FCG = 90°。
延长AC至点D，使CD = AC，连接FD。
∵ AC = CD，∠ACG = ∠DCF，CG = CG（公共边），
∴ △ACG ≌ △DCF（SAS），
∴ AG = DF，∠GAC = ∠FDC = 78° - α。
∵ GF = 2AC，AC = CD，
∴ GF = AD。
又
∵ CF//AB，
∴ ∠AFD = ∠BAG = α。
在△AFD中，AD = GF = DF，
∴ △AFD为等腰三角形，∠FAD = ∠AFD = α。
∵ ∠FDC = ∠FAD + ∠AFD，
∴ 78° - α = α + α，
解得α = 26°。
故∠BAG的度数是26°。
